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(共5张PPT)
浙教版2024 七年级下册
浙江省绍兴市2025-2026学年下学期七年级期末数学模拟试卷 试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.95 图形的平移
2 0.85 用科学记数法表示绝对值小于1的数
3 0.8 根据数据描述求频数；用样本的频数估计总体的频数
4 0.65 由条形统计图推断结论；求条形统计图的相关数据
5 0.65 分式加减乘除混合运算
6 0.65 完全平方公式分解因式
7 0.7 古代问题(二元一次方程组的应用)
8 0.7 加减消元法
9 0.78 同位角相等两直线平行
10 0.65 实数运算的实际应用；运用完全平方公式进行运算
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 分式化简求值；已知式子的值，求代数式的值；通过对完全平方公式变形求值
12 0.65 古代问题(二元一次方程组的应用)
13 0.65 已知二元一次方程组的解求参数；加减消元法
14 0.65 平方差公式与几何图形
15 0.65 综合提公因式和公式法分解因式
16 0.65 根据平行线判定与性质求角度；几何图形中角度计算问题
二、知识点分布
三、解答题
17 0.75 计算多项式乘多项式；综合提公因式和公式法分解因式；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式
18 0.78 代入消元法；加减消元法
19 0.7 运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算
20 0.7 求扇形统计图的圆心角；条形统计图和扇形统计图信息关联；由样本所占百分比估计总体的数量
21 0.57 加减消元法；已知二元一次方程组的解的情况求参数
22 0.65 完全平方公式分解因式
23 0.73 多项式乘多项式与图形面积；已知字母的值 ，求代数式的值
24 0.45 根据平行线判定与性质求角度；根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算浙江省绍兴市2025-2026学年下学期七年级期末模拟试卷
数 学
（测试范围：七年级下册浙教版2024，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各组运动项目图标，将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是( )
A． B． C． D．
2．《孙子算经》中记载的“蚕所吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分”说明了长度计量单位之间的关系：1秒忽，1毫秒，1厘毫，1分厘，5忽（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
3．芳芳同学收集了她们班30名学生体重的数据，并绘成等距分组的频数分布直方图，已知该图中各小长方形的高的比是，则第3小组的频数是（ ）
A．6 B．12 C．9 D．3
4．“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（ ）
A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升
B．2023年低空经济市场规模增量最多
C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小
D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元
5．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（ ）
A． B． C． D．
6．当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．李白喝酒碰到朋友，诗里藏着算术题：现在有一些酒坛，如果每个酒坛装五斗酒，就会剩下四斗酒；如果每个酒坛装六斗酒，则空出一个酒坛，且有一个酒坛里仅装三斗酒．设一共有个酒坛，斗酒，那么正确的方程组是（　　）
A． B． C． D．
8．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将
C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将
9．下列各选项中，，则能判断的是（ ）
A．B． C． D．
10．如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则下列说法中正确的有（　　）
①；②；③；④正方形与正方形的面积之和为29．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，则的值为___________．
12．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，则母鸡有_________只．
13．已知方程组的解为，则方程组的解为________．
14．将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为_______.
15．因式分解： ______．
16．如图，在一次无人机航拍任务中，无人机沿一条直线飞行至湖泊区域时，为避开湖面障碍，需在B，C，D三个观测点依次调整航向．经过三次航向调整后，无人机的最终飞行方向与第一次调整前的方向平行（）．若，则的度数是______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．分解因式：
(1)
(2)
18．解方程组：
(1)；
(2)．
19．先化简，再求值：，其中．
20．2025年6月5日是中国的第11个环境日，我区某中学七年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：），王老师随机抽取了该校七年级名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)__________．扇形统计图中__________；
(2)在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数；
(3)若该校七年级共有学生1200人，请根据数据，估计该校七年级参加公益活动的时间是10的学生有多少人？
21．已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)当时，求方程组的解；
(2)当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，求a的值；
(3)无论a取什么数，的值始终不变，直接写出这个值．
22．【阅读材料】
如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”．
例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”；
例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”．
【解决问题】
(1)写出一个小于30的“方和数”：________；
(2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”；
(3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值．
23．如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，并在中间两块边长为米的正方形区域修建两座雕塑，规划部门计划对剩余区域（阴影部分）进行绿化．
(1)求绿化区域的面积（用含，的式子表示并化为最简）
(2)当，时，求绿化区域的面积．
24．已知，将一块含的三角板（、、）如图所示摆放在直线与直线之间，、分别与交于点、，点在边上，且平分；
(1)如图1、求证：；
(2)如图2、在的反向延长线上取一点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，平分交直线于点．当时，求的度数；
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B C C C D D B
1．B
解：符合将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是：
．
2．D
先得出1忽分，则5忽分，再利用科学记数法表示即可．
解：由题意得：1分忽，即1忽分，
则5忽分分．
3．B
本题考查频数分布直方图的性质，等距分组时，频数分布直方图中各小长方形高的比等于对应各组频数的比，掌握“频数总人数频率”是解答本题的关键．根据频数总人数频率计算即可．
解：第3小组的频数是．
故选：B．
4．B
本题考查了条形统计图与折线统计图，根据统计图逐项分析判断即可求解．
解：A、2021至2026年低空经济市场规模逐年上升，说法正确，不符合题意；
B、2022年低空经济市场规模增量（亿元），
2023年低空经济市场规模增量（亿元），
2024年低空经济市场规模增量（亿元），
2025年低空经济市场规模增量（亿元），
所以2025年低空经济市场规模增量最多，选项说法错误，符合题意；
C、从2024年开始低空经济市场规模增长率变小，说法正确，不符合题意；
D、2026年低空经济市场规模约亿元，将突破万亿元，说法正确，不符合题意；
故选：B．
5．C
本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可．
解：撕坏的一角中“”为．
．
故选：C．
6．C
将代数式通过配方法转化为完全平方式的和，再根据完全平方式的非负性确定最小值及此时、的值．本题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握配方法将代数式变形为完全平方式的和是解题的关键．
解：
，
因为，，
所以当，时，代数式有最小值．
由，得；由，得．
此时最小值为．
故选：C．
7．C
根据酒的总数量不变，结合两种装酒情况分别列方程即可得到方程组．
解：∵共有个酒坛，每个酒坛装斗酒时剩余斗，总酒量为斗
∴总酒量满足 ．
再根据第二种装酒情况列方程：
每个酒坛装斗酒时，空出个酒坛，且有个酒坛仅装斗，因此装满斗的酒坛数量为 个．
总酒量等于所有装满斗的酒量加上仅装的斗，因此：
移项整理得 ．
综上可得方程组 ．
8．D
根据加减消元法的规则，使目标未知数的系数和为0即可消去该未知数，据此判断各选项即可.
解：对于方程组
若消去：
∵的系数分别为和，要使的系数和为，需要，
∴选项A、C错误；
若消去：
∵的系数分别为和，要使的系数和为，将，可得：
，的系数和为，被消去，
∴选项B错误，选项D正确.
9．D
解：A、，不能判断，不符合题意；
B、，不能判断，不符合题意；
C、，不能判断，不符合题意；
D、，能判断（同位角相等，两直线平行），符合题意．
10．B
首先求出重合部分小正方形的边长为，然后表示出，得到，即可判断③；然后表示出和即可判断①②；然后根据长方形的面积与各个部分面积之间的关系得到，整理后求出，进而求解即可．
解：由题意得重合部分小正方形的面积为5，其边长为
∵
∴，故③错误；
∵
∴；故①正确；
∵
∴，故②错误；
由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
代入得，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有2个．
11．13
先对已知等式移项得到，再利用完全平方公式变形，整体代入计算所求代数式的值即可．本题主要考查完全平方公式和整体代入法求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
解：∵，
∴，
，
代入得：，
整理得 ，
因此 ．
故答案为：13．
12．11
根据总只数为只，总钱数为钱，建立二元一次方程组，求解方程组得到母鸡的数量．
解：设母鸡有只，小鸡有只，
根据题意，得
整理①得，
整理②得，
得，解得，
把代入③得，解得，
∴原方程组的解为，符合题意，
∴母鸡有11只．
13．
根据方程组解的定义，先利用已知的原方程组的解求出m和n的值，再将m，n代入所求方程组，解二元一次方程组即可得到结果．
解：将代入原方程组，
解得，
将代入所求方程组，得
，
整理，得
，，
解得，
将代入①，得，
∴方程组的解是．
14．
本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算．
利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可.
解：∵边长分别为，的小正方形和大正方形如图放置，
∴大三角形的高为： ，小三角形的高为：
∴图中阴影部分的总面积为：
∵
∴
图中阴影部分的总面积
故答案为：10 .
15．
此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可．
解：
．
故答案为：．
16．
过点作，根据平行线的判定和性质求解．
解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
17．(1)
(2)
（1）先识别式子为平方差公式，利用平方差公式分解，再合并同类项并提取公因式；
（2）先展开多项式乘积，合并同类项化简式子，再利用完全平方公式分解因式．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．(1)；
(2)．
（）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
（1）解：
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：
∴方程组的解为：．
19．；28．
先根据乘法公式化简原整式，再将代入化简结果计算即可．
解：
，
当时，
原式
．
20．(1)，；
(2)；
(3)240人
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）用活动的人数除以活动所占百分比求出m，再用活动的人数除以总人数即可求出a；
（2）×活动所占百分比即可；
（3）用总人数×活动10所占百分比即可．
（1）解：，
，
∴；
故答案为：，；
（2）解：参加公益活动时间为的人数为：，
参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数，
答：参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为；
（3）解：人
答：估计该校七年级参加公益活动的时间是10的学生有240人．
21．(1)原方程组的解为
(2)
(3)这个值为3
（1）把代入方程组，运用加减消元法解答即可；
（2）解方程组，用含的代数式分别表示方程组的解，再根据方程组的解x，y的值互为相反数列方程求出的值即可；
（3）把方程组的解代入可得结论．
（1）解：当，方程组变形为 ，
得，，
解得：，
把代入①中得：，
所以，原方程组的解为；
（2）解：解原方程组得，
因为x，y的值互为相反数，
所以，
即，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
无论a取什么数，的值始终不变. 这个值为3．
22．(1)（答案不唯一）；
(2)见解析；
(3)的值为13．
本题考查了新定义，完全平方公式的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据“方和数”的定义即可得出答案；
（2）根据“方和数”的定义和完全平方公式即可得出结论；
（3）先化简，再根据“方和数”的定义得到，求解即可．
（1）解：∵，
∴是“方和数”，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：∴，且，2都是不等于零的整数，
∴是“方和数”；
∵，且，3都是不等于零的整数，
∴是“方和数”；
（3）解：∴，
根据“方和数”的意义得：，
解得：，
∴的值为13．
23．(1)平方米
(2)平方米
（1）先分别表示出长方形地块的面积以及两座雕塑的面积，再利用长方形地块的面积减去两座雕塑的面积即可得出绿化区域的面积；
（2）将，代入（1）中的代数式计算即可得出结果．
（1）解：由题意可得：长方形地块的面积为（平方米），
两座雕塑的面积为（平方米），
∴绿化区域的面积为（平方米）；
（2）解：当，时，
绿化区域的面积为（平方米）．
24．(1)见详解
(2)见详解
(3)
（1）由题意易得，，然后问题可求解；
（2）过点作，则有，然后可得，进而根据角的和差关系可进行求证；
（3）过点作，由题意易得，，由（1）（2）可知：，，然后可得，进而问题可求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作，如图所示：
∴，，
由（1）（2）可知：，，
∵平分，，
∴，
∵，
∴．

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