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陕西榆林市横山中学2025-2026学年第二学期期中检测高一数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．4 C．3 D．0
3．在基底下，向量，则在下列图中，能正确表示向量的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（ ）
A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧
7．如图所示，在中，点是线段的中点，，则（ ）

A． B．
C． D．
8．我国一种传统的手工折纸风车及平面示意图如下所示，其制作方法为，从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上（如A折叠后落到，重复操作后即可完成.已知，下列关于图2的说法中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．零向量没有方向
B．零向量方向任意
C．相等向量的长度一定相等
D．共线向量不一定在同一条直线上
10．若复数满足，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数是关于的方程的一个复数根
11．八角镂空窗是中国古典建筑与园林中极具代表性的几何形镂空窗，集实用功能 美学意境与吉祥文化于一体.某八角镂空窗的边框呈正八边形，其示意图与直角坐标系中的平面图如图所示，已知为正八边形内的一动点（含边界），为正八边形的中心，，则下列说法中正确的有（ ）
A．点的坐标为
B．
C．
D．
三、填空题
12．__________.
13．已知向量与的夹角为，若，则在上的投影向量的模为__________.
14．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据）
四、解答题
15．已知复数的实部为，虚部为.
(1)若，求；
(2)若与复数互为共轭复数，求.
16．如图，已知中，，延长至点，连接.
(1)求的长；
(2)若，求的长.
17．已知向量，若.
(1)求实数的值；
(2)求与夹角的余弦值.
18．已知的内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求外接圆面积的最小值.
19．如图，已知满足，，线段上有一系列点，且满足.
(1)判断的形状；
(2)当时，若为线段上的一个动点（不含端点），求的取值范围；
(3)证明：.
参考答案
1．B
【详解】由题意可得：.
2．A
【详解】因为复数是纯虚数，
则，解得.
3．A
【详解】对于A，以为对角线，构造平行四边形，如图
所以，而，，所以，故A正确.
对于B，同理可求，故B错误.
对于C，同理可求，故C错误.
对于D，同理可求，故D错误.
4．D
【详解】已知向量，
若，则，解得，
因此，故D正确.
5．C
【详解】根据正弦定理，在中满足，变形得，
代入，其中，
可得：
三角形内角和为，已知（钝角），因此，
满足的角为.
6．A
【详解】记复数在复平面中的点为，
表示点到原点的距离，表示点到的距离，
因为，所以在复平面内对应的点形成的轨迹为线段的中垂线，
即一条直线.
7．B
【详解】由题意可知：.
8．D
【详解】
,
设，因为，所以，所以，同理，,所以易得四边形为平行四边形，，故A,B 正确；
，故C正确；
,，所以，故D错误.
9．BCD
【详解】根据零向量的定义知A错，B正确；
由相等向量的定义知C正确；
由共线向量的定义知D正确.
10．ACD
【详解】对于A，因为，整理得，即，故A正确.
对于B，，故B错误.
对于C，，其对应的点坐标为，属于第二象限，故C正确.
对于D，因为，
所以复数是关于的方程的一个复数根，故D正确.
11．ABD
【详解】已知，为正八边形，如图所示，设，
则，
对于A，根据正八边形的性质可得点的坐标为，故A正确；
对于B，根据正八边形的性质可得点的坐标为，因此，故B正确；
对于C，根据正八边形的性质可得点的坐标为，所以，
所以，
而，，所以，
因此，故C错误；
对于D，，为正八边形内的一动点（含边界），则，其中表示向量与的夹角，
因此，要求，即求，而表示向量在方向上的投影数量，
由图可知，当在点时，投影最小，此时，
当在点时，投影最大，此时，
因此，，故D正确.
12．
【详解】因为，所以
13．
【详解】向量在上投影向量的模为，其中为与的夹角，
已知，，代入计算：
.
14．27
【详解】因为米，，
所以．
由正弦定理，，可得，
在直角中，因为，所以，
即塔高为.
15．(1)
(2).
【详解】（1）因为，
故，
所以.
（2），
因为与复数互为共轭复数，
所以，即，
所以.
16．(1)2
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
且.
所以.
（2）因为，则，
在中，由余弦定理得
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，且，
所以，解得.
（2）因为，则，
由（1）可得，则，
所以.
18．(1)
(2)
【详解】（1）由，
整理得：，
由正弦定理，可得，
即，
因为，所以，即，
又因为，所以.
（2）由正弦定理，外接圆的半径，
要使外接圆的半径最小，只需最小，
由余弦定理，.
当且仅当时等号成立，此时，
则.
故外接圆面积的最小值为.
19．(1)等边三角形
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，，
则，且，即，
所以为等边三角形.
（2）当时，为边的中点，
设，则，
可得，
则，
所以，
因为，则，
所以的取值范围为.
（3）设中点为，则，
由题可知，
，
可得，
由等边三角形的中线长可知，
所以，对于任意正整数恒成立.

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