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人教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.6.2.2线段长短的比较与运算第六章几何图形初步6.2.2线段长短的比较与运算知识点总结（满分版）一、线段长短的三种比较方法（必考基础）1.观察法直接通过肉眼观察两条线段的长短，适合差距明显的线段，仅作粗略判断。2.叠合法（精准比较、考试首选）操作方法：将两条线段的一个端点重合，另一个端点落在重合端点的同一侧，根据端点位置判断长短。①端点重合对齐→两线段相等②线段甲端点在乙内部→甲短于乙③线段甲端点在乙外部→甲长于乙 注意：叠合法必须一端重合、同侧摆放，否则比较无效。3.度量法用刻度尺分别测量出两条线段的长度，通过数值大小比较线段长短，数值大则线段长。二、线段的和、差运算（计算核心）在同一条直线上的线段，可直接进行加减运算。1.线段和模型若点$$B$$在线段$$AC$$上，则：$$AC=AB+BC$$2.线段差模型若点$$B$$在线段$$AC$$上，则：$$AB=AC-BC$$，$$BC=AC-AB$$3.多点共线通用规律直线上多点排列，总长=分段之和，分段=总长 其余分段。 关键：做题先判断点的位置（在线段上/在线段延长线上）。三、线段的中点（高频核心考点）1.中点定义把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。2.中点三大公式（必背万能公式）若点$$M$$是线段$$AB$$的中点，则满足：①$$AM=BM$$②$$AM=BM=\frac{1}{2}AB$$③$$AB=2AM=2BM$$3.易错判定若$$AM=BM$$，不能直接判定M是AB中点！必须加条件：点M在线段AB上，才是中点。若M在外侧，为等腰三角形顶点，不是中点。四、线段n等分点（拓展考点）三等分点：将线段分成三段相等的线段，有两个三等分点。四等分点：将线段分成四段相等的线段，有三个四等分点。通用：$$n$$等分点有$$n-1$$个分点，每段长度为原线段的$$\frac{1}{n}$$。五、作图：尺规作一条线段等于已知线段1.作图步骤（标准满分步骤）①画一条射线；②用圆规量取已知线段的长度；③在射线上截取对应长度，得到等长线段。 注意：尺规作图保留作图痕迹，不可擦除圆弧。六、线段计算两大经典题型（考试必考）题型1：点在线段上（常规基础题）已知：点$$C$$在线段$$AB$$上，$$AB=10\mathrm{cm}$$，$$AC=6\mathrm{cm}$$，求$$BC$$。解：$$BC=AB-AC=10-6=4\mathrm{cm}$$题型2：点在延长线上（易错拔高题）已知：线段$$AB=6\mathrm{cm}$$，点$$C$$在$$AB$$的延长线上，$$BC=2\mathrm{cm}$$，求$$AC$$。解：$$AC=AB+BC=6+2=8\mathrm{cm}$$题型3：中点综合计算（压轴基础）已知：$$AB=12\mathrm{cm}$$，$$M$$是$$AB$$中点，求$$AM$$。解：$$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times12=6\mathrm{cm}$$七、双中点模型（期末高频压轴）已知：点$$C$$在线段$$AB$$上，$$M$$为$$AC$$中点，$$N$$为$$BC$$中点。结论：$$MN=\frac{1}{2}AB$$核心规律：线段中间任意一点，两段中点连线恒等于总长的一半。八、高频易错点（扣分重灾区）1.未说明“点在线段上”，直接判定中点，逻辑错误。2.忽略点在延长线上的情况，漏解、少解。3.线段和差搞反，分不清总长与分段关系。4.三等分点、四等分点数量记错，公式用错。5.尺规作图不保留痕迹，考试扣分。6.叠合法比较线段，未做到“一端重合、同侧摆放”。九、速记口诀线段比较三方法，观察度量叠合法；点在线段用和差，中点对半分上下；若遇延长线加点，总长相加不抓瞎；双中模型有结论，半长恒定稳拿分。能借助直尺、圆规等工具作一条线段等于已知线段，比较两条线段的长短.
掌握线段比较的正确方法.
理解线段的中点定义，并能利用中点的性质进行简单的计算.
你们平时是如何比较两个同学的身高的？
度量法
叠合法
1.56 m
1.5 m
你能类比这些方法比较两条线段的长短吗？
小明
小华
因为 1.56＞1.5，
所以小明高于小华.
小明高于小华
问题1：你能比较下列线段的大小吗？
度量法
4 cm
5 cm
类比身高比较的叠合法，那么线段如何使用此方法？
A
B
C
D
探究点1：线段长短的比较
想一想：只有圆规和无刻度的直尺的情况下，那么线段如何使用叠合法？
A
B
C
D
如何在线段 CD 上画出线段 AB，
并且一个端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧？
已知线段 a，如何作一条线段 AB，使 AB = a？
实际
本质
a
探究点1：线段长短的比较
总结
“尺规作图”
先用直尺画射线，再用圆规在射线上截取已知线段.
a
B
作一条线段等于已知线段
a
A
C
本质
探究点1：线段长短的比较
C
D
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在 C，D 之间，则 AB CD.
(A)
B
＜
叠合法：
C
D
A
B
B
(A)
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与
点 D ，则 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在 CD 的延长线上，
则 AB CD.
重合
＞
B
A
B
A
C
D
(A)
(B)
探究点1：线段长短的比较
议一议： 如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.


A
B
探究点2：有关线段的基本事实
【归纳总结】
经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短.
连接两点的线段的长度，叫作
这两点的距离.
简单说成：两点之间，线段最短.


A
B
探究点2：有关线段的基本事实
两点之间，线段最短
1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程
改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何
设计线路？请在图中画出，并说明理由.
.
B
A
.
【试一试】
探究点2：有关线段的基本事实
在直线上画出线段 AB = a，再在 AB 的延长线上画线段 BC = b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC = . 如果在 AB 上画线段 BD = b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作 AD = .
A
B
C
D
a + b
a - b
a
b
b
a
b
a + b
a
b
a - b
探究点3：线段的和、差、倍、分
例1 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b.
a
b
解：①在直线上作线段AB＝a；
②在线段AB的延长线上作线段 BC＝a，则线段AC＝2a；
③在线段AC上作线段CD＝b，则线段AD＝2a－b.
a
a
A
B
C
D
b
探究点3：线段的和、差、倍、分
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？
A
B
M
探究点3：线段的和、差、倍、分
A
B
M
如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫作线段 AB 的中点. 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
线段的三等分点
线段的四等分点
探究点3：线段的和、差、倍、分
A
a
a
M
B
M 是线段 AB 的中点.
几何语言：因为 M 是线段 AB 的中点，
所以 AM = BM = AB
(或 AB = 2AM = 2BM).
反之也成立：因为 AM = BM = AB
(或 AB = 2AM = 2BM)，
所以 M 是线段 AB 的中点.
探究点3：线段的和、差、倍、分
三等分点
如图，若点 M、N 是线段 AB 的三等分点，
则 AM = = = ，反过来也成立．
MN
NB
AB
1
3
探究点3：线段的和、差、倍、分
四等分点
如图，若点 M、N、P 是线段 AB 的四等分点，
则 AM = = = = ，反过来也成立．
MN
NP
AB
1
4
PB
例2 若 AB = 12 cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 CB 的中点，问线段 AD 的长是多少
解：因为 AB = 12 cm，
因为 C 是线段 AB 的中点，
因为 D 是线段 CB 的中点，
所以 AD = AC + CD = 6 + 3 = 9 (cm).
A
C
B
D
所以 AC = CB = AB = ×12 = 6 (cm).
所以 CD = CB = ×6 = 3 (cm).
探究点3：线段的和、差、倍、分
1. 如图，， 两点之间的距离指的是( )
C
A. 线段
B. 线段与线段 的长度之和
C. 线段 的长度
D. 线段与线段 的长度之差
返回
2. 如
图，生活中有下列两个现象：现
象1，建筑工人砌墙时，会在两个
墙脚的位置分别固定一根木杆，
然后拉一条直的参照线；现象2，把原来弯曲的河道改直，
， 两地间的河道长度变短.对于这两个现象的解释，正确
的是( )
A. 均用两点之间线段最短来解释
B. 均用两点确定一条直线来解释
C. 现象1用两点之间线段最短来
解释，现象2用两点确定一条直
线来解释
D. 现象1用两点确定一条直线来
解释，现象2用两点之间线段最
短来解释
√
返回
（第3题）
3. 如图，围绕在正方形四周的四条线段 ，
，， 中，长度最长的是( )
D
A. B. C. D.
返回
4. ［2025温州期末］如图，延长线段至点 ，使
.若恰好为线段的中点，且 ，则线
段 的长度是( )
（第4题）
B
A. B.
C. D.
【点拨】因为点是线段的中点， ，所以
.因为， ，
所以，所以 .
返回
5. ［2025杭州校级月考］如图，已知为线段的中点，
为线段的中点，现给出下列结论： ，
，， ，其中
正确的结论是( )
A
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②③
【点拨】因为为线段的中点，为线段 的中点，所以
， ，所以
， ，故①②正确；因为
，所以 ，故③正确；因为
，所以 ，故④
正确.故选A.
返回
6.尺规作图：已知线段, ，按照下列要求作图（保留作图痕
迹，不写作法）.
（1）作线段，使 ；
【解】如图①，线段 即为所求.
（2）作线段，使 .
如图②，线段 即为所求.
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7. ［2025济南槐荫区月考］如图，线段长为8，线段 长
为14，点， 分别是它们的中点，将它们的一端重合，放
置在同一条直线上，则， 两点间的距离为( )
D
A. 6 B. 11 C. 6或22 D. 3或11
【点拨】因为线段长为8，线段长为14，点, 分别是
它们的中点，所以 ，
.
分两种情况：
如图①，当，或， 重合，且剩余两端点在重合点同
侧时， ；
如图②,当，或， 重合，且剩余两端点在重合点两侧
时， .
所以， 两点间的距离为3或11.故选D.
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8. ［2025成都武侯区月考］如图，已知线段上有两点 ，
，且，点，分别为， 的中点，
，，则 ( )
D
A. 6 B. 4 C. D.
【点拨】因为， ，所以
.因为，分别为 ，
的中点，所以 ，
所以 .故选D.
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9. 如图，点在线段 的延长线上，且线段
，第一次操作：分别取线段和的中点， ；第二
次操作：分别取线段和的中点， ；第三次操作：分别
取线段和的中点， ；…,连续这样操作10次，则每次的
两个中点所形成的所有线段之和
( )
A
A. B. C. D.
线段长短的比较与运算
线段长短的比较
基本事实
线段的和差
度量法
叠合法
中点
两点间的距离
基本作图

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