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陕西榆林市府谷县府谷中学2025-2026学年第二学期高一5月期中检测数学试题
一、单选题
1．已知向量，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（ ）
A．1 B． C． D．2
3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
4．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，，则
D．若，，且，，则
7．如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（　　）
A． B．
C． D．
8．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数（），则下列说法正确的有（ ）
A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为
C． D．若z为实数，则
10．已知，，为非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，，则
C．若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线
D．若，则
11．如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．，E，F，B四点共面
B．直线与直线为异面直线
C．该正方体的外接球和内切球的表面积之比为
D．三棱锥的体积是三棱锥的两倍
三、填空题
12．若，则______.
13．在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是__________.
14．在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________.
四、解答题
15．已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．
(1)求复数z；
(2)求的模．
16．已知向量，，若，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当为何值时，向量与向量互相垂直？
17．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.

(1)这种“浮球”的体积是多少
(2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？
18．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面．
(1)求证：点是的中点；
(2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
19．在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，.
(1)求的值；
(2)已知，为的中点，，求的周长.
参考答案
1．D
【详解】因为，所以，则，解出.
故选：D.
2．A
【详解】由题意得
故选：A．
3．A
【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，
所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.
故选：A
4．A
【详解】在中，由正弦定理可得，
又因为，可得，即，所以.
故选：A
5．C
【详解】在直角梯形中，，，
则，
直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，
则有，
所以该平面图形的高为.
故选：C.
6．A
【详解】对于A，由面面平行的定义可知，若两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故A正确；
对于B，若则或，故B错误；
对于C，若，，则或异面或 相交，故C错误；
对于D，若，且，则，或，故D错误，
故选：A.
7．D
【详解】解：∵
，
故选D．
8．B
【详解】中，由正弦定理得，又代入上式得，即.
又，，，，即.
又，，.
由余弦定理得.
，，有，，.
中，且，，，
.
因为为常数，要使的面积最大，则取得最大值.
，，结合正弦函数的单调性可知，当，即时，有最大值.
故面积取最大值时，.
9．ABD
【详解】，则实部为3，故A正确；共轭复数为，故B正确；
当z为实数时，故D正确；，故C错误.
故选：ABD．
10．AB
【详解】对于A，由投影向量的定义，得向量在向量上的投影向量可表示为，A正确；
对于B，均为非零向量，存在实数m，n使得，，则，B正确；
对于C，令，，，有，而共线，C错误；
对于D，令，，，有，而，D错误.
故选：AB
11．ABD
【详解】对于A，如图所示，连接，
因为，则四边形是平行四边形，
所以，又E，F分别为棱，的中点，
所以，则，
所以，E，F，B四点共面，故A正确；
对于B，如图所示，
取的中点，连接，
则，则四边形是平行四边形，
所以，
因为，所以直线与直线为异面直线，故B正确；
对于C，根据正方体的特征可知其内切球直径为棱长，外接球直径为体对角线，
设正方体的棱长为1，则内切球的半径为，外接球的半径为，
故外接球与内切球的表面积之比为，故C错误；
对于D，根据正方体的特征与已知可知，点到底面的距离是点到底面的距离2倍，
即三棱锥的高是三棱锥的高的两倍，由两个三棱锥的底面积相等，
所以三棱锥的体积是三棱锥的体积两倍，故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】，所以.
13．
【详解】设A为的最小角，C为的最大角，由余弦定理可得，
因为，所以，所以，即最大角和最小角之和是.
故答案为：.
14．3
【详解】记，又，所以，所以，
解得.
故答案为：3
15．(1)
(2)
【详解】（1）设复数，
因为为实数，所以，则复数，
又因为为纯虚数，
则，得，
所以复数.
（2）由（1）可知复数，则，
所以的模为.
16．(1)
(2)
【详解】（1），
．
（2）当向量与向量互相垂直时，，
即，即，解得．
所以当时，向量与向量互相垂直.
17．(1)
(2)克
【详解】（1）该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，，
两个半球的体积之和为，
又，
该“浮球”的体积是.
（2）上下两个半球的表面积，
“浮球”的圆柱筒侧面积为，
个“浮球”的表面积为，
个“浮球”的表面积的和为，
每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）.
18．(1)证明见解析
(2)点为棱BC的中点时，平面平面，
【详解】（1）因为平面，平面平面，
又平面，所以，
因为四边形是平行四边形，
所以点是的中点，则点是的中点；
（2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下：
若平面平面，由于平面，
所以平面，
又平面平面，
则，又点是的中点，所以点是的中点，
故点为棱BC的中点时，平面平面，则.
19．(1)
(2)
【详解】（1）因为，则，整理可得，
且，所以.
（2）因为，可得，

又因为为的中点，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，
解得或（舍去），
结合，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
所以的周长为.

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