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人教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.6.3.3余角和补角第六章几何图形初步6.3.3余角和补角知识点总结（满分版）一、余角、补角定义（必考基础）1.余角（互余）定义：如果两个角的和等于$$90^\circ$$（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。公式：若$$\angle1+\angle2=90^\circ$$，则$$\angle1$$与$$\angle2$$互余。特点：两个角都是锐角。2.补角（互补）定义：如果两个角的和等于$$180^\circ$$（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。公式：若$$\angle1+\angle2=180^\circ$$，则$$\angle1$$与$$\angle2$$互补。特点：可以是“锐+钝”、“直+直”。3.核心关键（超级易错） 互余、互补只看度数和，与位置、是否相邻无关！两个角不需要挨在一起、不需要有公共顶点，只要度数满足和为$$90^\circ/180^\circ$$即可。二、余角、补角计算公式（解方程必考）设一个角为$$x^\circ$$①余角：$$(90-x)^\circ$$②补角：$$(180-x)^\circ$$③补角比余角大90°（万能结论）推导：$$(180-x)-(90-x)=90^\circ$$ 任意一个锐角，补角永远比余角大90度（选择题秒杀）。三、余角、补角性质（几何证明必背）1.余角性质同角的余角相等：同一个角的两个余角相等。等角的余角相等：相等的角的余角也相等。2.补角性质同角的补角相等：同一个角的两个补角相等。等角的补角相等：相等的角的补角也相等。 大题万能理由：直接写“同角（等角）的余角相等/同角（等角）的补角相等”。四、邻补角（常考识图）定义：两个角有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角。特点：①位置相邻；②度数和为$$180^\circ$$；③邻补角一定互补，互补不一定是邻补角。五、经典方程题型（期末计算必考）题型：已知一个角的补角是余角的几倍，求角度例题：已知一个角的补角是它余角的4倍，求这个角。解：设这个角为$$x^\circ$$，余角：$$90-x$$，补角：$$180-x$$列方程：$$180-x=4(90-x)$$解得：$$x=60$$答：这个角为$$60^\circ$$。六、直角模型（几何识图压轴）若$$\angle AOB=90^\circ$$，内部有一条射线$$OC$$，则：$$\angle AOC+\angle BOC=90^\circ$$ 直角拆分出的两个小角互余。若A、O、B共线，$$\angle AOB=180^\circ$$，则拆分出的两个相邻小角互为邻补角。七、方位角（本节重难点、考试必考）1.方位角规则以正南、正北为基准，不说正东正西！格式：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西。 禁止说“东偏北、西偏南”（考试扣分）。2.特殊方位东北方向=北偏东$$45^\circ$$西北方向=北偏西$$45^\circ$$东南方向=南偏东$$45^\circ$$西南方向=南偏西$$45^\circ$$3.方位角做题核心画图找直角，利用互余、互补求角度。八、高频易错点（扣分重灾区）1.误以为互余、互补需要两个角挨在一起（只看度数和）。2.余角补角公式写反：余90、补180，千万别混。3.方位角乱用“东偏北”，必须先南北、后东西。4.忽略：钝角没有余角，只有补角。5.分不清“邻补角”和“互补”：邻补角有位置要求，互补无位置要求。6.不会用“补角比余角大90°”秒杀结论，计算太慢。九、速记口诀和为九十叫互余，和为一百八互补；无关位置只看数，同角等角性质牢；补角永远大九十，钝角无余要记好；方位先北后东西，看图算角稳不跑。在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质.
进一步提高抽象概括能力，知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.
体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，培养数学推理的严谨性.
问题
这是我们常用的一副三角尺，三角尺中各个角的度数分别是多少？
45°
90°
45°
30°
90°
60°
这两个三角尺中，每块都有一个角是90°，
那么另外两个锐角有什么关系呢？
如图，∠1 +∠2 =
5
6
3
4
O
A
C
B
A
B
A
C
O
O
A
B
C
当∠AOB = 90° 时，
∠3 +∠4 =
当∠AOB = 180° 时，
∠5 +∠6 =
90°.
180°.
∠AOB
1
2
余角：
【知识要点】
如果两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余.
∠3 与∠4 互余；
∠3 是∠4 的余角；
∠4 是∠3 的余角.
3
4
探究点1：余角和补角的概念
∠3 与∠4 依然互余.
讨论1：此时∠3 与∠4 还互余吗？
讨论2：钝角有余角吗？
没有.
总结
角的数量关系与位置无关.
总结
只有锐角有余角.
3
4
探究点1：余角和补角的概念
几何语言：
因为∠3 与∠4 互余，
所以 ∠3 +∠4 = 90°，
或 ∠3 = 90°－∠4，
或 ∠4 = 90°－∠3.
因为∠3 +∠4 = 90°，
所以∠3 与∠4 互余.
互余定义
3
4
探究点1：余角和补角的概念
补角：
如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，简称这两个角互补．
问题：如果两个角的和等于 180° (平角)，那么怎么描述这两个角的关系呢？
1
2
追问：此时∠1 与∠2 还互补吗
依然互补.
探究点1：余角和补角的概念
几何语言：
1
2
因为∠1 与∠2 互补，
所以 ∠1 +∠2 = 180°，
或 ∠1 = 180°－∠2，
或 ∠2 = 180°－∠1.
因为∠1 + ∠2 = 180°，
所以∠1 与∠2 互补.
互补定义
探究点1：余角和补角的概念
思考：能不能说单独的一个角是余角或补角呢
不能. 余(补)角指的是两个角之间的数量关系，与位置无关，且它们是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为余(补)角.
例1 若∠α = 35°，求∠α 的余角和补角的度数.
解：∠α 的余角为 90°－35° = 55°，
∠α 的补角为 180°－35° = 145°.
探究点1：余角和补角的概念
问题：∠1 与∠2，∠3 都互为余角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
因为∠1 与∠2，∠3 都互为余角，
所以∠2 = 90°－∠1，∠3 = 90°－∠1.
所以∠2 = ∠3 .
余角的性质：
同角 (等角) 的余角相等．
【知识要点】
探究点2: 余角和补角的性质
解：因为∠AOB =∠COD = 90°，
例2 如图，∠AOB = ∠COD = 90°，∠1 = 23°，
求∠BOD 的度数.
A
B
O
C
D
因为∠1 = 23°，所以∠2 = 23°.
所以∠2 = ∠1.
所以∠COB +∠1 =∠COB +∠2 = 90°.
探究点2: 余角和补角的性质
1
2
问题：类比探究，∠1 与∠2，∠3 都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角，
所以∠2 = 180°－∠1，∠3 = 180°－∠1.
所以∠2 =∠3.
补角的性质：
【知识要点】
同角 (等角) 的补角相等.
探究点2: 余角和补角的性质
例3 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：因为点 A，O，B 在同一条直线上，
所以∠AOC 和∠BOC 互为补角．
A
O
B
C
D
E
补角的定义
探究点2: 余角和补角的性质
A
O
B
C
D
E
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC
= (∠AOC +∠BOC )
= 90°
所以∠COD 和∠COE 互为余角，
同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角．
等式的性质
余角的定义
探究点2: 余角和补角的性质
1. 已知一个角比它的补角小 ，则这个角的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
2. 若 的余角为，则 的补角的度数是( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】因为 的余角为，所以 ，所以
的补角为 .
返回
3. 下列说法：
①锐角的补角一定是钝角；
②一个角的补角一定大于这个角；
③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；
④若 ,则,, 互为补角.
其中正确的说法有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
4. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中
的图形有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
5.如图，将一副三角板如图放置，
，则 _______
____.
【点拨】因为 ，
所以 ，即
. 所以 .
返回
6.［2025邢台期中］一位同学利
用如图所示的量角器,采用如图①
所示的方法测量锐角 的度
或
数，其中量角器有两条刻度线分别在射线， 上,则
的度数为____，另外一位同学用同样的方法，测量
的余角的度数，如图②所示，已知射线 所指
示的度数为 ，则射线 所指示的度数为___________.
返回
7.如图，点，， 在同一条直线上，
，
.
（1）求 的度数.
【解】因为点，， 在同一条直线上,
所以 .
因为 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以 .
（2）图中有哪几对角互为余角？
【解】与， 与
，与， 与
,这4对角互为余角.
（3）图中有哪几对角互为补角？
【解】与，与,与 ，
与，与，与， 与
,这7对角互为补角.
返回
8. 若与互为余角，与 互为补角，则下列结论错误
的是( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】因为与互为余角，所以 因为
与互为补角，所以 ，②所以 ，
得 ，故A正确，D错误； ，得
，故B正确； ，得
，故C正确.
返回
9. 如图，,, ，下列
判断：①射线是的平分线；是 的补角；
；的余角有和 .其中正确的
是( )
C
A. ①③④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④
【点拨】因为 ，所以射线
是 的平分线，故①正确；
因为，且是 的补
角，所以是 的补角，故②正确；因为
， 所以 ，所
以 . 因为 ，所以
，故③正确；因为
， ，所
以 .又因为
,所以 的余角
有和 ，故④正确.综上
分析可知，正确的有①②③④.
返回
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
1
2
1
2
∠1 +∠2 = 90°
或∠1 = 90° -∠2
∠1 +∠2 = 180°
或∠1 = 180° -∠2
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等

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