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人教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.小结与复习第五章一元一次方程第五章一元一次方程全章总复习（考点+模板+易错点）一、核心基础概念（必考选择/填空）1.方程与一元一次方程定义含有未知数的等式叫做方程。同时满足三个条件为一元一次方程：①只含一个未知数；②未知数最高次数为1；③是整式方程（分母不含未知数）。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。解方程：求方程解的全过程。2.等式的两大性质（解方程依据）性质1（加减）：若$$a=b$$，则$$a\pm c=b\pm c$$（同加同减，等式不变）。性质2（乘除）：若$$a=b$$，则$$ac=bc$$；若$$a=b(c\neq0)$$，则$$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$$。 关键：除法绝对不能除以0，等式变形必须两边同步运算。二、解一元一次方程【五步万能标准流程】（大题必考）完整顺序：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1步骤详细规范1.去分母：两边同乘所有分母最小公倍数，所有项（含常数项）全部乘，绝不漏乘；分子为多项式必须加括号。2.去括号：正括号不变号，负括号全变号；括号外系数乘遍每一项，不漏乘。3.移项：跨等号必变号，未知项移左边，常数项移右边；同边交换位置不变号。4.合并同类项：系数相加减，字母不变，化为$$mx=n$$最简形式。5.系数化为1：两边同除以未知数系数，得$$x=a$$。 满分要求：不跳步、步骤齐全、符号准确三、全章应用题6大必考题型（万能解题模板）应用题通用四步法：审题找等量→设未知数→列方程→求解作答检验1.配套问题（5.3.1）核心等量：两种配件数量=固定配套比例万能公式：多的总量=比例倍数×少的总量例：1螺丝配2螺母→螺母总数= 2×螺丝总数解题关键：设生产其中一种配件的人数，用总人数表示另一种，算总产量列方程。2.工程问题（5.3.1）总量默认看作1基本公式：工作总量=工作效率×工作时间单人效率：$$\frac{1}{单独完成天数}$$合作效率=所有人效率之和核心等量：各段工作量相加=总工作量1（单独做+合作做）3.销售利润问题（5.3.2）三大必考公式：①利润=售价 进价②利润率= $$\frac{利润}{进价}\times100\%$$③折后售价=标价×折扣÷10推导公式：售价=进价×(1+利润率)易错重点：利润率分母是进价，不是售价；打折在标价基础上，不是进价。4.球赛积分问题（5.3.3）常规规则：胜3分、平1分、负0分总场数=胜+平+负总积分= 3×胜场数+ 1×平场数关键要求：解出的场次必须是非负整数，小数、负数全部舍去。5.方案决策问题（5.3.4期末压轴）解题四步：①设变化的量；②列出两种方案费用代数式；③列方程求临界值；④分三类讨论（大于、等于、小于）核心规律：有固定费：少量不划算，大量划算；无固定费：少量划算，大量不划算。 扣分点：只算临界值，不分类讨论！6.其他基础问题包含和差倍比、数字问题、行程基础问题，核心均为：找准题目不变量、等量关系列方程。四、全章高频易错点（扣分重灾区）1.去分母漏乘不含分母的常数项（最多错）。2.负括号去括号只变第一项，后面项漏变号。3.移项忘记变号，同边交换位置乱变号。4.配套问题、销售问题比例、倍数搞反。5.工程问题不用“1”作为总量，直接用天数计算。6.球赛积分不检验场次是否为整数。7.方案决策题不分类讨论，作答不完整。8.利润率计算分母混淆进价和售价。五、期末满分答题规范1.解方程：严格五步、不跳步，格式整齐。2.应用题：先写“解：设...”，再列方程，求解后文字作答。3.决策类、积分类题目必须检验、分类讨论。一元一次方程的一般形式
(a ≠ 0)
定义
方程的解
解方程
等式的性质
解法
应用
①去 ；②去 ；③ 项；④合并 ；⑤系数化为___
审、 、列、解、检、
依据
一般步骤
一般步骤
ax = b
分母
括号
移
同类项
1
找
答
一、方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的等式叫作方程．
2. 一元一次方程的概念：如果方程中只含有___个未知数(元)，且含有未知数的式子都是______，未知数的次数都是___，这样的方程叫作一元一次方程.
3. 方程的解：使方程等号左、右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解．
4. 解方程：求方程解的过程叫作解方程．
一
1
整式
考点1
1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或
式子)，结果仍相等．
如果 a＝b，那么 a± ＝b±c.
2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一
个不为 0 的数，结果仍相等．
如果 a＝b，那么 ac＝ ___；
如果 a = b (c ≠ 0)，那么 ＝ ．
___
二、等式的性质
bc
c
考点2
解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别
漏乘．
(2) 去括号：注意括号前的系数与符号．
(3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数
项移到方程右边，移项时注意要改变符号．
(4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b (a ≠ 0) 的形式．
(5) 系数化为 1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m
的形式.
三、一元一次方程的解法
考点3
1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数，设其中某个未知量为 x .
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程．
检：检验方程的解是否符合题意．
答：写出答案 (包括单位)．
四、实际问题与一元一次方程
审题是基础，找等量关系是关键.
2. 常见的几种方程类型及等量关系：
(1) 行程问题中基本量之间关系：
路程＝速度×时间．
① 相遇问题：
全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
② 追及问题：
甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；
③ 流水行船问题：
v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
考点4
(2) 工程问题中基本量之间的关系：
① 工作量＝工作效率×工作时间；
② 合作的工作效率＝工作效率之和；
③ 工作总量＝各部分工作量之和＝合作的工作效
率×工作时间；
④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看
作 1.
考点4
(3) 销售问题中基本量之间的关系：
① 商品利润＝商品售价－商品进价；
④ 商品售价＝商品进价＋商品利润
＝商品进价＋商品进价×利润率
＝商品进价×(1＋利润率).
考点4
② 利润率＝ ；
③ 商品售价＝标价× ；
(4) 方案选择问题
考点1 方程及方程的解
1. 下列选项中，是方程的是( )
D
A. B.
C. D.
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2.［2025南京校级月考］小明同学在解关于 的方程
时，把 处的数字看错了，解得 ，则
该同学把 看成了___.
7
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考点2 一元一次方程
3. 下列方程中，是一元一次方程的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
4. 方程是关于 的一元一次方程，则
( )
B
A. 2 B. C. D.
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考点3 等式的性质
5. 下列等式变形正确的是( )
D
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
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6. 若等式可以变形为 ，则下列结
论一定成立的是( )
C
A. B. ， 互为倒数
C. D.
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考点4 一元一次方程的解法
7.解下列方程：
（1） ；
【解】去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（2） ；
去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
（3） ；
去分母，得
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（4） .
原方程可化为 .
去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
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考点5 一元一次方程的应用
8. 某动物园利用
杠杆原理 称象.如
图，在点 处挂一根质地均匀且
足够长的钢梁（呈水平状态），
将装有大象的铁笼和弹簧秤
（秤的重力忽略不计）分别悬挂在
钢梁的点， 处，当钢梁保持水平
时，弹簧秤读数为 .设大象的重量
为 ，若铁笼固定不动，移动弹簧
秤使 扩大到原来的10倍，且钢梁
保持水平，则弹簧秤读数为___
（用含 的代数式表示）.
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9.第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市
举行，而有着少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物盲盒颇受
大众关注.现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为, 两种包装，
该工厂共有1 000名工人.
（1）若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒 的人数的2倍少
200人，请求出生产盲盒 的工人人数；
【解】设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒 的工人
人数为 人，
由题意，得 ，
解得 .
答：生产盲盒 的工人人数为400人.
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼
包由2个盲盒和3个盲盒 组成.已知每名工人平均每天可以
生产20个盲盒或10个盲盒 ，且每天只能生产一种包装的盲
盒.该工厂应该安排多少名工人生产盲盒 ，多少名工人生产
盲盒 才能使每天生产的盲盒正好配套？
设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒 ，
由题意得 ，
解得 .
所以 （人）.
答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒 ，750名工人生产
盲盒 才能使每天生产的盲盒正好配套.
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思想1 整体思想
10.若是关于的方程的解，则
的值为___.
7
11.关于的方程的解是 ，现给出另
一个关于的方程 ，
则它的解是 _______.
【点拨】因为关于的方程的解是 ，
所以方程 的解满足
,所以 .
2 025
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思想2 分类讨论思想
12.解关于的方程： .
【解】把方程 变形，
得 .
分三种情况：
（1）当，即 时，方程只有一个解，为
；
（2）当，，即， 时，方程
有无数个解；
（3）当，，即， 时，方程
无解.
本题求方程的解，对形如“ ”的方程化简时，应
根据， 的取值讨论解的情况，体现了分类讨论思想的运用.
. .
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思想3 数形结合思想
13.［2025驻马店期中］已知代数式
是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上， 两点
所对应的数分别是和 （如图）.
（1）____， ___;
6
（2）有一动点从点 出发第一次向左运动1个单位长度，然
后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第
三次向左运动3个单位长度, ，按照如此规律不断地左右运
动，当运动到第2 025次时，点 所对应的数为________;
【点拨】依题意知，点 第一次运动后对应的数为
，第二次运动后对应的数为 ，
第三次运动后对应的数为, ,则第
2 025次运动
后对应的数为
（3）若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点
以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点 从原点开始以每
秒 个单位长度的速度向左运动.在运动过程中，
的值始终保持不变，求 的值.
【解】设运动时间为秒,则运动后点对应的数为 ，
点对应的数为，点对应的数为 ,
所以， ，
所以 .
因为 的值始终固定，
所以，所以 .
故当的值始终固定时，的值为 .
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