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4.2《平行四边形及其性质》期末复习题
一、单选题
1．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可）
8．如图，在中，的平分线交于点E，若，则______．
9．如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______．
10．如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________．
11．如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示）
12．如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______．
三、解答题
13．如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．
（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；
（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．
14．如图，在中，，，．
（1）求出对角线的长；
（2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
15．如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证．
16．追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在 ABC中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
方法应用：
（2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）
A．3个　B．4个　C．5个　D．6个
②已知，，求的长．
17.如图，将 ABC沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍．
（1）若，，求的度数和的长．
（2）若 ABC的面积是，求四边形的面积．
18.如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，且a、b满足，现同时将点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C，连接、、．
（1）求a、b的值，并直接写出点A、点B、点C、点D的坐标；
（2）如图2，点P是线段上的一个动点，连接、，当点P在线段上移动时，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在一点M，使的面积与的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．D
解：根据作图可知：，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故选D．
2．B
解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．B
解：∵，
∴，
∴；
故选B．
4．C
解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故选：C
5．C
解：四边形是平行四边形，
，，，故①③正确，
，，
点是的中点，
，
又，，，
，
，，故②不正确，
，，
，
即，故④正确，
综上所述，正确结论的个数为3个，
故选：C．
6．A
解：过D点作轴，交轴于点，如图：
与矩形周长相等，，
，
的面积是矩形面积的一半，，
，
由勾股定理得：，
点D的坐标为．
故选：A．
二、填空题
7．（答案不唯一）
解：依题意，
∴，
∵为整数，
∴可以是，，，，
故答案为：（答案不唯一）．
8．2
解：∵，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
9．5
解：在中，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：5．
10．
解：连接，
由作图可知， 垂直平分，
∴，
∵点N恰为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：
三、解答题
13．（1）解：如图①或②或③，
，
（2）解：∵等边边，
∴，
∴，
如图①所示：可得四边形是矩形，则其对角线长为；
如图②所示：，
连接，过点C作于点E，则可得四边形是矩形，
∴，，
则；
如图③所示：，
连接，过点A作交延长线于点E，可得四边形是矩形，
由题意可得：，，
故．
14．（1）解：连接，过作于，如图所示：

在中，，，
，
，
，
在中，，，，则；
（2）解：如图所示：

15．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
16．
解：（1）是等腰三角形；理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）①∵中，
∴，，
同（1），
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
即、、、是等腰三角形；共有四个，
故选：B．
②∵中，，，
∴，，
由①得，
∴．
17.（1）解：∵ ABC沿着方向平移至，
．
，
．
平移的距离是边的1.5倍，
．
．
（2）解：作平行交于点D．
ABC沿着方向平移至，
，．
、与平行四边形等高，．
．
平移的距离是边的倍，
．
设 ABC的高为h，
，，
平行四边形的面积三角形的面积，
四边形的面积为．
18.（1）解：由题意可得，
∵，，，
∴，，
解得：，，
∴，，
∵点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C，
∴，；
（2）解：的面积是不变化，理由如下，
∵点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C，
∴，，
∵，，，，
∴两条平行线间的距离为：，
∴的面积是不变化，
；
（3）解：设，
∵，，
∴，
①当点M在B点左侧时，
，
∵的面积与的面积相等，
∴，解得：，
此时与A点重合，；
②当点M在B点右侧时，
，
∵的面积与的面积相等，
∴，解得：，
此时点为： ；

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