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2.2《 一元二次方程的解法》期末小节复习题
一、单选题
1．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A． B． C． D．
2．方程的负根是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a、b满足，则代数式的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2
4．已知实数满足，那么实数的乘积为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，在 ABC中，若，，E为上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．1或2
7．若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．定义表示不超过实数的最大整数，如：，，．则方程的解为（ ）
A．或或0 B．或或0
C．或或0 D．或或0
10．已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法：
①若，则方程有实数解；
②若，且关于的方程有无数个解，则；
③若，则存在实数使得；
④若，且，则满足条件的多项式共有4个．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．的根是______，的根是______．
12．把方程配方为的形式，则______．
13．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）．
14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
15．我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程，
方法如下：
由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴
小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：．
已知，参考上述方法，可求得______．
三、解答题
16．解下列方程：
(1)； (2)； (3)．
17．定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”．
(1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”；
(3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值．
18.整数使得可以表示为两个相邻的正偶数的乘积，请问所有这样的整数之和为多少？
19.若实数，满足，求的值．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个实数根为负数，求的取值范围．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵是方程的根，
∴将代入方程得，
即，
解得，
则原方程为，
因式分解得，
∴或，
故方程的另一个根为．
故选：B．
2．A
解：∵，
∴，
当时，解得，
当时，解得，
∴方程的负根是．
故选：A．
3．A
设，
由，得，
化简得，
解得，
即．
4．C
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴当且仅当，，时，即时，等式成立，
∴，
故选：C．
5．B
解：作于点，设，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理得，
即，
整理得，
解得，
∴的值为，
故选：B．
6．D
解：∵直线不经过第三象限，
∴，
①当时，方程化为，是一元一次方程，
∴方程有1个实数根；
②当时，方程是一元二次方程，
此时，
∵，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根，
综上，方程的实数根有1个或2个，
故选：D．
7．B
解：原方程展开并整理为：，
将方程视为关于a的一元二次方程：，
，
由题可知方程有解，故判别式非负，故，
此时方程的解为，
设，则，则：
，
，
，
因此，，
故选：B．
8．A
解：令，，
∴原不等式转化为，
∴因式分解，得，
∴与异号
∵恒成立，
∴只能是且，
又∵，恒成立，
∴由可得，
综合，得到，
∵，
∴，
根据绝对值的性质，当时，．
故选：A．
9．A
解：∵
∴，
∴，
∴，
①当时，符合题意；
②时，，
则化为：，解得：，均不在内，舍；
②时，，
则化为：，解得：，均不在内，舍；
③时，，
则化为：，解得：或（舍）；
④时，，
则化为：，解得：或（舍）；
⑤当时，均不成立，
∴方程的解为或或，
故选：A．
10．B
解：①若，则，．
方程即．
因有解，故方程有实数解，①正确；
②若，且有无数解，
则，整理得．
方程有无数解的条件是系数为0，即，得，②正确；
③若，则．
要存在实数使，需判别式．
∵为正整数，，
∴，，方程无实数解，③错误；
④由变形得，其中，，
即.
∵均为正整数，
∴，．
∵9的正整数因数分解为、、，
∴只有，，则，，
∵为正整数，∴，；
因此满足条件的多项式仅1个，故④错误．
综上，正确的说法为①②，共2个．
故选：B．
二、填空题
11． ， ，
解：，
，
，
，，
解得：，；
，
，
，，
解得，．
12．
解：，
移项得，，
方程两边都加上16得，，
配方得，，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．①②③
解：结论①，原方程 的倒方程为 ，
将 代入得 ，
解得 ，
故①正确；
结论②，当 时，
判别式 ，
两个方程均有两个不相等的实数根，
故②正确；
结论③，
原方程无解，
，
即 ，
倒方程判别式 ，
倒方程无解，
故③正确；
结论④，
举反例说明，当 时，原方程为，
若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：，
即，
原方程 的倒方程为 ，，，
倒方程为，是一元一次方程，
只有一个根，
故④错误．
故答案为①②③．
14．且
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴根据一元二次方程根的判别式，
即：，
解得：，
实数的取值范围是且．
15．
解：由，设，则，
代入原方程，得，
，
∵，
∴，
∴，
，
设（)，则，
代入得：，即，
整理为：，
∴，（舍去，因为)，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
16．（1）解：，
两边同除以4，得，
开方，得，
解得：，；
（2）解：，
移项，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，；
（3）解：，
移项，得，
两边都加上1，得，
开方，得或，
∴，．
17．（1）解：∵方程中，，，
∴，
∴方程是“和谐方程”；
（2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”，
∴，
解得：，
解方程，
解得；
（3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”，
∴，
∴，
∴
，
，
，
即代数式的最小值为．
18．解：∵整数使得可以表示为两个相邻的正偶数的乘积，
设两个相邻的正偶数分别为，，其中为正整数，
∴可设，
∴
∵为整数
∴关于的一元二次方程的判别式一定是完全平方数，
可设判别式，其中为整数，
整理得：
∴
∴
∵为整数，为正整数，
∴和均为正整数，
又∵
∴有以下两种情况：
①当且时，
两式相减得：，
解得：，
∴，
∴，
即：，
∴或，
由，解得：，不合题意，舍去，
由解得：，
②当且时，
两式相减得：，
解得：，
∴，
∴，
即：，
∴或，
由，解得：，不合题意，舍去，
由解得：，
综上所述：的值为或，
∴所有这样的整数之和为．
故答案为：．
19．或1
解：设，则由原方程，得，
整理，得，即，
分解得：，
解得：，
则的值是或1．
20．（1）证明：对于方程，
，
∵ ，
∴ ，
∴ 方程总有两个实数根；
（2）解：，
因式分解得，
即或，
∴，
∵ 方程有一个实数根为负数，且，
∴ ，
∴ ，
故的取值范围为．

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