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2026学年八年级数学下学期期末测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得
C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得
2．为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若多项式★可以因式分解，则★不能是（）
A． B． C． D．
4．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　）
A． B． C．2 D．
5．若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（）
A． B． C． D．
6．已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
7．如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．6
8．若关于的分式方程解为正数，且关于的不等式组恰有五个整数解，则所有满足条件的整数的和为（ ）
A．22 B．30 C．32 D．40
9．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知，且满足两个等式，，则的值为______．
12．若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________．
13．已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________．
14．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______．
15．如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______．
16．如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
18．（6分）小明发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方．
例如4和5，有．
(1)【证明结论】请填写该结论证明过程的依据．
设m，n是连续的正整数，且，
可得；
所以 （______）
（______）
所以一定是正数n的平方．
(2)【类比证明】小红发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明．
19．（8分）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，再将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若点在线段上，，则的最小值为________．
20．（8分）为了防疫，师大一中需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用元购买甲品牌温度枪的数量是用元购买乙品牌温度枪的数量的倍．
(1)求甲、乙两种品牌温度枪的单价．
(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过元．设购买甲品牌温度枪m个，则该校共有几种购买方案？
(3)在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？
21．（10分）阅读材料：
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；…
小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
根据题意，得，移项可得．
根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得．
整理得．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则的值是．
(3)若和为相差的两个整数，求的值．
22．（10分）某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出）
组别 身高范围（单位：厘米） 划记 频数 频率
A 3 0.03
B 正 8 0.08
C a 0.15
D 正正正正正 28 0.28
E 正正正正正一 26 0.26
F 正正 14 0.14
G 正一 6 0.06
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是___________．
(2)___________，___________．
(3)请补全频数分布直方图
(4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数．
23．（12分）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转．
【特例感知】
(1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ；
【类比迁移】
(2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由；
【方法运用】
(3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值．
24．（12分）如图1，矩形纸片中，点在边上．连接，将矩形纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，与交于点；如图2，继续将纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，、分别与交于点、．
(1)如图2，若，则= ．
(2)如图3，点恰好落在边上（即点与点重合）．
①若，，求的长．
②已知，，若，，三点恰好在同一条直线上，试探究、之间的数量关系并写出证明过程．
参考答案
一、选择题
1．A
解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式，
∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意；
B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立，
∴原说法不正确，故此选项不符合题意；
C．若分式有意义，则，得，
∴原说法不正确，故此选项不符合题意；
D．，
∴原说法不正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．B
解：∵霖霖从三部电影中随机选择一部，共有3种等可能的结果，其中恰好选中《731》的结果只有1种，
∴所求概率为．
3．D
解：A、★=，多项式为，可分解．
B、★=，多项式为，可分解．
C、★=，多项式为，且，可分解．
D、★=，多项式为，无法因式分解．
故选：D．
4．C
解：∵，
∴，
∴，
∴输出的值为2．
5．D
解：∵m，n，k为连续整数，且，
∴，（）．
∴，
，
，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
6．C
∵，
∴，
整理得，
，
．
∵，
∴，即．
将代入，得：．
∵，
∴，即，故．即，
因n为自然数，故n的最小值是13，
此时，此时，符合题意，
故选：C．
7．C
解：过点A作，交的延长线于点E，
∵，是直角，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
如图可得，，，
在中，根据勾股定理可得， ．
故选：C．
8．A
解：解分式方程，
去分母得，
移项合并得：，
解得，
∵解为正数，
∴且，
即，且，
解得，
解得，
∴的解集为，
∵恰有五个整数解，
∴，解得，
∴且，符合条件的整数有6,7,9，和为22，
故选：A．
9．C
解：如图：∵矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故选：C．
10．C
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵连接CG，
∵O、G分别是AC，AD的中点，
∴，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵，
∴S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；
正确的是①③④，
故选C．
二、填空题
11．4
解：∵，，
∴
∴
∴
∴
∵，则
∴，则，
∴．
故答案为：4．
12．且
解：
方程两边同乘，得，
展开并整理，得，
当，即时，方程无解，
∴，
当时，，
又∵分母不为零，需且，
检验增根：若方程有增根，则或，
若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是，
若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解，
因此，分式方程有解的条件为且．
13．
解：∵，
，
又∵，
∴，
∴，，
∴的整数部分，的整数部分为，
∴的小数部分，
∴．
故答案为：．
14．．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设与之间的距离为，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
15．
解：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
∴矩形的面积．
故答案为：．
16．
解：作，交于点，连接交于点，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，的平分线分别交于点，，
∴，，
∵，
∴，，
故，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：把，代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入，
所以原分式方程的解是；
（2）解：把代入分式方程，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当时，即，方程无解，
②当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，，
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
∵，且为正整数，为整数，
∴必为65的因数，，
∵，
∴65的因数有1，5，13，65，
1，5小于11，
可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55，
满足条件的可取3，55这两个数．
18．（1）解：设m，n是连续的正整数，且，
可得；
所以（乘法分配律）
（等量代换）
，
所以一定是正数n的平方．
故答案为：乘法分配律；等量代换
（2）证明：设，m、n是连续的正整数，
所以，
所以，
所以．
所以一定是正数m的平方．
19．（1）解：四边形是正方形，
理由：由旋转得，．
．
．
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形．
，
∴四边形是正方形；
（2）解：如图，作点关于对称的点，连接交于点P，则，，连接，此时为最小值，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
故答案为：.
20．（1）解：设甲品牌温度枪的单价为x元，则乙品牌温度枪的单价为元，由题意可得，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则，
答：甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：元，元；
（2）解：由题意可得，
且m为整数，
解得：，且m为整数，
∴m为：或，
∴该校共有两种购买方案，
方案一：购买甲种个，乙种个；
方案二：购买甲种个，乙种个；
（3）解：由（2）得，
方案一费用为：（元），
方案二费用为： （元），
∵，
∴方案二：购买甲种个，乙种个费用最低，最低为元．
21．（1）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，，
∴，即，
故答案为：.
（3）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：
∴，
∴，
∴．
22．（1）解：本次抽样调查的样本容量是3÷3%=100（人），
故答案为：100；
（2）a=100×0.15=15，m=360°×28%=100.8°，
故答案为：15，100.8；
（3）补全直方图：
（4）600×28%=168（人），
∴身高在D组的学生有168人．
23．（1）解：由题意可得，，
四边形是平行四边形
，
和是等边三角形
、、三点共线
，，
是等边三角形
故答案为：等边三角形．
（2）解：是等边三角形，理由如下，
如下图，连接，交分别、于点、，
，
四边形是平行四边形
，
和是等边三角形
，，
点在线段的延长线上
，即
，
是等腰三角形
又，
是等边三角形
（3）解：①如下图，连接、
同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形
有
设，则，
是直角三角形，
取的中点，连接
此时在边上
②如下图，连接、
同①，可证是直角三角形，，
此时在边上
综上所述，或．
24．（1）解：，
，，
，
由折叠性质得，，
，，
，
，
由折叠性质得，，
；
（2）解：①，
，，
由折叠可知：，
,
，
，
，
由折叠可知：，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
由折叠可知：，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
解得，（舍去），
的长为；
②，证明如下：
四边形是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，，
由①可知,
，
化简得．

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