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2026学年七年级数学下学期期末测试卷（7-12章）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
1．如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点
C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知不含x的一次项，则a的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．下列命题：①如果，那么；②如果两个角相等，那么这两个角为同位角；③如果，那么；④如果与互补，那么，其中假命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
6．规定；形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，，称为“共轭系数”．若关于，的二元一次方程组为“共轭方程组”，则此“共轭方程组”的解为（ ）
A． B． C． D．
7．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，…，，．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为，，，，．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．如表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ， ， ， ， ，
两数的和
则这五张卡片中上面数字最大的一张卡片是（ ）
A．卡片 B．卡片 C．卡片 D．卡片
8．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（ ）
A．3 B．2或 C．3或 D．1或2
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．）
9．计算______．
10．已知，，则______．
11．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ．
12．素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数．
13．若关于，的方程组的解满足，则的范围是_____________ ．
14．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是____________________ ．
15．已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______．
16．已知关于的方程组，给出下列说法：
①若方程组的解互为相反数，则；
②若方程组的解也满足，则；
③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解；
④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号）
三、解答题（本题共11小题，共82分．）
17．（5分）计算：
(1) (2)
18．（5分）先化简，再求值：，其中，．
19．（6分）解方程组、解不等式组：
(1)解方程组：； (2)解不等式组：．
20．（6分）如图， ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上．
(1)将 ABC向左平移4格，画出平移后的对应；
(2)将 ABC绕点顺时针旋转，画出旋转后的对应的；
(3)第（1）问中 ABC平移过程中边“扫过”的面积为________．
21．（6分）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．
例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．
证明：，（已知）
在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，（已知）
在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，，（已证）
．（不等式的传递性）
(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；
证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）
(2)请你尝试证明：若，则．
(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．
22．（8分）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法．
(1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解；
(2)请用上面的换元法解方程组．
23．（8分）每年5月20日是中国学生营养日．某营养餐公司为学生提供的350克早餐食品中，蛋白质总含量为．早餐包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，蛋白质含量占；谷物食品和牛奶的部分营养成分如表所示：
每100克谷物食品 每100克牛奶
蛋白质 13.0克 蛋白质 3.0克
脂肪 32.4克 脂肪 3.6克
碳水化合物 50.8克 碳水化合物 4.5克
(1)设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为y克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为_______克，牛奶中所含的蛋白质为_______克．（用含有x、y的代数式表示）
(2)求出x、y的值；
(3)该公司为学校提供的营养午餐有A、B两种套餐（每天只提供一种）如下表，为了膳食平衡，建议学生适当的多摄入蔬果量．如果在一周里，学生午餐蔬果摄入总量不少于1060克，那么该校在一周里可以选择A、B套餐各几天？写出所有的方案，（说明：一周按5天计算）
套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬果（克）
A 150 70 200
B 130 75 220
24．（8分）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，填空：___________．
(2)①若，请你尝试证明：；
②若，则___________（用含的式子表示）．
进一步探究这种运算时发现一个结论：，
证明：设
，
，即．
．
(3)结合①，②探索的结论，求的值．
25．（10分）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N．
(1)如果 ，那么 °；
(2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示；
(3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数．
26．（10分）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”、如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．
(1)判断下列各组多项式是否互为“对消多项式”，如果是求出它们的“对消值”．
①与；②与．
(2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求a和b为_____，它们的“对消值”为_____；
(3)关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，，求代数式的最小值．
27．（10分）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ；
(2)若关于的不等式组的“长度”，求的值；
(3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．C
解：由作法得垂直平分，
∴，，
即直线垂直平分线段．
2．D
解：∵ 与 不是同类项，不能合并，，
∴ 选项A错误；
∵ ，
∴ 选项B错误；
∵ ，
∴ 选项C错误；
∵ ，
∴ 选项D正确.
3．C
解：
，
∵不含x的一次项，
∴x的一次项系数为0，即，
解得．
4．C
解：①如果，那么，故本小题命题是假命题；
②两个角相等，这两个角不一定是同位角，故本小题命题是假命题；
③如果，那么，是假命题，例如：，而；
④如果与互补，那么，是真命题；
故选：C．
5．C
解：如图所示，标1的三角形可以通过一次轴对称变换得到，图中标2的三角形可以通过旋转变换得到，
∴，．
∴．
6．B
解：∵为“共轭方程组”，
∴，
解得：，
∴原方程组化为：，
解得：，
故选B．
7．D
解：由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质可得：
设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，，
则，，，，，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
，得，所以，
所以且，
所以卡片上的数最大，
故选：D．
8．C
解：设，，则a、b为整数，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵a、b为整数，
∴，
∵，
∴，则，
又∵，
∴，即，
将代入得，
即
解得，
∴或2，
当时，，，，
∴；
当时，，，，
∴，
∴的值为3或．
故选：C．
二、填空题
9．
原式
．
10．9
解：由完全平方公式得
将，代入上式得
移项得
计算得
两边同除以得
11．C
解：如下图所示，作点关于直线的对称点，
连接与直线交于点，
点即为所求．
12．（
解：当时，，是素数；
当时，，，不是素数．
故答案为：
13．
解：，
，得，
∵，
∴，
解得．
14．
解：由题意得，，
解不等式得：，
解不等式得：，
因此不等式组的解集为，
故答案为：．
15．
解：
将②得，③
①+③，得，
，
为整数，
是22的因数，
22的因数为，
当时，代入②得解得为整数，符合；
当时（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，，代入②得不是整数，舍去；
当时，（舍去）．
故答案为：．
16．②③④
解：若方程组的解互为相反数，
则，
将代入，
得，
解得：；
将代入，
得，
即；
∴，
解得：，
这与矛盾，
故说法①错误；
方程组，
解得：，
将代入，
得，
即，
解得：，
故说法②正确；
当时，，；
代入，得左边，
且右边，左边=右边，
故说法③正确；
计算，
结果为定值，与无关，
故说法④正确，
故答案为：②③④．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．解：
当，时，
原式．
19．（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
20．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图，连接，
由题意得 ABC平移过程中边“扫过”的面积为四边形的面积，
由平移的性质可得，，
∵四边形的高为，
∴ ABC平移过程中边“扫过”的面积为．
21.（1）解：证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）；
故答案为：，；
（2）证明：，
不等式两边同加上，得，
不等式两边同时除以2，得；
（3）解：真命题，
证明：设这三个自然数分别是，，，其中，
，
能被3整除，
这三个自然数的和能被3整除．
22．（1）解：设，
则原方程组可化为，
，
解得：；
（2）设，
则原方程组可化为，
化简整理得，
解得：，
，
解得．
23．（1）解：根据题意可知，谷物食品中所含的蛋白质为克，牛奶中所含的蛋白质为克，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
答：的值为的值为100；
（3）解：设该学校一周里共有天选择套餐，则有天选择套餐，
根据题意得：，
解得：，
∵为非负整数，
∴共有三种方案：
方案一：A套餐1天，B套餐4天；
方案二：套餐2天，套餐3天；
方案三：A套餐0天，B套餐5天．
24．（1）解：∵，，
∴，
∴
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，即
∴
②由题意可知，，，，
，
，即，
则，
故答案为：；
（3）解：
；
设，，则，
，
，
，
，
即．
25．（1）解：由折叠可知，．
因为四边形是长方形，
所以，
所以．
故答案为：50；
（2）解：如图所示，
因为，
所以，
由折叠可得，
所以；
（3）解：当点在的左上方时，如图所示，
设，
则，
∵，，
∴，
解得，
所以．
当点在的右下方时，如图所示，
设，
则，
∵，，
∴，
解得，
所以．
综上所述，∠CBD的度数为或．
26．（1）解：，
，
∴①组多项式不是互为“对消多项式”，②组多项式是互为“对消多项式”，“对消值”是；
（2）解：，
，
∵A与互为“对消多项式”，
，
，
∴它们的“对消值”为；
（3）解：，
，
∵C与互为“对消多项式”且“对消值”为，
，，
，
，
，
∴代数式的最小值是28．
27．（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴，整点为：，0，1；
故答案为：3；，0，1．
（2）解：
由不等式，得，
当即时，，
结合得解集为：4和中的较小值，
“长度”，
，
解得，满足，符合题意；
当即时，，
结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意；
综上可知，a的值为；
（3）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
该不等式组有3个“整点”，
∴，其中，
设3个整数解为k，，，
则，
变形得，
，
，，
根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2，
其中，当整数解为，，0，即时，
可得
解得a的取值范围为，符合题意；
当整数解为，0，1，即时，
可得，
该不等式组无解，不合题意；
当整数解为0，1，2，即时，
可得，
该不等式组无解，不合题意；
综上可知，a的取值范围为．

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