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湖南省岳阳市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则复数z的实部和虚部分别是（ ）
A．，1 B．2，1 C．，i D．2，i
3．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
4．平面向量满足，若，则（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
5．已知复数z满足，则（ ）
A．i B． C． D．
6．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则. B．若，，则.
C．若，，，则 D．若，，则
7．在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　）
A．1 B． C． D．2
8．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且边BC上的中线长等于，则（ ）
A． B．3 C． D．6
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．已知，是复数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
11．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．四边形的周长为 D．四边形的面积为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．在中，为边上靠近点的一个三等分点，为线段上的动点，且，则的最小值为______.
13．在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为______.
14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点分别在棱上．当空间四边形的周长最小时，二面角的余弦值为_____．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在中，角所对的边分别为．
(1)若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解；
(2)若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围．
16．正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质：（其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．
(1)正十二面体共有几条棱，几个顶点？
(2)如图所示的正方体中，点为正方体六个面的中心，假设几何体的体积为，正方体的体积为，求的值；
(3)判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．
17．某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图.
(1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？
(2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差.
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差.
18．如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记．
(1)-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由）
(2)在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求；
(3)如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值．
19．如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为．
(1)求证：平面；
(2)设二面角为，求．
试卷第1页，共3页
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湖南省岳阳市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B C D B A BD ACD
题号 11
答案 BCD
12．/
13．
14．/
15．(1)当时，此时三角形不存在，
当或时，此时三角形只有一解，
当时，此时三角形有两解.
(2)
16．(1)正十二面体共有条棱，个顶点
(2)
(3)柏拉图多面体只有种，理由见解析
17．(1)
(2)，
18．(1)①成立，②不成立．
(2)
(3)．
19．(1)因为是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面；
(2)
答案第1页，共2页
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