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苏科版八年级数学下册期末考试模拟试卷
一、单选题（每题3分，共24分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，随机事件是（ ）
A．明天太阳从西边升起 B．两直线平行，同位角相等
C．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 D．通常加热到时，水沸腾
3．某市有4万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽样调查了1500名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A．每名考生的数学成绩是个体 B．4万名考生是总体
C．1500名考生是总体的一个样本 D．1500名考生是样本容量
4．多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．化简二次根式结果是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共32分）
9．若分式有意义，则的取值范围是_________．
10．利用因式分解计算：_________．
11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为________．
12．已知x＝，y＝，则x2＋xy＋y2的值为______．
13．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______．
14．如图是的中位线，平分交于点，若，，则_____ ．
15．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是________
16．如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，若，且，则的长为________．
三、解答题（共84分）
17．（8分）分解因式：
(1) ； (2)．
18．（8分）计算：
(1)． (2)．
19．（8分）解方程：
(1)； (2)．
20．（8分）先化简，再求值：，且为满足的整数．
21．（8分）2024年，中国空间站工程将陆续实施天舟七号货运飞船、神舟十八号载人飞船、天舟八号货运飞船、神舟十九号载人飞船等4次飞行任务，为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，某中学随机抽取学生进行测试，并对测试结果进行整理和分析，将成绩划分为，，，四个等级，并绘制了如下统计图（不完整）．
根据以上信息，回答下列问题．
(1)求出本次调查抽取的总人数，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求等级为的学生人数所对应的扇形圆心角的度数；
(3)若该中学共有3000名学生，且全部参加这次测试，利用题中信息，估计学生的测试成绩等的总人数．
22．（10分）如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求证：四边形是矩形．
23．（10分）为创建文明社区，营造干净整洁的街道社区环境，某社区准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，已知购买甲种垃圾桶的单价比购买乙种少50元，用2500元购进乙种垃圾桶的数量是用4000元购进甲种垃圾桶的数量的一半．
(1)求甲、乙两种垃圾桶的单价；
(2)该社区拟计划订购这两种垃圾桶共30个，且总费用不超过7000元，则社区最多可以购买多少个乙种垃圾桶？
24．（12分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设 (其中，，，均为正整数)，则有．
∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
(1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
(2)若，且，，均为正整数，求的值；
(3)化简 ．
25．（12分）如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若A（m，n）满足．点M是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．

(1)当点P与点O重合时，在图2中用直尺和圆规作出点M（不写作法，保留作图痕迹）），并求点M的坐标；
(2)当时，如图3，求点P的坐标；
(3)如图4，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．直接写出线段长度的最大值．
参考答案
1．A
【详解】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：A．
2．C
【详解】解：A、明天太阳从西边升起，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合要求；
B、两直线平行，同位角相等，是一定成立的事件，属于必然事件，不符合要求；
C、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合要求；
D、通常加热到时，水沸腾，是一定发生的事件，属于必然事件，不符合要求．
3．A
【详解】解：由题意知，每名考生的数学成绩是个体，A正确，故符合要求；
4万名考生的数学成绩是总体，B错误，故不符合要求；
1500名考生的数学成绩是总体的一个样本，C错误，故不符合要求；
1500是样本容量，D错误，故不符合要求；
故选：A．
4．D
【详解】解：，多项式分解因式时，应提取的公因式，故选：D
5．B
【详解】解：原式
6．B
【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位，
∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日，∴甲的速度为，乙的速度为，
设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为，
∵相遇时甲乙的路程和等于总路程，∴．
7．B
【详解】解：∵，∴，∴．
故选：B．
8．D
【详解】解：过作于点，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，故③符合题意；
如上图，延长交于点，
∴，
∵，
∴，即，故②符合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，
故④符合题意；
故选：D．
9．
【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：．
10．4051
【详解】解：．
11．4
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式∴2a-3=5，解得：a=4．
故答案为：4．
12．4
【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．
13．
【详解】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为．
14．
【详解】解：是的中位线，
，，，
，
又平分，
，
，
，
．
15．且
【详解】解：
方程两边同乘，得，
整理，得，
，
∵关于x的分式方程的解为负数，
∴，
∴，
∵分式方程有解，
∴，即，
∴，
解得且
∴且．
故答案为：且,
16．
【详解】解：如图，延长至G，使得，连接，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设，则，，
∴，
∴，
解得，
即，
∴，
∴，
∴．
17．(1) (2)
【详解】（1）解：
（2）解：
18．(1) (2)2
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
19．(1) (2)原分式方程无解
【详解】（1）解：，
两边同乘以，得，
去括号，得，
移项并合并同类项，得，
经检验，是原方程的解；
（2）解：，
两边同乘以，得，
去括号，得，
移项并合并同类项，得，
解得，
经检验，是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
20．，
【详解】解：原式；
∵且，∴且，
∵且是整数，∴，
∴当时，原式．
21．(1)50人，见详解 (2) (3)名
【详解】（1）解：由图得：等级有10人，占，
（人，
等级的人数：（人，
条形图如图所示：
（2）解：等级为的学生人数所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）解：（名）
答：估计学生的测试成绩等的总人数有1200人．
22．【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形；
∴，
又由（1）可得，四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，即四边形是矩形．
23．(1)甲种垃圾桶的单价为200元，则乙种垃圾桶的单价为250元 (2)社区最多可以购买20个乙种垃圾桶
【详解】（1）解：设甲种垃圾桶的单价为元，则乙种垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种垃圾桶的单价为200元，则乙种垃圾桶的单价为250元．
（2）解：设购买个乙种垃圾桶，则购买个甲种垃圾桶，
由题意得，，
解得：，
所以的最大值为20，
答：社区最多可以购买20个乙种垃圾桶．
24．(1)，； (2)或 (3)
【详解】（1）解：∵
，
故答案为：，；
（2）解：
∴
，且为正整数，
或，
，或．
（3）解：设，且为正整数，
∴，
∴，，
∴，
∴，
同理可得
∴
．
25．(1)图见解析， (2) (3)
【详解】（1）如图，点M即为所求，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，．
由折叠得，，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接．

由折叠得，，
∴．
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（3）取的中点，连接，．
，点是的中点，．
，
，
，
由中点坐标公式可知：点的坐标为，
，
，
当点、、三点共线时，的长度最大，
则的最大值为，
的最大值为．

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