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华清中学 2026届高三下学期第二次自主命题 6. 若圆C 2 2 21 : (x 1) (y 1) 4与C2 : (x 2) (y 3)2 25交于M ,N两点，则四边形MC1NC2
数学试题 的面积为
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A. 4 6 B. 8 6 C. 2 6 D. 6
命题人、校对人：高三数学组 7.甲箱中有 2红球，3个白球和 2个黑球，乙箱中有 3个红球和 3个黑球，先从甲箱中随机
注意事项： 摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出 2个球，分别用 A1，A2，A3表示从甲箱中摸出的球是红
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 球，白球和黑球的事件，用 B表示从乙箱中摸出的 2个球颜色不同的事件，则下列结论不正
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 确的是
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 2 15 4A．P A1 B． P B A2 C． P B A3 D．P B 31 7 49 7 49

8.已知向量 a,b满足 a b 2,a b 2 |，向量 a c与向量b c的夹角为 ，则 a c的最大
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 6
一项是符合题目要求的. 值为
1.已知复数 z m2 7m 6 (m2 36)i是纯虚数，则实数 m的值为 4 3
A. 3 B.2 C. D.4
3
A.±6 B.1 或 6 C.－6 D.1
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部
2.已知命题 p： x R， | x 1| 1；命题 q： x 0， x3 x，则 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
A. p 和 q 都是真命题 B. p和 q都是真命题 9.如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，点 P，Q，M，N分别是 AB1，CC1，A1C1，
C. p 和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题
BC 的中点，则下列说法中正确的有（ ）
3.已知 f (x)是定义在 R上且周期为 2的偶函数，当 2 x 3时， f (x) 5 2x
3
，则 f ( )
4 A. PQ / /平面 ABC B. MN BC
等于
C. PQ 平面ABB1A1 D. PQ与MN1 1 1 1 相交
A. B. C. D.
2 4 4 2 10.下列结论正确的是（ ）
5 A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
4.已知0 ， cos ，则 sin
2 5 4

B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
2 2 3 2 7 2 C.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r的绝对值越接近于 0
A. B. C. D.
10 5 10 10 n
(yi y )2i
x2 D.决定系数 R2 1 i 12 F F y x m A,B n 可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好5.已知椭圆C : y 1的左、右焦点分别为 1， 2，直线 与C交于 两点，若3 (yi y)2
i 1
△F1AB 面积是△F2AB 面积的 2倍，则m 11. 已知点 A( 2,0),B(2,0) ,点 P(x, y)(x 2)为平面上的一个动点， k为直线的斜率.定义运
2 2 2 2
A. B. C. D. 算： k k 2 ,则下列说法正确的是( )3 3 3 3 PA PB
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… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考试号：_______________
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16.（15 分）在等差数列 an 中，公差 d 0,a23 a1a6 ，已知 a1,a5 ,ak ,ak , ,a 成等比数列.1 2 kn
A.若运算 为加法，则 P点的轨迹曲线关于原点对称 （1）求数列 kn 的通项公式；
B.若运算 为减法，则 P点的轨迹为开口向右的抛物线的一部分
1 11
C.若运算 为乘法，则 P点的轨迹为焦点在 y轴上的椭圆的一部分 （2）设bn log2 (kn 3)，证明：数列 的前 n项和Tn .
nbn 18
D.若运算 为除法，则 P点的轨迹为一条直线
a
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 17.（15 分）已知函数 f x x a lnx ，其中a 0 .2
12. 若一个等比数列的各项均为正数，且前 4项和为 4，前 8项和为 68，则该等比数列的公比
为_______． （1）当 a 0时，
13.某班 30 个男生的数学平均分为 90，方差为 4，20 个女生的数学平均分为 85，方差为 6，
则全班 50 个学生的数学成绩的方差为_______. （ⅰ）求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
14.已知函数 f x sin x 1，如图 A，B是直线 y 与曲线 y f x 的两个交点，若
2 （ⅱ）求函数 f x 的单调区间；
AB π ，则 f π ______ ．
6 （2）若 f x 0，求 a的取值范围.
x2 y2
18.（17 分）已知椭圆C： 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1 1,0 ，F2 1,0 2 2 ，点M 在a b
3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. C上，MF2 x轴，且 MF2 ．2
15.(13 分）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市
（1）求C的方程；
充电桩建设的情况，能源部门收集到了 2021 年到 2025 年充电桩数量 y（单位：万个），为
（2）过点P 4,0 的直线交C于不同的两点 A、B，AH MF2于点H ，
方便研究，年份代码用 x表示（用1，2，…，5分别表示 2021 年，2022 年，…，2025 年），具
①求△OAB面积的最大值；
体参考数据如下表：
②判断直线HB是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
5 i 1 5 i 1
统计量 xi y
2
i xi xi yi
i 1 5 i 1 5 19.（17 分）如图，在三棱锥P ABC中， AB BC， AB 2，BC 2 2， PB PC 6，
数值 15 21 55 72.6
BP，AP，BC 的中点分别为 D，E，O， AD 5DO，点 F在 AC 上，BF AO .
（1）请根据表中数据，建立 y关于 x的回归直线方程 y b x a ；
（2）现对该市某区域现有的 9个充电桩进行检查，其中 4个为快充桩，随机抽取 3个充电桩 （1）证明：EF / /平面 ADO；
进行检查，记抽到的快充桩个数为 X ，求 X 的分布列及均值． （2）证明：平面 ADO 平面 BEF；
n （3）求二面角D AO C的正弦值.
(xi x)(yi y)
参考公式：b i 1 n ,a y b x.
(x 2i x)
i 1 题页翻至末尾，题海跋涉就要告一段落，相信你已做好准备。请记住，人生从无无解难题，
前路自有最优答案。祝高考步步皆顺，道道从容，所得皆为最优解。
——华清中学 2026 届高三数学组
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此 卷 只 装 订 不 密 封
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………华清中学2025-2026学年（下）高三年级第二次自主命题
数学参考答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D B A D C A B D ACD AD AC
二、填空题
12．2 13. 10.8 14.
三、解答题（解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．
15.解：（1）由题意可得：；；
故；
；
则关于的回归直线方程为：．
（2）由题意知，随机变量的取值为：0，1，2，3；则：
；；
；
故的分布列为：
0 1 2 3
所以随机变量的均值．
16.解：
17.解：（1）当时，，.
（ⅰ）因，，所以切线方程为.
（ⅱ）由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，不满足题意.
所以，此时.
显然是上的增函数，且时，，时，，
所以存在唯一正实数使得，即.
此时在上单调递减，在上单调递增.
由题意.
将代入上式整理得：，解得：.
此时，代入后.
化简得：，解得：.
令，其中.
则，所以是区间上的增函数.
所以，代入得到的取值范围是.
18.解：因为椭圆，焦点，
，由 轴，点的横坐标为，代入椭圆方程：，，联立方程组：，解得，
∴椭圆的方程为：.
（2）由（1）知点 ， 为直线 ，由 ，得 ，
设直线 的方程为，，
则联立：，
消元得：，
，所以
由韦达定理：
①，
则，
令，则，所以，
由均值不等式，当且仅当 时取等号，
②直线 过点 和，方程为：
令，得：，
将 代入：，
由韦达定理得 ，
代入化简：，
∴直线恒过定点.
19.解：（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，则，得，
因此，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，所以平面平面.
（3）过点作交于点，设，
由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，
因为分别为的中点，因此为的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，则，
从而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值为.
2

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