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绥化市中考数学模拟3
一．选择题
1．计算cos30°﹣的值（　　）
A．0 B． C．1 D．
2．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．B． C． D．
3．一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算一定正确的是（　　）
A．2a 3a＝6a B．a2 a3＝a6 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5
5．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x≥1
6．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）
7．我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（　　）
A． B． C． D．
8．在“五 四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是94
9．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．4
10．下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等 B．菱形的四条边相等
C．正五边形是中心对称图形 D．单项式5ab2的次数是4
11．如图，已知点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点P沿C→A→B→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴于点M，设点P的运动时间为t，△POM的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（　　）
A．B． C．D．
12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，﹣2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2≤x2＜3，则下列结论：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第6题图 第9题图 第12题图 第19题图 第20题图
二．填空题
13．溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数．常温下CaCO3的溶度积约为0.0000000028，将数据0.0000000028用科学记数法表示为 　 　．
14．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
15．分解因式：a+2ab+ab2＝　 　．
16．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 　 　．
17．若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为 　 　．
18．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　 　．
19．如图，在矩形ABCD中，，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 　 　．
20．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）．那么大汶河此河段的宽AB为 　 　米．（参考数据：sin40°≈，sin63.6°≈，tan50°≈，tan63.6°≈2）
21．如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第 　 　个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
22．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，．现将△ABC以点B为旋转中心旋转30°，得到△A′BC′，直线C′A′交直线AC于点D，则CD的长度为 　 　．
三．解答题
23．如图，△ABC中，已知∠A＝90°．
（1）作图：在线段AB上求作一点D，使DB＝DC（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，当2∠B＝∠ACB时，求证：2AD＝BD．
24．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）．
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．
25．直线y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于点A（﹣2，m），B（n，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求直线y1的表达式；
（2）若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
（3）过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
26．已知正方形ABCD，⊙O经过点B，C，且与AD边相切于点E，连接EB、EC．
（1）如图1，求证：AE＝DE；
（2）如图2，连接OC，点F是圆O上一点，CF平分∠OCG，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
①求证：FG是⊙O的切线；
②若正方形ABCD的边长为8，求tan∠CFG的值．
27．（1）操作发现：
如图①，在五边形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠BAE＝∠AED＝90°，∠CAD＝45°，试猜想BC、CD、DE之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：
将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B＝∠AED＝90°，得∠DEF＝180°，即点D、E、F三点共线，易证△ACD≌　 　，故BC、CD、DE之间的数量关系是 　 　；
（2）类比探究：
如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠D＝180°，点E、F分别在边CB、DC的延长线上，∠EAF＝∠BAD，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：
如图③，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝2，CE＝3，请在图中作出辅助线，并求出DE的长．
28．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，﹣1），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
（3）作抛物线F关于直线y＝﹣1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
参考答案
一．选择题
1．A．2．B．3．C．4．C．5．C．6．B．7．C．8．B．9．C．10．B．11．D．12．C．
二．填空题
13．2.8×10﹣9．14．x≥﹣2，且x≠1．15．a（b+1）216．．17．．18．6．19．4π．
20．74．21．12．22．2或2．
三．解答题
23．（1）解：如图，点D即为所求；
（2）证明：由（1）可知：DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵2∠B＝∠ACB，∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝∠BCD+∠ACD，
∴∠B＝∠BCD＝∠ACD＝30°，
∴CD＝2AD，
∴2AD＝BD．
24．解：（1）如图，画出△A1B1C1；
（2）以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积＝10×8﹣2××2×4﹣2××4×8＝40；
（3）如图，点E即为所求（答案不唯一），点E的坐标（6，6）．
25．解：（1）分别将点A（﹣2，m）、点B（n，﹣1）代入 中，
即﹣2m＝﹣8，﹣n＝﹣8，
解得：m＝4，n＝8，
∴A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（8，﹣1），
把A点坐标（﹣2，4），B点坐标（8，﹣1）分别代入 y1＝kx+b，
即
∴一次函数表达式为 ．
（2）由图象可知，
当y1＞y2时，x＜﹣2或0＜x＜8．
（3）把y＝3时代入中，
得 ，
∴D点坐标为 ，
，
∴．
26．（1）证明：如图1，连接EO并延长交BC于H，
∵AD与⊙O相切，
∴EH⊥AD，
∴∠AEH＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABHE为矩形，
∴AE＝BH，∠BHE＝90°，
同理，ED＝CH，
∵∠BHE＝90°，
∴BH＝CH，
∴AE＝DE；
（2）①如图2，连接OF，
∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，
∵CF平分∠OCG，
∴∠OCF＝∠FCG，
∴∠OFC＝∠FCG，
∴OF∥HG，
∴∠OFG+∠FGH＝180°，
∵FG⊥BC，
∴∠FGH＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴FG⊥OG，
∵点F在⊙O上，
∴FG为⊙O的切线；
②如图2，连接EO并延长交BC于H，
∵四边形ABHE为矩形，
∴EH＝AB＝8，
由（1）知，HC＝BC＝4，
设⊙O的半径为R，
∴OC＝R，
∴OH＝8﹣R，
在Rt△OHC中，OC2＝OH2+HC2，
∴R2＝（8﹣R）2+42，
∴R＝5，
∵∠OHG＝∠G＝∠OFG＝90°，
∴四边形OHGF为矩形，
∴FG＝OH＝3，HG＝OF＝5，
∴CG＝HG﹣HC＝5﹣4＝1，
在Rt△CGF中，tan∠CFG＝＝．
27．解：（1）△AFD，CD＝DE+BC；
（2）如图2，EF，BE，DF之间的数量关系是EF＝DF﹣BE．
证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，如图②，
则△ABE≌△ADE'，
∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，
∴∠EAE'＝∠BAD，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠ADE'＝∠ADC，即D，E'，C三点共线，
又∵∠EAF＝∠BAD＝∠EAE'，
∴∠EAF＝∠E'AF，
在△AEF和△AE'F中，
，
∴△AFE≌△AFE'（SAS），
∴FE＝FE'，
又∵FE'＝DF﹣DE'，
∴EF＝DF﹣BE；
（3）如图③，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，则CD'＝BD＝2，
由（1）同理得，△AED≌△AED'，
∴DE＝D'E．
∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，
∴∠ECD'＝90°，
在Rt△ECD'中，ED'＝＝＝，即DE＝，
．
28．解：（1）将A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入 y＝﹣x2+bx+c，
得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+2；
（2）如图1，过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，
∴△CDM∽△ODB，
∴，
设AB的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣3，﹣1），B（0，2）代入解析式得 ，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
设C（t，﹣t2﹣2t+2），则M（t，t+2），
∴CM＝﹣t2﹣2t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵﹣3＜t＜0，
∴当t＝﹣时，CM有最大值，此时 的最大值为，
此时点C的坐标为（﹣，）；
（3）由中心对称可知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝﹣1与抛物线F的右交点，
当x2﹣2x+2＝1时，解得x＝﹣3（舍）或x＝1，
∴E（1，﹣1），
∵抛物线F：y＝﹣x2﹣2x+2 的顶点坐标为（﹣1，3），
∴抛物线F'的顶点坐标为（3，﹣5），
设G（m，m+2），
当BE为平行四边形的对角线时，x+3＝1，解得x＝﹣2，
∴G（﹣2，0）；
当BG为平行四边形对角线时，x＝3+1＝4，
∴G（4，6）；
当BH为平行四边形的对角线时，x+1＝3时，解得x＝2，
∴G（2，4）；
综上所述：G点坐标（﹣2，0）或（4，6）或（2，4）．
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