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陕西榆林市横山中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试题
一、单选题
1．（ ）
A．10 B．11 C．13 D．15
2．已知随机事件A，B满足，，则（ ）
A． B． C． D．1
3．已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在的展开式中，一次项的系数为（ ）
A．32 B．16 C． D．
6．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．有两段单调递减区间 B．有两段单调递增区间
C．有两个极值点 D．有两个零点
7．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“上凸函数”，以下四个函数在上不是上凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，且个位用纵式，十位用横式，则个位上的算筹比十位多的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列关于导数的运算不正确的有（ ）
A． B．（且）
C． D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．有红、黄、蓝、绿、黑五种不同颜色可供图中的a，b，c，d四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（ ）
A．只用红、黄、蓝三种颜色涂色有6种不同涂法
B．刚好用红、黄、蓝、绿四种颜色涂色有24种不同涂法
C．总共有180种不同涂法
D．同时用上黑、绿两种颜色涂色有100种不同涂法
三、填空题
12．函数在处的切线斜率为_________．
13．若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围为_________．
14．某登山团队的7名成员站在山顶排成一排合影留念，其中队长甲必须站在正中间，好友乙和丙必须相邻，小朋友丁不能站在边上，则符合条件的排法有_________种（用数字作答）．
四、解答题
15．已知的展开式中第1项与第7项的二项式系数相等．
(1)求n的值与展开式中各项的系数和；
(2)求该二项式的常数项，并判断是展开式的第几项．
16．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)在（1）的条件下，求函数的单调区间．
17．某青年志愿者协会共有4名男生和3名女生.现要从中选出5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）．
(1)若女生丽丽必须进入小队并担任宣传，求符合条件的安排方法数；
(2)若已知后勤必须由男生担任，接待必须由女生担任，且男生大勇不会维修，求符合条件的安排方法数．
18．已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的零点个数．
19．某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响．
(1)求甲在象棋比赛中积1分的概率；
(2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大；
(3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求．
参考答案
1．D
【详解】.
2．A
【详解】由，得.
3．A
【详解】函数在处可导，且，则
4．C
【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即得；
5．B
【详解】，
的展开式的通项为.
令，得；
令，得.
所以的展开式中，一次项为.
所以一次项的系数为.
6．D
【详解】记函数与轴的两个交点横坐标从左往右依次为，
则由图可知：当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
故有两段单调递增区间，有两段单调递减区间，函数有一个极小值点：；有一个极大值点：；即A，B，C选项正确，
不能确定函数的零点个数，D错误.
7．D
【详解】对于C，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数，故C错误；
对于B，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数，故B错误；
对于A，由，得，则，
因为，所以，所以此函数是凸函数，故A错误；
对于D，由，得，则，
因为，且，所以此函数不是凸函数，故D正确；
8．C
【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，
共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种，
个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种，
个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种，
共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种，
所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为.
则个位上的算筹比十位多的概率为.
9．BCD
【详解】，所以A正确；
（且），所以B不正确；
因为是常数，所以，所以C不正确；
，所以D不正确.
10．AC
【详解】因为，
令时，，A选项正确；
应用二项式展开式得，，B选项错误；
令，则，所以，C选项正确；
令，则，
，所以，D选项错误；
11．ABC
【详解】先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法，
故共有种方法，所以只用红、黄、蓝三种颜色涂色有6种不同涂法，A选项正确；
刚好用红、黄、蓝、绿四种颜色涂色有种不同涂法，故B正确；
当，同色时，先涂区域，有5种方法，再涂区域，有4种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有3种涂法，共有种方法，
当，不同色时，四个区域都涂不同颜色的不同方法数为，故可知有种方法，
即任选若干种颜色涂色的不同方法数为，故C正确；
同时用上黑、绿两种颜色涂色且用三种颜色涂色种涂色方法；
同时用上黑、绿两种颜色涂色且用四种颜色涂色种涂色方法；
所以同时用上黑、绿两种颜色涂色有种不同涂法，D选项错误；
12．0
【详解】因为，则，
可得，所以函数在处的切线斜率为0.
13．
【详解】函数的定义域为，.
由函数在区间内单调递增，得在上恒成立，
即在上恒成立.
因为在上单调递减，最大值为，所以，
即实数a的取值范围为.
14．120
【详解】将队伍从左到右依次按1到7编号，其中队长甲必须站在正中间的4号位置，
因为好友乙和丙必须相邻，可能的相邻位置组为：，，，.
乙丙内部有种排列，所以乙丙的位置选择有种.
当乙丙在的位置上，剩余的位置为3、5、6、7，
因为小朋友丁不能站在边上，
所以丁可选3、5、6三个位置，剩余三个位置排其余三人，有种排法，
这种情况的排法有种.
同理当乙丙在的位置上，也有种排法.
当乙丙在的位置上，剩余的位置为1、2、3、7，
因为小朋友丁不能站在边上，
所以丁可选2、3两个位置，剩余三个位置排其余三人，有种排法，
这种情况的排法有种.
同理当乙丙在的位置上，也有种排法，
综上，符合条件的排法共有种
15．(1)6；729
(2)常数项为160，是展开式的第4项
【详解】（1）由题可知：，由组合数性质可知：，
令得展开式中各项的系数和为．
（2）二项式展开式的通项公式，
令，解得，可得，
所以该二项式的常数项为160，是展开式的第4项．
16．(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为
【详解】（1）因为，所以，即，
因此函数为.
所以，，，
所以所求切线方程为，即.
（2）由（1）知，函数的定义域为，
，
令，解得，或，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
17．(1)360
(2)612
【详解】（1）丽丽固定在宣传岗，
剩余4个岗位（接待、保洁、维修、后勤）从剩下的6人（4男+2女）中选4人进行排列．
方法数为：种．
（2）①若男生大勇担任后勤，则先安排接待岗位有3种安排方法，
再从剩下的5人中选择3人排列到剩余岗位上，
根据分步乘法计数原理，方法数为种；
②若后勤不由大勇担任，则先安排后勤岗位有3种安排方法，
再安排接待岗位有3种安排方法，
第三步安排维修岗位，因大勇不能担任，所以有4种安排方法，
最后从剩下的4人中任选2人排列到宣传和保洁两个岗位上.
根据分步乘法计数原理，方法数为种，
综上，根据分类加法计数原理，总安排方法数为种．
18．(1)极小值，无极大值
(2)当时，在上有0个零点；当时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点
【详解】（1）由题意，函数的定义域为，
当时，，得，
令，即，解得；
令，即，解得，
则当时，单调递增；
令，即，解得，
则当时，单调递减；
所以当时，函数取极小值，无极大值；
（2）由得方程，
令，则函数零点的个数就是与交点的个数，
由（1）可知当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，；；
当时，，所以，
画出函数的图象如下：
由图可知，当时，函数与无交点；
当或时，函数与有一个交点；
当时，函数与有两个交点．
所以当时，在上有0个零点；
当时，在上有1个零点；
当时，在上有2个零点．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）甲在象棋比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，共胜1场，故概率为．
（2）证明：甲在游戏中总得分为2，设甲在比赛中得分为M，总分为N，易知M可能为1或2，
由全概率公式，
因为二次函数在上单调递增，
所以当p越大时，越大．
（3）象棋比赛中在事件A发生的条件下，若B不发生，则存在乙、丙、丁中的某人在比赛中得两分，且在抽奖中得两分，并且甲在抽奖中得0分，
A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故，
A与同时发生时，有，
由全概率公式，
所以．

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