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广东珠海市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试试题高二年级数学
一、单选题
1．圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．5 C．1 D．9
3．已知是由，，组成的一个三位数，表示为，其中，，，均表示从1到5中的任意数，若以，，为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（ ）
A．65个 B．55个 C．47个 D．35个
4．运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．72 B．96 C．114 D．124
5．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
6．为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多
B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先快后慢
C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快
D．该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同
7．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则有（ ）
A．事件、相互独立 B．
C． D．
8．已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．，，使得 D．
10．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的极小值点为
B．
C．若函数有4个零点，则
D．若，（），则
11．现有甲、乙、丙、丁四人组成两队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队.已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员.现从甲开始传球，设传球次数为（，且），则（ ）
A．传球次后，球在甲手中的概率和在乙手中的概率始终相等
B．当时，球在乙手中的概率为
C．传球次后，球在队手中的概率恒为一个常数
D．设传球次后球在甲手中的概率为，则（）
三、填空题
12．求二项展开式中常数项为______.
13．把四个球（标号为1～4号），随机放入编号为1～4号的四个盒子中.若球的编号与盒子的编号相同即为一个配对，记为总的配对个数，则______.
14．已知定义在上的函数，满足，且，则不等式的解集是______
四、解答题
15．已知正项数列的前项和为，且（）.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)令，求数列的前项的和最小值.
16．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点.
(1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由.
(2)判断平面与平面是否垂直，如果是，请证明，如果不是，请说明理由.
(3)求直线与平面的距离.
17．某个抽奖箱设置（）个白球和8个红球，若一次抽取2个球全是红球的概率为.
(1)求的值；
(2)某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖（例如消费700元可抽两次），在抽奖箱里每次抽取3个球，每抽到一个红球返现30元：
①假设只抽一次，设取出红球的个数为，求的分布列；
②若该商场同时还推出购物享八五折优惠活动，假设某顾客消费900元，应该选择哪种优惠方式更划算，若某顾客消费1000元呢？
18．如图，顶点在原点的抛物线的焦点坐标为，点，在上.
(1)求抛物线方程和的值；
(2)，为上两点，的重心在直线上.
①证明：直线的斜率为定值；
②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为.证明：点在定圆上运动.
19．函数
(1)求曲线：在处的切线方程.
(2)设
（ⅰ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
（ⅱ）当时，在上的所有零点从小到大依次为，，…，，…求证：.
参考答案
1．D
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
2．B
【详解】因为，所以，故
3．C
【详解】若构成等边三角形，边长为1到5的三位数共5个，所以有个；
若构成等腰三角形，设腰长为，底边长为，其中且，
当时，，每种对应3个排列，共个；
当时，，每种对应3个排列，共个；
当时，，每种对应3个排列，共个；
当时，，每种对应3个排列，共个；
由分类计数原理得，共有个.
4．C
【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
故不同的安排方法共有种.
故答案为：C.
5．C
【详解】双曲线的两个焦点为、，焦点在轴上，因此.
设焦点，，已知点在双曲线上，
则，，
因此，得.
所以离心率为.
故选：C.
6．D
【详解】选项A，设，
设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为，
结合图像可知：，
所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；
选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知，
直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度，
而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先快后慢，
从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；
选项C，设为接近的时刻且，
从时刻到时刻，污水排放量平均变化率，
由导数的定义与几何意义可知，
在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替.
设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为，
结合图象可知，
所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；
选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等，
即甲 乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，
所以该月内存在某一时刻，甲 乙两厂污水排放量减少的速度相同.
故D正确.
7．D
【详解】对于A选项，由可得 ，，又，
所以，， 事件、不相互独立，故事件、不相互独立，
所以，选项A错误；
对于B选项，由A选项可知，事件、不相互独立，，
，，
所以，，所以，选项B错误；
对于选项C，由B选项可知，，，
所以，选项C错误；
对于选项D，由B选项可知，，，
所以，，
所以选项D正确.
8．C
【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根，
令，则，
由得；得；
则在单调递增，在上单调递减，则，
因为时；时，且时，
所以的函数图象如图：
因为不是的根，
所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是，
但方程的两根的乘积为，
所以一个根位于，另一根位于，
则，得，
故的取值范围是.
故选：C
9．BCD
【详解】设公比为，，则 ，
两式作比得 ，进而，因此，故选项B正确.
，因此公差 ，因此，选项A错误.
，指数函数增长速度远快于一次函数，
当时 .因此对任意，总能找到正整数使得，选项C正确.
则，
所以
，
因此，选项D正确.
10．ABC
【详解】对于A，的定义域为，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以是函数的极小值点，A正确；
对于B，令，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以，当且仅当时成立，
所以，又在上单调递减，
所以，B正确；
对于C，令，则，
若函数有4个零点，则函数和有4个交点，
又的定义域为，且，
所以是偶函数，图像关于轴对称，当时，，
所以原题意等价于当时，函数和有2个交点，
由A选项可知：当时，，图像如图所示：
所以，C正确；
对于D，设，
则，
所以当时，，单调递增，
则，即，
若，（），不妨设，
则，且，在上单调递增，
所以，即，故D错误.
11．BC
【详解】由题意得，甲传给乙、丙、丁的概率分别为，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，
对于A，当时，球从甲开始传，球在甲手中可分为三种情况：
当甲乙甲，其概率为；当甲丙甲，其概率为；
当甲丁甲，其概率为，所以概率为，
当时，球从甲开始传，球在乙手中时，可分为两种情况：
当甲丙乙，其概率为；
当甲丁乙，其概率为；
所以概率为，两者概率不相等，所以A错误；
对于C，设传球次后，球在队成员手中的概率为，
根据全概率公式，可得是常数，
由选项可知当传球2次后球在队手中的概率为，所以C正确；
对于D，事件：传球次后，球在甲手中；：传球次后，球在乙手中；
：传球次后，球在队队员手中，则，
设次传球后，球在乙手中的概率为，由C项知球在甲手中的概率为，
球在队队员手中时，下一次传球后，有的概率传到乙手中，
根据全概率公式得
，所以，
所以是首项为 公比为的等比数列，
可得，所以，
所以传球次后球在甲手中的概率为，所以D错误.
对于B，当时，可得，所以B正确.
12．135
【详解】依题意，该二项式的通项公式为，
令，得，故.
13．
【详解】由题意可能取：，则
，，
的分布列为：
0 1 2 4
14．
【详解】已知定义在上的函数满足，
即，两边同乘可得，
观察可知左边为，右边为，
构造辅助函数，
求导得，
所以在上严格单调递减.
对原不等式进行化简可得.
即，再两边同除以，
整理得，则，
又，则，
因此原不等式等价于.
因为在上严格单调递减，所以等价于.
因为定义域，解得，即不等式的解集为.
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得，，①
当，得，解得：，
当，得，②
得，，
化简得，，进而得到，
，又由为正项数列得，，故有，
，所以，，
故数列是等差数列，又，所以.
（2）由（1）得，，易知为等差数列，
设的前项和为，故有，
根据二次函数的性质，的对称轴为，
因为为正整数，明显地，取或时，有最小值，
故最小值为，
所以数列前项的和最小值为.
16．(1)平行，理由见解析
(2)不垂直，理由见解析
(3)
【详解】（1）取的中点，连接，因为为中点，
所以且，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）取中点，连接，
因为，，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
又平面，所以平面，
因为，所以平面，所以，
所以，又，所以不垂直，
又，平面平面，
假设平面与平面垂直，则平面，，
与推出的不垂直相矛盾，所以平面与平面不垂直；
（3）由（2）可知平面，，又平面，
则平面平面，
以为原点建立如上图所示空间直角坐标系，则，
所以，所以 ，
所以，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以，
所以直线与平面的距离为
17．(1)
(2)①的分布列如下：
②消费元时，选择抽奖优惠的平均返现金额更大，消费元时，选择八五折优惠的平均返现金额更大.
【详解】（1）由题可得，抽奖箱内共有个球，一次抽取2个球全是红球的概率为；
即，化简得到，
因为，解得.
（2）①的可能取值为，根据超几何分布的概率公式可得：
；；
；；
则的分布列如下：
②由①知的数学期望为，
则单次抽奖的期望返现为：元，
情况1：消费元
抽奖优惠：每满元抽次，可抽次，总期望返现为元，
八五折优惠：节省金额为元，
由于，故消费元时，选择抽奖优惠的方式更划算；
情况2：消费元
抽奖优惠：每满元抽次，可抽次，总期望返现仍然为元，
八五折优惠：节省金额为元，
由于，故消费元时，选择八五折优惠的方式更划算.
18．(1)，
(2)①证明见解析②证明见解析
【详解】（1）解：设抛物线方程为，
抛物线的焦点坐标为，
所以，解得，
因此，抛物线的方程为．
将代入抛物线方程：，又，故．
（2）①设，，
则的重心为，
由题意知，，则．
所以直线的斜率，为定值．
②因为直线的斜率不为零，
所以设直线的方程为．设，．
联立，整理得．
所以.
设为的中点，则：
，，
即．
直线与轴交点，，则中点．
由于，所以．
所以．
直线的斜率：，
直线的方程：，整理得.
令，代入方程，解得，
因此，直线经过定点．
因为，于，
所以在以为直径的定圆上．
19．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）解：，，解得，
则函数的定义域为，
，
又，，
所以切线的斜率为，切点坐标为，
切线方程为，即；
（2）（ⅰ），则，
因为，所以，，，
要使恒成立，即在上的最大值小于等于，
因为，
当时，，在上单调递减，
所以，满足恒成立；
当时，令，即，解得，
因为，所以存在，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得最大值，不满足恒成立，
综上，实数的取值范围是；
（ⅱ）证明：，，
令，则，
又，则，
当时，，
所以在上单调递减，则，
即在上无零点，又由的最小正周期为，
则与的函数图像如下：
易知在上分别有零点，
即，又，
则，
令，，
则在上单调递增，，
故时，，又，
所以，
则
．

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