资源简介

广东省汕尾市陆丰市2025—2026学年度第二学期期中教学质量监测高二数
学
一、单选题
1．已知等比数列{an}满足 a1 1,a3 9，则 a2=（ ）
A．3 B． 3 C．1 D． 3
2．记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，若 a3 5， a11 7，则 S13=（ ）
A．78 B．84 C．90 D．96
3．已知函数 y f (x)的导函数 y f (x)的图象如图所示，则下列描述正确的是（ ）
A． f (x)在 ( ,1)单调递增 B． f (x)在 x 0处取得极大值
C． f (x)在(0,1)单调递增 D． f (x)在 x 1处取得最大值
4．函数 f (x) x2 1在区间[a,b]上的平均变化率为（ ）
A．b a B．b C．b a D．a
5．已知数列2, 5,8， 11,14， ，则 299是该数列的（ ）
A．第 99项 B．第 100项 C．第 101项 D．第 102项
6．已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn， S3 21， S6 63，则S9=（ ）
A．105 B．112 C．126 D．135
2028
7．已知{a }
1 3
n 为等比数列， a1014和a1015是函数 f (x) x 4x 2 4x 5的两个极值点，则 log4ak （ ）3 k 1
A．-1013 B．1014 C．-1014 D．1013
8

．已知函数 f (x)的定义域为 ,2 2 ，其导函数是
f (x)．若 f (x)cos x f (x)sin x 0，则关于 x的不等式

f (x) 2 f 3
cos x的解集为（ ）

, A ． 2 6
B． , C． , D． ,
6 2 3 6 3 2
二、多选题
9．下列求导运算中，正确的是（ ）

A． x2 1 2x B 1 x 2 ．
1 x (1 x)2
C． (cos 2x) sin 2x D． (xcos x) cos x xsin x
{a } a 1 a
an 1 n N*10．已知数列 n 满足 1 ，且 n 1 1 a ，记数列{an}的前 n项和为 Sn，则下列结论正确的有2 n
（ ）
A．数列{an}为周期数列，且最小正周期为 4
B．若bn an an 1 an 2 an 3，则{bn}是常数列
a 1C． 2024 a2025 a2026 2
S 7n 3D． 4n 3 6 2
11．函数 f x ex ln x m ，则下列说法正确的是（ ）
A．若m 1，则 f (x)在 ( 1,0)单调递减，在 (0, )单调递增
B．若m 1，则 f (x)
1
1 ln(x 1)
x
C．若m 2，则 f (x)存在一个极值点
D．若m 2，则 f (x) 0恒成立
三、填空题
12．已知函数 f (x) 4sin x 1，则曲线 y f (x)在 x 0处的切线的斜率为_________．
13．已知函数 f (x)
1
ax3 (a 2)x 1，若对于任意 x1 x2 0，都有 f x1 f x2 ，则实数 a的取值范围3
是_________．
F
14 F F 1 F 1 F F F a n 2
Fn 1
．设数列 n 满足 1 ， 2 ， n 2 n 1 n，定义 n ， SF F n为数列
{an}的前 n项和，则
n 1 n
a5 =_________（结果用数字作答）， Sn =_________．（结果用 Fn和 Fn 1表示）
四、解答题
15．已知函数 f (x)
1 x3 1 x2 2x 5．
3 2
(1)求函数 f (x)的单调区间；
(2)求函数 f (x)在闭区间 [ 3,6]上的最值．
16．已知函数 f (x) x ln x x2．
(1)求函数 f (x)的零点和极值；
(2)设直线 l为曲线 y f (x) x2 在点 (1,1)处的切线，若 l与曲线 y ax2 (2a 3)x 1只有一个公共点，求 a
的值．
17．已知数列{an}满足 a1 1， an 1 2an 1，设bn an 1．
(1)证明：数列{bn}是等比数列，并求{an}的通项公式；
1
(2)设cn S c S 1log b log b ，记 n为数列 n 的前 n项和，证明： n ．2 n 2 n 1
18．设 Sn为数列{an}的前 n项和，且 Sn 2n
2 n．数列{bn}满足b1 1，bn 1 bn 2 3n 1 ．
(1)求数列{an}和{bn}通项公式；
a
(2)记T nn为数列{ }b 的前 n项和．n
（i）求Tn；
（ii）若Tn 7，求 n的最小值．
19．已知函数 f x ln x ax a R ．
(1)讨论 f (x)的单调性；
(2)当 a 1 x时，求证： f x e x 2；
1
(3)已知 a 0， x (0, )，恒有 f x ax ae x a，求 a的取值范围．
参考答案
1．D
2
【详解】在等比数列{an}中，由 a1 1,a3 9，得 a2 a1a3 9，所以 a2 3或 a2 3．
2．A
a a 12
【详解】在等差数列{a 1 13n}中，有a1 a13 a3 a11 5 7 12，所以 S13 13 13 78．2 2
3．C
【详解】由导函数 y f (x)的图象，可得：
当 x 0时， f (x) 0， f (x)单调递减；
当0 x 1时， f (x) 0， f (x)单调递增；
当1 x 2时， f (x) 0， f (x)单调递减；
当 x 2时， f (x) 0， f (x)单调递增；
所以，当 x 0时，函数 f (x)取得极小值，当 x 1时，函数 f (x)取得极大值，但不一定为函数的最大值
4．C
2 2 2 2
【详解】根据平均变化率公式可得： f (b) f (a) b 1 a 1 b a b a．
b a b a b a
5．B
【详解】归纳可得数列的通项为 = ( 1) +1 (3 1)，
令 = 299，即 ( 1)
n 1 (3n 1) 299，故 n为偶数且3n 1 299，
解得 n 100．
6．C
【详解】利用等差数列重要性质： S3 ， S6 S3， S9 S6 成等差数列，
则 2 S6 S3 S3 S9 S6 ，所以 2 × (63 21) = 21 + 9 63，
所以 S9 126．故 C正确．
7．B
1 3 2
【详解】 f x x 4x 4x 5，求导可得 f (x) x2 8x 4，
3
a1014和a1015是 f (x)的两个极值点，即 a1014和a1015是 f (x) 0的两个根，
根据韦达定理可得 1014 + 1015 = 8， 1014 1015 = 4，
因为{an}是等比数列，所以 1014 1015 = 1 2028 = 2 2027 = = 4，
因此2028 =1 log4 = log4 1 2
1014
2028 = log44 = 1014．
8．D
g(x) f (x)
π π f (x) cos x f (x) sin x
【详解】设函数 ， x , ，求导可得 g (x) 0
cos x 2 2 cos2 x
所以函数 g (x)
π , π 在 上单调递增，
2 2
π
x π π
f
, cos x 0 f x 2 f π f x
3
易知 时， ，不等式 cos x等价于 ，即 g x g
π
，
2 2 3 cos x cos π 3
3
g (x) π , π π在 上单调递增，可得 x ，
2 2 3
x π , π因为

，因此不等式 f x 2 f
π π π
2 2
cos x的解集为 ,
3 3 2
．

9．AD
【详解】对于 A，( 2 + 1)' = ( 2)' + (1)' = 2 + 0 = 2 ，所以 A正确；

B 1 x (1 x) (1 x) (1 x)(1 x)
2
对于 ， ，所以 B错误；
1 x (1 x) 2 (1 x) 2
对于 C， (cos2x) 2sin2x，所以 C错误；
对于 D，( cos )' = 'cos + (cos )' = 1 cos + ( sin ) = cos sin ，所以 D正确．
10．ABD
1
【详解】选项 A：因为 a ，a
a 1
n 1 1
1 n 1 1 a ，所以
a2 3， a3 2， a4 ， 5 = = ，2 n 3 2
1
因此{an}为周期数列，且最小正周期为 4；
1
选项 B：由 A可知一个周期内四项的和为 + 3 2 1 = 7，
2 3 6
而b
7
n是连续 4项之和，等于 ，所以{bn}是常数列；6
1
选项 C {a 1：因为 n}的周期为 4，所以 a2024 a4 ， 2025 = 1 = ， a2026 a2 3，3 2
a 1 1 1所以 2024 a2025 a2026 3 3 2 2 ，即 C错误；
S S a a a n 7 a a a 7n 1 3 2 7n 3选项 D： 4n 3 4n 4n 1 4n 2 4n 3 6 1
2 3 ．6 2 6 2
11．ACD
x
f (x) ex【详解】 ln x m , x m 1 e (x m) 1，求导可得 f (x) ex , x m，
x m x m
令 g(x) ex (x m) 1, x m，求导可得 g (x) ex (x m 1), x m．
选项 A：当m 1时， g (x) ex (x 2) 0，所以函数 g (x)在 ( 1, )单调递增，
因为 g (0) 0，
所以当 x ( 1,0)时， g(x) 0，则 f (x) 0，函数 f (x)在 ( 1,0)单调递减，
当 x (0, )时， g(x) 0，则 f (x) 0，函数 f (x)在 (0, )单调递增；
1 1
选项 B：当m 1时，要证 f (x) 1 ln(x 1) x，即证 e 1 ，
x x
1 x 0 1 1当 时， > 1，而 e x 1，此时 ex 1
1
不成立；
x
选项 C：当m 2时，因为 x ( 2, )，所以 g (x) ex (x 3) 0， g (x)在 ( 2, )上单调递增，
因为 g( 1) e 1 1 0， g 0 1 0，所以存在 x0 ( 1,0)，使得 g x0 0，
当 x 2, x0 时，则 f (x) 0，函数 f (x)在 2, x0 单调递减，
当 x x0 , 时，则 f (x) 0，函数 f (x)在 x0 , 单调递增，
所以 x x0是函数的极小值点 x0，因此 f (x)存在一个极小值点；
选项 D：当m 2时， ln(x m) ln(x 2)，故 ex ln(x m) ex ln(x 2)，
由选项 C可知，当m 2时， f (x) ex ln(x 2)在 x0处取得极小值，
x 10
其中 x0满足 e ，即 x0 ln x 2x0 2
0 ，
1 x x 2 x 1 2
则 f (x) ex0 ln x 10 2 x 0 00 0 ，x0 2 x0 2 x0 2
2
因为 x0 ( 1,0)，所以 x0 1 0， x0 2 0，故 f x0 0，
因此 e x ln(x 2) 0恒成立，故当m 2时， f (x) ex ln(x m) 0恒成立．
12．4
【详解】 f x 4sin x 1，求导可得 '( ) = 4cos ，
曲线在 x 0处的切线的斜率为 '(0) = 4cos0 = 4．
13．[2, )
【详解】由题意，函数 f (x)在 (0, )上单调递增，所以 f (x) 0在 (0, )上恒成立，
2
因为 '( ) = 2 + ( 2)，要使 ax2 a 2 0对任意 x 0恒成立，则 a 2 对任意 x 0恒成立，x 1
2
记 g(x) 2 ，易知 g (x)在 (0, )上为减函数，所以 g x g 0 2，因此 a 2，x 1
综上，实数 a的取值范围是[2, )．
1 F14 n．
40 F
．
n 1
【详解】由题意可得 F3 2， F4 3， F5 5， F6 8， F7 13，
则
7 6 13 8 1
5 = = = 6 5 8 5 40，
a F n 2 F n 1因为 n F F ，n 1 n
所以
F3 F2 S F 4
F3 F F F F F F F n 2 n 1 n 2 2 n 2 1 n 2 n 1
F
n
n .
F2 F1 F3 F2 F n 1 F n F n 1 F1 F n 1 F n 1 F n 1
15．(1)单调递增区间为 ( , 2)和 (1, )，单调递减区间为 ( 2,1)．
23
(2)最大值为 83，最小值为 ．
6
【详解】（1）由题意， f (x)的定义域为R ，且 f (x) x2 x 2 (x 2)(x 1)，
令 f x 0，解得 x 2或 x 1．
当 x 2或 x 1时， f (x) 0；当 2 x 1时， f (x) 0，
所以 f (x)的单调递增区间为 ( , 2)和 (1, )，单调递减区间为 ( 2,1)．
（2）由（1）可知， f (x)在 3, 2 , 1,6 上单调递增，在 2,1 上单调递减，
又 f ( 2)
25
(1) = 23， ， ( 3) = 13， (6) = 83，
3 6 2
f (x) [ 3,6] 23所以 在闭区间 上的最大值为 83，最小值为 ．
6
16．(1)极大值为 0，无极小值，只有一个零点 x 1．
1
(2) a 0或 a ．
2
f (x) (0, ) f (x) (2x 1)(x 1)【详解】（1） 的定义域为 ，
x
令 f (x)=0，解得 x 1．
令 f (x) 0，解得0 x 1，函数 f (x)在 0,1 上单调递增，
令 f (x) 0，解得 x 1，函数 f (x)在 1, 上单调递减，
当 x 1时， f (x)的极大值为 f (1) 0，无极小值，所以函数只有一个零点 x 1．
（2） y x ln x
1
的导数为 y 1 ，
x
曲线 y x ln x
1
在 x 1处的切线 l的斜率为 k 1 21 ，
则曲线 y x ln x在 x 1处的切线 l的方程为 y 1 2(x 1)，即 y 2x 1．
由于切线 l与曲线 y ax2 (2a 3)x 1只有一个公共点，
将 y ax2 (2a 3)x 1与 y 2x 1联立，
得 ax2 (2a 1)x 2 0①有且只有一解，
当 a 0时，①式变为 x 2 0，则 x 2，方程①有且只有一解，符合题意；
1
当 a 0时，则 (2a 1)2 8a 0，即 4a 2 4a 1 0，解得 a ，
2
1
综上， a 0或 a ．
2
17．(1) n证明见解析， an 2 1
(2)证明见解析
【详解】（1）法一：由 an 1 2an 1得 an 1 1 2 an 1 ，
b
b 2b b a 1 2 0 b 0 n 1即 n 1 n ，又 1 1 ，故 n ，所以 2b ，n
所以{bn}是首项为 2，公比为 2的等比数列．
从而bn 2 2
n 1 2n n，故 an 2 1．
b
n N* n 1
a
n 1
1 2a 2
法二：对 ，
n 2 b a 1 2
bn an 1 a 1
，且 1 1 ，
n
所以{bn}是首项为 2，公比为 2的等比数列．
b 2 2n 1 n n从而 n 2 ，故 an 2 1．
（2 n）由（1）知bn 2 ，则 log2 bn log 2
n n log b log 2 n 12 ， 2 n 1 2 n 1，
c 1 1 1∴ n n(n 1) n n 1，
Sn c1 c2 c
1 1 1 1 1 1 n 1 2
1 ，
2 3 n n 1 n 1
1 1
∵ n N*，∴ 0，∴ Sn 1 1，故得证．n 1 n 1
18 (1) a 4n 1 b 3n 1． n ， n ；
15 4n 5
(2)（i）Tn n 1 （ii）4．2 2 3
2
【详解】（1）数列{an}中， Sn 2n n，
当 n 2时， an Sn Sn 1 (2n2 n) [2(n 1)2 (n 1)] 4n 1，
而 a1 S1 3，满足上式，因此 an 4n 1；
由b b 2 3n 1 b n n 1 n n 1n 1 n ，得 n 1 bn 3 3 ，即bn 1 3 bn 3 ，
n 1
则数列{bn 3 }是常数列，bn 3
n 1 b1 3
0 0 b 3n 1，因此 n ，
n 1
所以数列{an}和{bn}通项公式分别为 an 4n 1和bn 3 .
4 1
（2）（i ）由（1）得 = 3 1，
T 4 1 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4(n 1) 1 4n 1n 1 3 32 33 3n 2

3n 1
，
1 = 4×1 1 + 4×2 1 + 4×3 1 + 4×4 1 + + 4( 1) 1 4 1于是
3 3 32 33 34 3 1
+ ，
3
1
2 1 n 1T 3 4 4 4 4 4 4n 1 3 4 3 4n 1 5 4n 5两式相减得 ，
3 n 3 32 33 34 3n 1 3n 3 1 1 3
n 3n
3
T 15 4n 5所以 n n 1 .2 2 3
4 1 an 1
（ii）法一：由 = 1 > 0 T 3 ，得 n 1 Tn Tb n，则数列{Tn}单调递增， n 1
a1 3 2而 ， =
7 3 = 11 4 = 5 5 = 19b 3， 9， 9， 81，1 2 3 4 5
= 11 = 3
2 16 3 5 4 1
， 2 = 1 + = 3， 3 = 2 + = 6 + ， 4 = 3 + = 7 + > 7 9 9 ，1 2 3 4
所以 n的最小值为 4．
15 4n 5
法二：由Tn 7，得 n 1 7
4n 5
，即
2 2 3 3n 1
1，
( ) = 4 +5
g(n 1) 4n 9 4n 9
令 ，则 1 1 g (n 1) g (n)3 g(n) 3(4n 5) 12n 15 ，即 ，
即 ( ) = 4 +5 1为减函数，而 g (1) 9 (2) =
13
， ， (3) = 17， (4) = 21 = 7 < 1，
3 3 9 27 9
所以 n的最小值为 4.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
1
(3) ,

e
1 1 ax
【详解】（1）由题意得，函数 f (x)的定义域为 (0, )， f (x) a ，
x x
当 a 0时， f (x) 0，所以 f (x)在 (0, )上单调递增，
1
当 a 0时，令 f (x) 0，解得0 x ， f (x)单调递增，
a
令 f (x) 0 x
1
，解得 ， f (x)单调递减，
a
综上，当 a 0时， f (x)在 (0, )上单调递增，
当 a 0时， f (x) 在 0,
1 1
上单调递增，在 , 上单调递减．
a a
（2）解法一：当 a 1时， f x ln x x，由（1）知 f (x)在 x 1处取得最大值 f 1 ln1 1 1，
设 h x ex x 2，则 h x ex 1，
当 x 0时， h (x) 0，所以h(x)在 x [0, )为增函数，
所以当 x 0, 时， h(x) h(0) 1，∴ f x ex x 2．
x
解法二：当 a 1时， f x ln x x e x 2， x (0, )，
即证明当 x (0, )时， ex ln x 2 0，
设 ( ) = e ln 2，则 '( ) = e 1，令 ( ) = e 1，

由 n (x) ex
1
2 0得m (x)在 x (0, )时为增函数，x
1
又因为m 1 e 1 0，m 1 2 e
2 2 0，

1
则存在 x0 ,1 ，使得m x 0 e
x 1 10
0 ，即 0，也即 e
x0 x
x x ， x e
0 ，
2 00 0
当 x 0, x0 时，m (x) 0，m(x)单调递减，
当 x x0 , 时，m (x) 0，m(x)单调递增，
1
当 x x0时，m(x)
x0
有最小值，即m(x) m x0 e ln x0 2 ln e x0 2x ，0
1 x 2 2 1 0 x0 2 0（因为 x0 1，所以基本不等式等号不成立）x0 x0
所以当 x (0, )时， ex ln x 2 0．∴ ( ) < e 2．
1
（3）由已知， ln x ax ax ae x a
1
因为 a 0 1，所以 ln x x eln xa
1
e x 1．即1 ln ≤ e ln + 1，
a
设 = 1 ln ，可得
t e
t 1，也即 + 1 ≤ 0，
设 g t et t 1，由 g t et 1 0，所以 g(t)在R 上为增函数，
又因为 g(0) = e0 + 0 1 = 0，所以 t 0，
1 a ln x即 ln ≤ 0，也即 在 x (0, )恒成立，
x
h(x) ln x 1 ln x令 ， h (x) ，令 h (x) 02 得 x e，x x
列表
x 0,e e e,
h (x) 0 -
h(x) 1单调递增 单调递减
e
所以 h x h e 1 1 ，因此 a的取值范围 , ．
e e

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