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广东茂名市高州市2025-2026学年第二学期高二质量监测数学试题
一、单选题
1．已知等差数列2，5，8，…，则41是这个数列的（ ）
A．第16项 B．第15项 C．第14项 D．第13项
2．一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A．1m/s B．3m/s C．5m/s D．7m/s
3．在的展开式中，第7项为（ ）
A． B． C． D．
4．下表是离散型随机变量的分布列，则（ ）
0 1 2
0.51
A．0.35 B．0.45 C．0.3 D．0.4
5．由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ）
A．300 B．360 C．420 D．480
6．已知正项数列满足，且，则（ ）
A．6 B．42 C．80 D．84
7．某校从高一 高二 高三中各选派名同学参加“党的光辉史”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为，，，学习后，学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．把10本不同的书排放在书架上，其中两本数学书不能相邻的排法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
10．若将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方盒的容积最大 B．方盒的容积没有最小值
C．方盒容积的最大值为 D．方盒容积的最大值为
11．记等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当且仅当时，最大 D．的最大值为
三、填空题
12．已知，则________．
13．二项式的展开式中，前3项的系数依次成等差数列，则偶数项二项式系数之和为________．
14．某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为1：5，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________．
四、解答题
15．设等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16．已知函数 ．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有两个极值点，求实数a的取值范围．
17．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)求随机变量的分布列．
18．已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，记数列的前n项和为．
①求；
②若存在，使得，求的取值范围．
19．已知函数.
(1)求函数的最大值；
(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(3)若函数在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】由题可知该等差数列的首项为2，公差为3，
因此该数列通项公式为，
令，可得.
因此41是这个数列的第14项.
2．D
【详解】因为，所以，
则在时的瞬时速度为.
3．B
【详解】根据二项展开式的通项可得第7项为.
4．D
【详解】由题可知，，解得或，
当时，，，不满足题意，舍去，
故，则.
5．C
【详解】最后一位数是0，偶数的个数是；
最后一位不是0，偶数的个数是，
所以一共有种.
6．C
【详解】由题意，所以，则，
所以数列是以2为公比的等比数列，则，
所以，解得，
所以，则，
所以
7．A
【详解】设事件为“24人中抽出一名女同学”，事件为“24人中抽出一名高三同学”，
则，，.
故选：A.
8．A
【详解】令，则，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，即，
即，所以，
令，则，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以，即，所以，
所以，即，
综上所述，.
9．AC
【详解】法一：先把其他的8本书排好，形成了9个空，再将2本数学书插入9个空，
则有种不同的排法.
法二：若两本数学书相邻，则有种排法，
所以两本数学书不能相邻的排法有种.
故选：AC.
10．ABC
【详解】由题意知：方盒的底面为边长为的正方形，高为，其中，
则方盒的容积为，
，
则当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，无最小值，ABC正确，D错误.
故选：ABC.
11．AD
【详解】因为为等差数列，，所以，
又因为，所以公差，所以，
，，，
所以当或时，最大，所以A正确，C错误；
因为是等比数列，所以，
所以，因为，
所以公比，
所以或，所以或，
所以选项B错误；
当时，，，，
所以当或时，最大，且最大值为；
当，
，，，，
当时，，当时，，又，当时，，
所以当时，最大，且最大值为，
综上，可知的最大值为，所以选项D正确.
故选：AD.
12．4
【详解】根据组合数的性质，且，
所以.
13．128
【详解】二项式展开式的通项公式，
当时，，
当时，，
当时，，
因为前3项的系数依次成等差数列，
所以，即，
解得（舍）或，
所以偶数项二项式系数之和为.
14．
【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”，设表示“允许通行”，
已知外来访客和小区业主的比为，则，，
小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，
则业主被允许通行的概率为，
外来访客被判定为“允许通行”的概率为，
因此“允许通行”的概率为，
所以.
15．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
，
，
则，解得，
所以.
（2），，
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）当时， ，求导可得 ，
当时， ， ，
所以在点处的切线方程为.
（2）由（1）可知，，
设函数，要有两个极值点，即方程要有两个不相等的正实数根，
设为的两个极值点，即方程的两个正实数根，
所以，解得，即实数的取值范围为.
17．(1)
(2)分布列见解析
【详解】（1）“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件，
则为“取出的3个小球上有2个数字相同”，∴，∴．
（2）由题意可知的可能取值为2，3，4，5，
，，
，．
可得的分布列如表所示．
2 3 4 5
18．(1)证明见解析，；
(2)①；②.
【详解】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，于是，
而，即，则，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，；
（2）①由（1）知，，，
.
②由①知，，，
，
而数列单调递增，则，
因此，由存在，使得，得，
所以的取值范围是.
19．(1)1
(2)
(3)
【详解】（1），定义域为，，
令，得，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
（2）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
由（1）可知，的最大值为1，所以，即，
所以实数的取值范围为.
（3）若函数在上恒成立，即在成立，
所以在上恒成立，
令，
则，
因为，所以当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意；
当时，令，
①当时，即时，则恒成立，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
所以，所以时符合题意；
②当时，即时，令，
则，
因为，所以，
所以当时，，所以在上恒成立，
即函数在上单调递增，所以当时，，
所以时，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.

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