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6.3 三角形的中位线
第六章 平行四边形
理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；
平行四边形的判定
边
角
对角线
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
三角形中位线定义
请同学们按要求画图：画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE．
定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
D E
思考1：一个三角形有几条中位线？仿照上面的说法说一说。
∵AD=BD ,AE=EC
∴ DE是△ABC的中位线
∵DE是△ABC的中位线
∴ AD=BD ,AE=EC
思考2.三角形的中位线与三角形的中线有什么区别与联系？
中位线的两个端点是两边的中点，而中线的两个端点是一个顶点和对边的中点.
1.连接任意一个三角形三边的中点，如图（1），分成了4个三角形，猜想它们的面积相等吗？
探究三角形中位线定理
2.通过剪拼，如图（2），猜想拼成的四边形BDFC是平行四边形吗？
3.三角形的中线与底边的关系（位置关系、数量关系）如何？
已知:如图,DE是△ABC的中位线.求证:
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.
D
E
B
C
A
如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
已知:如图,DE是△ABC的中位线.求证:.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.
∴CF∥AB.
∵BD＝AD，
∴CF＝BD.
∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∴ DF∥BC，DF＝BC.
∴DE∥BC，DE＝BC.
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
几何语言表示
∵DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC，DE=BC
E
A
B
C
D
（1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.
(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
定理的理解
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
例1.证明：连接任意一个三角形三边的中点，分成了4个三角形，它们的面积相等
F
证明：∵AD=DA.AE=EC
∴DE∥BC.
∴四边形EDCF是平行四边形
∴
同理，,
∴.
例2.图6-21，平行四边形的对角线AC与BD相交于O,E为AB的中点，∠ADB=90°AC=6,OE=1,求AD和BD的长度.
解：∵ABCD的对角线AC与BD相交于O，
∴OA=OC,OD=OB(平行四边形对角线互相平分），
∵E是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线（三角形中位线定义）∴AD=2OE=2(三角形中位线定理）
∵AC=6,OA=OC=3在Rt△ADO中，
∴BD=2OD=2，.
1.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2.三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为( )
A. 6. 5cm B. 34cm C 26cm D. 52cm
B
C
3.在四边形ABCD中,AC=6cm，BD=10cm,E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH的周长为 .
16cm
4.已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明：如图，连接AC
∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC EF=AC
∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC HG=AC
∴EF=HG EF∥HG
∴四边形EFGH是平行四边形.
A
B
C
H
D
E
F
G
5.在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由.
A
B
C
D
E
F
解：∵ 点E,F分别为BC,AC的中点
∴ EF ∥AB,EF=AB，∴ ∠DAC= ∠EFC=90 °
∵ AD=AB， ∴ AD=EF,
∵ AF=CF, ∴ △ADF≌ △FEC (SAS)
∴ DF=EC，
∵ BE=EC,∴ DF=BE
三角形的中位线
定义：三角形两边中点的连线，区别于三角形的中线
联想：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．

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