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D C D A B C B A ACD ABD AC
12.
13.4
14.①. 4 ②.
15. 设函数
（1）当 时，求 表达式的展开式中含有 项的系数；
（2）当 时，求 表达式的展开式中的常数项．
【小问 1详解】
当 时， ，
其展开式通项为 ，
令 ，得 ，
所以展开式中含有 项的系数为 ．
小问 2详解】
当 时， ，
的展开式通项为 ，
令 ，得 ，
所以展开式中的常数项为 ．
16．实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，
为确定合适的定价，统计了不同定价 x（元）与网上月销量 y（万件）的数据如下：
x 10 12 14 16 18
y 8 7 6 5 4
(1)求相关系数 r，并说明其意义；
(2)建立 y关于 x的线性回归方程；
(3)若月销量不低于 5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整
数）
（参考数据： ， ， ， ， ）
（参考公式： ， ）
【详解】（1） ， ，
故
，
故 与 完全负相关．
（2） ，
故 ，回归方程为 ．
（3）由题设 ，此时 ，故 ，故定价最高为 16元．
17. 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发
射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得 3分；如果只有一个人射中，则得 1
分；如果两人都没射中，则得 0分.已知甲每轮射中的概率均为 ，乙每轮射中的概率均为
.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响.
（1）若他们参加一轮比赛，求得分 的概率分布列和数学期望；
（2）若他们参加两轮比赛，求至少得 3分的概率.
【小问 1详解】
的可能取值为 ， ，
.
.
.
所以得分 的概率分布列为：
数学期望 .
【小问 2详解】
至少得 3分的对立事件为总分小于 3分，即总分为 0、1、2.
总分得 0分的概率为：
总分得 1分的概率为：
总分得 2分的概率为：
所以总分小于 3分的概率为：
所以至少得 3分的概率：
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ， ，
． 平面 ，点 为棱 上的点，点 为棱 上
的点，点 为棱 上的点．
（1）若 、 分别为棱 ， 的中点，证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值；
（3）若 ，当 取何值时，三棱锥 体积取得最大．
【小问 1详解】
取 的中点 ，连接 ，
因为 、 分别为棱 ， 的中点，
所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 .
【小问 2详解】
由题意中 平面 得 两两垂直，
以 为正交基底建立空间直角坐标系 ，
则因为 ，
所以 ，
所以 ．
设平面 的一个法向量 ，
则 ，
不妨设 ，则 ，即： ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
【小问 3详解】
法一：设点 到平面 （也即平面 ）的距离为 ，
三棱锥 体积为 ，则 ，
由（2）可知平面 的一个法向量 ，
点 到平面 距离 ，
因为 ，所以点 到平面 距离 ．
，
所以 ，即 直角三角形，所以 ，
所以点 到棱 的距离为 ，
又因为 ，所以 ，且点 到边 的距离为 ，
所以 的面积为 ．
所以 ，其中 ．
所以 ，所以 ，
令 可得 ，列表如下：
+ 0 －
极大值（最大
递增 递减
值）
答：当 取何值时，三棱锥 体积取得最大．
法二：三棱锥 体积为 ，则 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所 以
，
则 ，
令 可得 ，列表如下：
+ 0 －
极大值（最大
递增 递减
值）
答：当 取何值时，三棱锥 体积取得最大．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 是 的极小值点，求实数 的取值范围；
（3）当 时，若 ，求实数 的最大值．
【小问 1详解】
当 时， ，
所以 ，故 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
【小问 2详解】
因为 ，所以 ，
因为 是 的极小值点，所以 ，得 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 是 的极小值点.
当 时，由 得 或 .
当 时， ，由 得 或 ；由 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极小值点.
当 时， ，不合题意.
当 时， ，由 得 或 ；由 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，不合题意．
综上，实数 的取值范围为 ．
【小问 3详解】
当 时， ，
当 时，因为 （当且仅当 时等号成立），所以 ，
所以 在 上单调递增，故 ，符合题意.
当 时，令 ，解得 ，
因为 ， ，所以 ，故
，
所以当 时， ，故 在 上单调递减，
所以 ，不符合题意．
综上，实数 的最大值为 2．启东市第一中学2025-2026年度第二学期第二次素质检测
高二数学试卷
(考试时间150分钟，试卷满分150分，
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.若z(2+i)=3+4i,则三在复平面内对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.下列选项正确的是()
A.A=5Ag
B.A+A=A
C.3C3 =8C2
D.C3=Cs
3.已知一组数据1,2，x,6,7的平均数为4，则该组数据的70百分位数为()
A.4.5
B.5
C.5.5
D.6
4.己知随机变量X服从正态分布N(4,o2)(o>0),若P(X≥3m)+P(X>m-4)=1,
则实数m=()
A.3
B.2
c.1
D.-2
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为()
A
B.1
C.2
D.元
6.从0,1,2,3,4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为()
A.48
B.60
C.72
D.100
7.某学校的学生中，60%是男生，40%是女生.己知男生中有30%喜欢篮球，女生中有
20%喜欢篮球.现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是()
A.0.30
B.0.26
C.0.24
D.0.20
8.若圆锥的母线长为2√5，则该圆锥体积的最大值为()
A.16m
3
B.2√6元
c.64V3元
D.3元
27
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
高二数学试卷第1页/供4页
9.一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数(1张卡片上标1个数)，
从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张.“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A,“前
两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B,则()
A.P(B)=4
B.P(AB)=P(A)P(B)
9
C.P(BIA)=
D.P(A+A川B)=1
10.设函数f(x)=,则()
A.f(3)>f(5)
B.f(e+4)4e°+2
e“+1
es)-n
è0
。.f)+fs0
11.已知棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D的所有顶点都在以O为球心的球面上，点E是
棱BB,的中点，点P是棱AD上的动点.则下列说法正确的有()
A.若P是棱AD的中点，则PE//平面BCD
B.点P到直线4E的距离的最小值为亏
C发AD上存在点P,使得∠DAP-牙
D.若P是棱AD的三等分点，则过P的平面截球O所得的截面面积最小为
9
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12.写出命题x>1,x2-ax+2≤0"的否定：一-
13.已知空间四点A(0,0,0),B(2,1,1),C(1,0,2),D(5,2,m)构成梯形，则实数的
值为一
14.随机变量X~B(n,p).若D(2X+1)=D(X),则2=
；若
D(2X+1)=E(X),则p的最大值为
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤。
高二数学试卷第2页/供4页

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