资源简介

余姚中学2025学年第二学期期中考试 解答题
高二数学答题卡 16. （15分）
15. （13分）
姓名： 班级： 考场/座位号：
正确填涂 考 号

[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
缺考标记 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
[2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
[3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
[4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
[5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
[6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
[7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
[8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
注意事项
1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。
2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。
3．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分
分，有选错的得0分．
9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
12.
13.
14.
17. （15分） 18. （17分）
19. （17分）余姚中学 2025 学年第二学期期中考试高二数学试卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．

1.已知集合 = {0,1,2}, = { | ∈ }，则 ∩ =( )
2
A. {0} B. {2} C. {0,2} D. {1,2}
2 +1
2.不等式 ≥ 0的解集为( )
1
1 1 1 1
A. [ , 1] B. [ , 1) C. ( ∞, ] ∪ [1, +∞) D. ( ∞, ] ∪ (1，+∞)
2 2 2 2
1 4
3.若两个正实数 , 满足 + = 1，且存在这样的 , 使不等式 + < 2 + 3 有解，则实数 的取值范
4
围是( )
A. ( 1,4) B. ( 4,1) C. ( ∞, 4) ∪ (1, +∞) D. ( ∞, 3) ∪ (0, +∞)
2 2
4.设函数 ( )满足 (1 + ) = (1 )，且 ( )是(1, +∞)上的增函数，则 = (0.63)， = (0.73)，
1
= (0.73)的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.已知 ， ， ∈ , + + = 0， 2 + 2 + 2 = 4，则 的最大值为( )
2√ 2 2√ 3 2√ 6
A. 1 B. C. D.
3 3 3
6.六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有( )种排法
A. 72 B. 144 C. 180 D. 288
7.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球.先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，
再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有 个红球”为 ( = 0,1,2)，“从乙箱中
取出的球是黑球”为 ，则( )
1 5 5 1
A. ( 0) = B. ( | 1) = C. ( ) = D. ( 3 6 9 2| ) = 8
8.已知集合 = {1,2,3,4,5}， ( )是 → 的函数，且满足 ( ( )) = 1，则这样的函数 ( )的个数为( )
A. 31 B. 33 C. 41 D. 133
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分．
9.下列各结论正确的是( )

A. “ ≥ 0”是“ ≥ 0”的充要条件

B. 命题“ > 0，有 2 + > 0”的否定是“ > 0，使 2 + ≤ 0”
2 1C. ∈ , √ + 3 + 的最小值为2
√ 2+3
+
D. 若 < < 0， < 0，则 >
+
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10.已知两个变量 与 对应关系如下表：
1 2 3 4 5
5 8 9 10.5
若 与 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 = 1.25 + 4.25，则( )
A. 与 正相关 B. = 7.5
C. 各组数据的残差和为0 D.样本数据 的第 60 百分位数为 8
11.已知定义域为 的函数 ( )满足 ( ) ( + ) = ( 1) ( 1)，且 (0) = 2，则( )
A. ( )为偶函数 B. ( + 1)为偶函数 C. ( )为周期函数 D. ∑2026 =1 ( ) = 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
3 112.( )9的展开式中，常数项为 . (用数字作答)
√
1 1
13.已知定义域为 的函数 ( ) = + ，则关于 的不等式 ( 2 2 ) + (2
2 1) < 0的解集为 .
2 2 +1
14.设方程( + 1)| 1| 1 = 0的两根为 1， 2( 1 < 2)，方程|
1| = 0的两根为 3， 4( 3 <
1
4)， ∈ (0, )，则( 4 + 1) ( 3 + 2)的取值范围为 . 2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分)在 中，内角 ， ， 所对的边分别 ， ， ，已知 ( cos + cos ) = 4，2 sin =
3 sin ， = 4．
(1)求 的值；
(2)求sin 的值；
(3)求cos(2 + )的值．
16. (15分)已知三棱柱 1 1 1的棱长均为2， 1 = √ 6，平面 1 1 ⊥平面 ．
(1)求该棱柱的体积；
(2)求平面 1 1与平面 1 1 1夹角的余弦值．
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17. (15分)国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国
各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素
质得到了大幅度提高.某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生(其中男生240名)按性别采
用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表：
每天体育锻炼时间低于1h 每天体育锻炼时间不低于1h 合计
男生 30
女生 10
合计 100
(1)根据统计数据完成以上2 × 2列联表，依据 = 0.01的独立性检验，能否认为该校女生和男生在每天体
育锻炼时间方面存在差异？
(2)若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于1h”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进
行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于1h的人数为
，求 的分布列和数学期望 ( )．
( )2
附参考数据及公式： 2 = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
= ( 2 ≥ ) 0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18. (17分)甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为1 ，（0 < < 1）.
若采用(2 + 1)局( + 1)胜制（先赢得( + 1)局胜利的一方获胜）， ∈ ，记甲获胜的概率为 2 +1．
(1)若p = 0.6，求 5；
(2)比较 2 +1与 2 +3的大小并说明理由．
第 3 页，共 4 页
19. (17分)已知函数 ( )， ( )分别为定义在 上的奇函数和偶函数，且 ( ) + ( ) = . (其中 =
2.71828 为自然对数的底数)
(1)求[ ( )]2 [ ( )]2的值；
(2)若函数 ( ) = ( ) ( )( ∈ )存在零点，求 的取值范围；
(3)设函数 ( ) = [ ( )]2 + ( ) + + 3( , ∈ )，若对任意的 ∈ [0, ln(4 + √ 17)]， ( )的函数值非
负，求2 + 的最小值．
第 4 页，共 4 页余姚中学 2025 学年第二学期期中考试高二数学答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. BC 11. CD
1 3
12. 84 13. ( ∞, ) ∪ (1,+∞) 14. ( ∞, ln )
3 5
15.【答案】解：(1)方法一：由 ( cos + cos ) = 4，
2 2
2+ 2 + 2 2
根据余弦定理可得， ( + ) = 4，
2 2
2+ 2
2 2
+ 2 2
则 + = 4，即 = 2，…………………………………………………………2分
2 2
由2 sin = 3 sin ，根据正弦定理可得2 = 3 ，则2 = 3 = 6，即 = 3；…………4分
方法二：由 ( cos + cos ) = 4，…………………………………………………………2分
根据正弦定理可得， (2 sin cos + 2 sin cos ) = 4，则 (2 sin ) = 4，
则 2 = 4，即 = 2，…………………………………………………………2分
由2 sin = 3 sin ，根据正弦定理可得2 = 3 ，则2 = 3 = 6，即 = 3；…………4分
2
2
+ 2 1
(2)由余弦定理可得cos = = ，…………………………………………………………6分
2 4
√ 15
又因为 ∈ (0, )，可得sin = √ 1 cos2 = ；……………………………………8分
4
1 √ 15
(3)由(2)知，cos = ，sin = ，
4 4
2 7 √ 15则cos2 = 2 1 = ，sin2 = 2sin cos = ，………………10分
8 8
2 4 √ 15
由正弦定理 = ，则 = ，即sin = ，
sin sin sin √ 15 8
4
7
又 < ，则 < ，所以cos = √ 1 sin2 = ，
8
7 7 √ 15 √ 15 17
所以cos(2 + ) = cos2 cos sin2 sin = × + × = ．……………………………13分
8 8 8 8 32
第 1 页，共 5 页
解：(1)取 的中点 ，连接 ， 1， 16.
由题意知，△ 是边长为2的等边三角形，
所以 ⊥ ， = √ 3，
又平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 1 1，………………2分
而 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 1，
因为 = √ 6，所以 = √ 2 21 1 1 = √ 3，
又 = 1， 1 = 2，所以
2 = 21 +
2
1，即 1 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，………………4分
1
所以棱柱的体积 = △ 1 = 1 =2
1
× 2 × √ 3 × √ 3 = 3．………………6分
2
(2)方法 1：作OH ⊥ AB………………9分
, A1HO ………………12分即为所求
5
cos AHO = ………………15分1
5
方法 2：由(1)知 1 ⊥平面 ， ⊥ ，
所以 ， ， 1两两互相垂直，
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，………………9分
则 (0, 1,0)， (√ 3, 0,0)， 1(0,0,√ 3)，
所以 = (√ 3, 1,0)， 1 = (0,1, √ 3)，
= √ 3 + = 0
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，则{ ，
1 = + √ 3 = 0
取 = (1, √ 3, 1)，………………12分
易知平面 1 1 1的一个法向量为 = (0,0,1)，
设平面 1 1与平面 1 1 1夹角为 ，
| | 1 √ 5
则 = |cos < ， > | = = = ，故平面 与平面 夹角的余弦值为
| | | | √ 5×1 5 1 1 1 1 1
√ 5
．………………15分
5
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240
17.【答案】解：高二有400名学生(其中男生240名)，则抽取100名学生中，男生有100 × = 60名，女
400
生有40名，
2 × 2列联表如下：………………3分
每天体育锻炼时间低于1 每天体育锻炼时间不低于1 总计
男生 30 30 60
女生 10 30 40
总计 40 60 100
H 0 :女生和男生在每天体育锻炼时间方面无差异………………5分
100(30×30 10×30)2
(1) 2 = = 6.25 < 6.635，………………7分
40×60×60×40
所以我们没有充分证据推断H 0 女生和男生在每天体育锻炼时间方面无差不成立，可以认为
异；………………9分
(2)100名学生中“每天体育锻炼时间不低于1h”的人数为60人，
因此抽取10名学生“每天体育锻炼时间不低于1h”的人数为6人，
而 的所有可能取值为0，1，2，3，
C3 1 C1C2 3 C2C1 1 C3 1
( = 0) = 43 = , ( = 1) =
6 4
3 = ， ( = 2) =
6 4
3 = , ( = 3) =
6
3 = C10 30 C10 10 C10 2 C10 6
所以 的分布列为：………………13分
0 1 2 3
1 3 1 1

30 102 6
1 3 1 1
数学期望 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = 1.8;………………15分
30 10 2 6
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18.(1)不妨设赛满 5 局，用 X 表示 5 局比赛中甲胜的局数，则 X ~ B(5,0.6)………3分
p = C3 3 2 4 4 5 55 5 0.6 0.4 +C5 0.6 0.4+C5 0.6 = 0.68256……………7分（有式子但结果错给 2分）
若直接算也可
(2) 考虑最后两局，
若前（2n+1）局胜（n+2）局，最后两局怎么样都行；
若前（2n+1）局胜（n+1）局，最后两局不能全输；
若前（2n+1）局胜 n 局，最后两局都胜；
若前（2n+1）局胜（n-1）局，最后两局怎么样都不行；………有这个想法…………9 分
p = p n+1 n+1 n 2 n n n+1 22n+3 2n+1 C2n+1p (1 p) (1 p) +C2n+1p (1 p) p
p2n+3 p
n
2n+1 =C2n+1p
n+1(1 p)n+1(2p 1)
…………………………14 分
1
0 p , p2n+3 p2n+1
2
1
p= , p2n+3 =p2n+1 …………………………17 分
2
1
p 1, p2n+3 p2n+1
2
19.【答案】解：(1)由 ( ) + ( ) = 可得： ( ) + ( ) = ，
因为 ( )为奇函数， ( )为偶函数，所以 ( ) + ( ) = ①，
+
与 ( ) + ( ) = ②，由①②，解得 ( ) = ， ( ) = ，………………2 分
2 2
2 +2+ 2 2 2+ 2
所以[ ( )]2 [ ( )]2 = = 1．………………………4 分
4 4
+
(2)由 ( ) = ( ) ( ) = 0，可得 = 0，
2 2
2 1 2
分离参变量得： = = 2 = 1 2 ，………………………6 分 + +1 +1
2
记 ( ) = 1 2
2
，由 + 1 > 1，
+1
第 4 页，共 5 页
1 2
知0 < 2 < 1，从而 1 < 1 2 < 1，即 1 < ( ) < 1， +1 +1
又 ( )在 上单调递增，
当 ∈ ( 1,1)时，函数 = 与函数 = ( )的图象有交点，即函数 ( )存在零点，
所以 ∈ ( 1,1)．………………………8 分

(3)由于 ( ) = 在 上单调递增，
2
所以由 ∈ [0, ln(4 + √ 17)]，可知 ( ) ∈ [0,4]，
又由(1)知，[ ( )]2 = [ ( )]2 + 1，
所以 ( ) = [ ( )]2 + ( ) + + 3 ≥ 0等价于[ ( )]2 + ( ) + + 4 ≥ 0，
令 = ( )，则不等式 2 + + + 4 ≥ 0对 ∈ [0,4]恒成立，………………………10 分

①当 ≤ 0即 ≥ 0时，函数 = 2 + + + 4在[0,4]上单调递增，
2
min = | =0 = + 4 ≥ 0，即 ≥ 4，
所以2 + ≥ 4，当且仅当 = 0， = 4时等号成立；………………………12 分

②当 ≥ 4即 ≤ 8时，函数 = 2 + + + 4在[0,4]上单调递减，
2
min = | =4 = 16 + 4 + + 4 ≥ 0，即4 + ≥ 20，
所以2 + = (4 + ) 2 ≥ 20 + 16 = 4，当且仅当 = 8， = 12时等号成立；…………14 分

③当0 < < 4即 8 < < 0时，
2
2 函数 = + + + 4在[0, ]上单调递减，在[ , 4]上单调增，
2 2
2 2
min = | = = + + 4 ≥ 0，即 ≥ 4，
2 4 4
2 1
所以2 + ≥ 2 + 4 = ( + 4)2 8 ≥ 8，当且仅当 = 4， = 0时等号成立．…………16 分
4 4
综合①②③，可知2 + 的最小值为 8．…………17 分
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