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四川省绵阳市涪城区2026年初中学业质量第一次模拟监测（数学）
一、单选题
1．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
2．据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极地加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．若 ，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．正方形 B．长方形 C．等边三角形 D．圆
5．是一个数学函数，它表示自然数的指数次幂．其中自然数是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
6．如图，下列说法错误的是（ ）
A．图②与图③的主视图形状不同 B．图①与图③的俯视图形状相同
C．图②与图③的左视图形状相同 D．图②、图③各自的三视图相同
7．某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如表所示：
捐款数（元） 10 20 30 40 50
捐款人数（人） 8 17 16 2 2
则对全班捐款的45个数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是20 B．平均数是24 C．中位数是30 D．方差是
8．1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（ ）
A．676 B．675 C．674 D．1350
9．一个扇形的圆心角为，半径为 6，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，于点D，若，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知y关于x的二次函数，下列结论中：①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象总过定点；③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
12．抛物线交x轴于点．下列结论：①；②；③当时，无论m取何值都有；④若时，抛物线交y轴于点C，且是等腰三角形，或； ⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点且，，则；则其中正确的是（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．因式分解： ______．
14．一副直角三角板（一个含有角，一个含有角）按如图所示摆放，若直线，则的度数为_______．
15．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_________.
16．某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为_______元．
17．已知二次函数的图象开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线与x轴交于点M，直线与直线交于点N，当点N在第一象限，且时，______．
18．已知：如图，将长方形纸片沿着所在直线对折，B点落在点处，与交于点F，如果，，，则的长为_________．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)先化简，再求值：，其中．
20．某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：．优秀；．良好；．及格；．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．

(1)本次共调查了________名学生，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，的值是________，对应的扇形圆心角的度数是________；
(3)若该校共有名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数；
(4)某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加知识竞赛．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字，，，．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
21．为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元．
(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
22．如图，一次函数的图象与y轴交于点，且与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象，求使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
23．如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
24．在中，，，点D在直线上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，点F是线段的中点，连接．
(1)如图1，当点D在的延长线上时，连接．
①与之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
②若，则线段 ；
(2)如图2，当点D在的延长线上时，若点G是线段的中点，连接，试探究与的数量与位置关系并证明；
(3)如图3，连接和，若，当线段取最小值时，请求出的面积．
25．如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．

(1)若，，，则四边形的面积为___________；
(2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
(3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
参考答案
1．B
【详解】设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c，
根据题意，得，
故，
∵
∴中正方形的可能值为，
故选B．
2．B
解：，
故选：B．
3．A
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：．
4．C
解：正方形是轴对称图形（对称轴为对边中点所在的直线和对角线所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故A不符合题意；
长方形是轴对称图形（对称轴为对边中点所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故 B不符合题意；
等边三角形是轴对称图形（对称轴为三条高所在直线），但不是中心对称图形（旋转后不重合），故C符合题意；
圆是轴对称图形（对称轴为任意直径所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故 D不符合题意．
故选：C．
5．D
解：是分数，是有理数，不符合题意；
是整数，是有理数，不符合题意；
是有限小数，是有理数，不符合题意；
是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
故选：D．
6．C
解：A、图②的主视图为矩形，图③的主视图为圆形，图②与图③的主视图形状不同正确，不符合题意；
B、图①与图③的俯视图都为圆形，图①与图③的俯视图形状相同，正确，不符合题意；
C、图②的左视图为正方形，图③的左视图为圆形，图②与图③的左视图形状不相同，原说法错误，符合题意；
D、图②的三视图都为正方形、图③的三视图都为圆形，图②、图③各自的三视图相同，正确，不符合题意，
故选：C．
7．C
解：A．众数是20，
∵在这一组数据中20是出现次数最多的，
∴众数是20，
故本选项正确；
B．平均数是24，
∵
，
故本选项正确；
C．中位数是30，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列：，，，，，
∴处于中间位置的那个数是20，
∴这组数据的中位数是20；
故本选项错误；
D．方差是，
∵
，
故本选项正确．
故选C．
8．B
解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，
又∵，
∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．
故选：B．
9．A
解：．
故选：A．
10．D
解：在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
11．A
解：①当时，，
∴顶点坐标为，故①正确．
②当时，，
当时，y的值与m无关，
此时，，
当时，；
当时，，
∴函数图象总经过两个定点，，故②正确；
③当时，由得：，
，
∴．
∴，．
∴，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确．
故选A．
12．C
解：如图，
①二次函数与轴交于点、．
二次函数的对称轴为，即，
．故①正确；
②．
∴，
二次函数与轴交于点、．
，，
，
．故②错误；
③，
抛物线开口向下．
时，二次函数有最大值．
．
即．故③正确；
④由图象可得，．
当时，则，解得，
当时，则，解得
故是等腰三角形时，或，故④正确；
⑤∵抛物线交轴于点、，交y轴于正半轴，
∴开口向下，
∵，，
∴点E在点F左侧，中点横坐标为，
则中点在对称轴右侧，
∴点比更接近对称轴，
，故⑤正确；
故正确的为①③④⑤．
故选：C
13．
解：，
故答案为：．
14．/15度
解：如图所示，延长一直角边交直线a于一点，
∵
∴
由三角形外角性质，可得
∴
故答案为：．
15．且
解：关于x的分式方程化为整式方程得，
，
解得，
由于分式方程的解为非负数，即，
所以，
当时，，
因此k的取值范围为且，
故答案为：且．
16．
解：设定价为x元.根据题意可得，
解之得：，
∵销售量尽可能大
∴，
故答案为：
17．
解：由题意可得如图所示：
∵，图象开口向下，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点，
令，得，
∴，
点与点关于对称轴对称，
∴，
∵，，
∴，
∴，
连接交对称轴于点H，过点D分别作，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
由点A与点D关于对称轴对称可知：，
∴，
∴，
∴，
解得：．
18．
解：，，
∴，
由折叠可得
四边形是长方形，
，
，
∵由折叠可得，
，
，
设，则，
∵在长方形中，，，
∴由折叠可得，，
∴在中，，
∴，
解得，
，
故答案为：．
19．(1)
(2)
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
，
当时，
原式．
20．(1)，补全统计图见解析
(2)，
(3)估计该校不合格的学生人数为人
(4)不公平，理由见解析
（1）解：本次共调查了人
故答案为：．
等级的人数为人，补全统计图如图所示，

（2）
∴，
故答案为：．
对应的扇形圆心角的度数是
（3）估计该校不合格的学生人数人，
答：估计该校不合格的学生人数为人；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
小明参加，
小亮参加，
，
这个游戏规则不公平．
21．(1)种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元
(2)当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多
（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
22．(1)，
(2)或
（1）解：把，代入，得：
，
解得：，
∴；
把代入，得：；
∴；
（2）解：联立，
解得或，
∴，
由图象可知：反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：或．
23．(1)相切，见解析
(2)见解析
(3)
（1）解：与的位置关系是相切；
理由如下：
如图，连接，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵为圆的半径，
∴与的位置关系是相切．
（2）证明：如图，连接，
∵是圆的直径，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，连接，
由（1）知，
在中，，
设，则，
∴，
解得，
∴，，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)①；②3
(2)，见解析
(3)3
（1）解：（1）①如图1中，设交于点O．
∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴，
，
∵
∴，
故答案为：3；
（2）解：，
证明：如图2中，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图3中，
∵是等腰直角斜边上的高，
∴当最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小（如图4中），
由题意可得，，，，
则四边形是正方形，，
．
25．(1)
(2)，最大为
(3)是，
（1）解：∵，，，
∴四边形的面积
；
（2）∵在中，分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当四边形的面积最大时，的面积最大，
过点作，过点作，则：，
∵四边形的面积
∴四边形的面积最大，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，最大为；
（3）直线是过定点：
由（2）知：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴为的中点，
∵过点的直线与直线交于点，
∴，
∴，
∴，
设，
∵直线交该图象于点，
∴，
则，
∴，，
∴，
那么，，
解得：，
∴直线：，
即：，
，
∴当，即：时，，
∴直线过定点．

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