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21.2.3 三角形的中位线
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 掌握三角形中位线的概念及三角形中位线的定理；
2 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
知识回顾
边
角
对角线
A
B
D
C
两组对边分别平行
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
一组对边平行且相等
判定
性质
新知导入
前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题.
下面利用平行四边形研究三角形的有关问题.
归纳总结
A
B
C
D
E
如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接DE，则线段 DE 就称为△ABC 的中位线.
三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
探究新知
一个三角形有几条中位线？你能在△ABC 中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
F
有三条，
如图，△ABC 的中位线是DE、DF、EF.
探究新知
三角形的中位线与中线有什么联系和区别？
相同之处：都和边的中点有关；
不同之处：三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点.
中位线DE
A
B
C
F
中线AF
A
B
C
D
E
探究新知
如图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？
度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？
你能证明你发现的结论吗？
【猜想】DE//BC 且 DE = BC
A
B
C
D
E
探究新知
求证：DE//BC 且 DE = BC
如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点.
A
B
C
D
E
探究新知
【分析】我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.
如图，将DE延长一倍(得到点F)后，可以将证明DE//BC，
且DE=BC 转化为证明DF//BC，且DF=BC，
而这只要证明以B，C， F，D为顶点的四边
形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形.
由于DE=EF，E是AC的中点，所以四边形ADCF是平行四边形可以利用
“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明.
A
B
C
D
E
F
探究新知
证明：如图，延长 DE 到点 F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵ AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
A
B
C
D
E
F
∴ BD=CF，BD//CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴AD=CF，AD//CF，
又D是 AB的中点，
∴DF=BC， DF//BC ．
又DE = DF
∴DE//BC，DE = BC
归纳总结
A
B
C
D
E
符号语言：∵ 在△ABC中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE∥BC，DE = BC
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
探究新知
【知识拓展】
已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点E，G，F，所得的四个三角形面积各是多少？
A
B
C
E
F
G
解：根据三角形的中位线定理知，
EF＝ BC＝BG，AE＝AB＝EB，AF＝AC＝EG，
故△AEF≌△EBG，
同理，△AEF≌△FGC， △GFE≌△AEF．
所以，S△AEF ＝S△EBG ＝S△FGC ＝S△GFE＝S．
每个三角形的面积= S
探究新知
【知识拓展】
如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点E，G，F，所得的四个三角形周长分别是多少？
A
B
C
E
F
G
解：根据三角形的中位线定理知，
EF＝a，EG＝ b，GF＝c．
故△EGF的周长＝a＋ b＋ c＝ (a＋b＋c)．
同理，其他三角形的周长也是(a＋b＋c)．
每个三角形的周长=(a＋b＋c)
例题练习
求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
【分析】题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形.
例题练习
证明：连接AC.
∵AH=HD，CG=GD ，
∴ HG//AC，且HG = AC.
同理EF//AC，且EF = AC.
∴HG//EF且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
B
D
A
B
C
C
A
小结
三角形中位线
定义
定理
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
谢谢 聆听

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