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21.2.2平行四边形的判定
(课时1)
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 探索并证明平行四边形的判定定理；
2 能熟练运用平行四边形的判定定理进行计算和证明.
知识回顾
性质1：平行四边形的对边相等.
数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD.
性质2：平行四边形的对角相等.
数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC.
O
B
A
C
D
性质3：平行四边形的对角线互相平分.
数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO.
新知导入
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
数学语言：∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
这是平行四边形的判定方法1（定义法），除此之外，还有什么判定方法呢？
探究新知
【思考】我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.
反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
探究新知
这个逆命题是真命题吗？
性质：如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边相等.
逆命题：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
探究新知
已知：四边形ABCD，AB=CD，AD=BC，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
1
4
2
3
证明：连接AC.
∵AB=CD，AD=CB，AC=CA，
∴ AB//CD ， AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴△ABC≌△CDA，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
探究新知
这个逆命题是真命题吗？
性质：如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对角相等.
逆命题：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形.
探究新知
已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°.
∴AD//BC，
同理可得 AB//CD，
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
归纳总结
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
探究新知
如图，将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
B
D
O
A
C
【猜想】四边形ABCD一直是一个平行四边形.
如何证明呢？
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
探究新知
已知： 在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
O
B
A
C
D
证明：∵ OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴△AOB ≌△COD，
∴ AB//CD，
同理可得 AD//BC，
∴∠OAB=∠OCD ，
还有其他方法吗？
两组对边分别平行
探究新知
O
B
A
C
D
证明：∵ OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ △AOB≌△COD，
同理可得 AD=CB，
∴ AB=CD，
两组对边分别相等
归纳总结
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵AO=CO，DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
O
B
A
C
D
归纳总结
图形 定理内容 几何语言
O
B
A
C
D
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理.
例题练习
如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F是 AC上的两点，并且 AE=CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
【分析】点E，F在平行四边形的对角线上，可考虑利用对角线互相平分来证明四边形BFDE是平行四边形.
例题练习
A
B
C
D
O
E
F
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO=CO， BO=DO.
∵ AE=CF，
∴ AO - AE=CO - CF， 即EO=FO.
又 BO=DO，
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
A
B
B
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
小结
平行四边形的判定
判定方法1
判定方法2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定方法3
判定方法4
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）
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