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(共29张PPT)
21.2.1平行四边形及其性质
(课时1)
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 掌握平行四边形的概念；
2 掌握平行四边形的性质；
3 能熟练运用平行四边形的性质解决相关问题.
新知导入
对于三角形，我们学习了一般三角形后，又学习了等腰三角形和直角三角形.
这是在一般图形的基础上研究特殊图形，我们在研究几何图形时常用这种思路.
两组对边分别平行
梯形
四边形
平行四边形
只有一组对边平行
本节我们重点学习平行四边形，研究它的性质和判定.
探究新知
平行四边形是常见的几何图形.
学校的伸缩门、庭院的竹篱笆等，都有平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗？
探究新知
A
B
C
D
注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序．
平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形用“□ ”表示，
如图，平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”．
探究新知
性质：平行四边形的两组对边分别平行.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
平行四边形的定义既是性质，又是判定.
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
判定：四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形.
A
B
C
D
探究新知
下面，我们从平行四边形的边、角、对角线出发，从数量关系和位置关系的角度研究平行四边形的性质.
先来研究平行四边形的边和角.
探究新知
A
B
C
D
平行四边形的基本元素:
对边
邻边
有公共顶点的边
没有公共顶点的边
边
对角
邻角
有公共边的角
没有公共边的角
角
探究新知
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？
A
B
C
D
【猜想】对边相等.
探究新知
根据定义画一个平行四边形，观察它，它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？
A
B
C
D
【猜想】对角相等.
探究新知
【猜想】平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．
求证：AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，∠B=∠D．
A
B
C
D
【分析】涉及线段相等、角相等．利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．
为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明．
探究新知
证明：如图所示，连接AC.
A
B
C
D
∵ AB // CD，AD // BC ，∴ ∠1=∠2， ∠3=∠4.
又 AC是△ABC 和△CDA的公共边，
∴AB=CD， AD=BC， ∠B =∠D.
∵ ∠BAD= ∠1+∠4， ∠ DCB = ∠2+∠3，
∴ ∠BAD= ∠DCB.
∴△ABC≌△CDA.
4
1
2
3
归纳总结
符号语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D．
A
B
C
D
平行四边形的性质
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等．
探究新知
因为平行四边形对边分别平行，
所以利用平行线的性质，还可以得到平行四边形的邻角互补.
A
B
C
D
探究新知
接下来研究平行四边形的对角线.
如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点 O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
O
A
B
C
D
【猜想】在□ABCD中， OA=OC，OB=OD.
AC与BD互相平分
你能证明这个猜想吗？　
探究新知
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB = CD.
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴△OAB ≌△OCD (ASA).
∴OA = OC，OB = OD.
∵∠1 = ∠2，AB = CD，∠3 = ∠4.
已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
求证：OA=OC，OB=OD．
1
2
4
3
A
B
C
D
O
归纳总结
符号语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
平行四边形的性质
平行四边形的对角线互相平分.
A
D
B
C
O
归纳总结
研究对象 研究结果 几何表示
对边
对角
邻角
对角线
平行四边形的性质：
平行且相等
相等
互补
∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC
AB∥CD，AD∥BC；
例如，∠BAD+∠ABC =180°
互相平分
AO=CO，BO=DO
O
B
A
C
D
AB=CD，AD=BC
例题练习
如图，在□ABCD 中， AB = 10，AD = 8，AC⊥BC.求 BC，CD，AC，OA 的长，以及□ABCD 的面积.
【分析】
平行四边形对边相等
BC，CD 的长
运用勾股定理
AC 的长
面积公式
□ABCD 的面积
A
B
C
D
O
例题练习
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BC = AD = 8， CD = AB = 10.
∵ AC ⊥ BC，
∴ △ABC 是直角三角形.
根据勾股定理，
又 OA = OC，
∴ OA = AC = 3，
S□ ABCD = BC · AC = 8×6 = 48.
A
B
C
D
O
B
B
D
B
B
B
小结
平行四边形及其性质
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的对角相等.
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的对边相等.
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