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21.1.2多边形及其内角和
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 掌握多边形的定义及有关概念；
2 理解正多边形的概念；
3 会求多边形对角线条数；
4 掌握多边形的内角和公式；
5 掌握多边形的外角和等于360°.
新知导入
多边形在生活中很常见，观察下面的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？
探究新知
与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A1A2， A2A3 ，…， An-1An， AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
探究新知
多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似.
多边形的各条线段叫作多边形的边.
每相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点.
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线.
多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角.
多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角.
探究新知
边
顶点
内角
外角
对角线
探究新知
如何表示多边形呢？
多边形有几条边就叫作几边形.
多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示.
例如，右图中的六边形，记作“六边形ABCDE.
【注意】字母按照顶点的顺序书写，可以顺时针也可以逆时针.
A
D
E
B
C
F
探究新知
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.
今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
探究新知
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.
像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
探究新知
【探究】类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？
由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？
从五边形的一个顶点出发，
可以作_____条对角线，它们将
五边形分为　　　　个三角形，
五边形的内角和等于180°×____=　　 .
2
3
3
540°
探究新知
从六边形的一个顶点出发，
可以作_____条对角线，它们将
六边形分为　　　　个三角形，
六边形的内角和等于180°×____=　　 .
3
4
4
720°
探究新知
n 边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
0
n - 3
1
2
3
1
2
3
4
n - 2
(n -2)×180
1×180 =180
2×180 =360
3×180 =540
4×180 =720
······
······
······
······
······
归纳总结
分割
多边形
三角形
多边形内角和公式：
n边形的内角和等于(n-2)×180°.
探究新知
与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和，多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.
与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，
因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°.
n边形外角和
= n边形内外角总和 - n边形内角和
= n×180 °- (n-2) × 180°
= 360 °
多边形的外角和等于360°.
外角
与边数无关
探究新知
如图，从多边形的一个顶点A出发，沿着多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.
在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.
由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.
A
例题练习
一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
因为它的内角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°，
所以(n-2)×180°=2×360°，
解得 n=6，
因此这个多边形是六边形.
A
C
A
B
D
D
C
D
小结
多边形及其内角和
多边形的定义及有关概念
多边形的内角和等于
________________
多边形的外角和等于_____.
(n - 2)×180°
360°
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