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20.2勾股定理的逆定理及其应用
(课时1)
第二十章 勾股定理人教版(2024)
素养目标
1 掌握勾股定理的逆定理；
2 能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形；
3 理解勾股数，会判断三个数是不是勾股数.
新知导入
【思考】一个三角形，满足什么条件是直角三角形？
(1)有一个角是直角；
(2)有两个角的和是90°.
上面两种方法都是用角度判断的，能用三角形三边的关系来判断三角形是否为直角三角形吗？
A
B
C
探究新知
前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
结论：a2 + b2 = c2.
题设(条件)：直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c.
a
b
c
A
B
C
探究新知
反过来，如果一个三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2. 那么这个三角形的题设和结论是怎样的？
结论：这个三角形是直角三角形.
题设(条件)：三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2.
结论能成立吗？
探究新知
如图，给出了确定直角的一种方法：
把一根长绳打上等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
3
4
5
上述三角形的三边满足什么数量关系？
32 + 42 = 52
围成的三角形为直角三角形.
探究新知
【思考】一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？
【画一画】如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 62 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
探究新知
2.52 62 6.52
7.52 42 8.52
8.5
4
7.5
90°
2.5
6
6.5
90°
画出的三角形都是直角三角形.
探究新知
【猜想】如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
这个猜想就是勾股定理的逆命题，下面证明这个猜想.
探究新知
A　
B　
C　
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足 a2+b2 = c2．
求证：△ABC 是直角三角形．
【分析】直接证明△ABC是直角三角形比较困难，回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形.
探究新知
A
B
C
a
b
c
证明：如图，作Rt△A'B'C'，使∠C' = 90°，B'C'= a，A'C'= b.
由勾股定理可得 A′B′2 = B′C′2 + A′C′2 = a2 + b2.
∵a2+b2 = c2，∴A'B'= c.
A'
B'
C'
a
b
在△ABC和△A'B'C'中，
∵AB=A'B'=c，BC=B′C′=a，AC=A'C'=b，
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等).
即△ABC是直角三角形.
归纳总结
a
b
c
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
可以利用这个定理判定一个三角形是否为直角三角形.
例题练习
判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a 8，b 15，c 17； (2) a 14，b 13，c 15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.
解：(1)∵152 82 225 64 289，172 289
∴152 82 172
∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
归纳总结
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
例如8，15，17这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，为勾股数.
归纳总结
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
扩大 2 倍
如：3，4，5
勾股数
6，8，10
勾股数
例题练习
解：(2)∵132 142 169 196 365，152 225
∴132 142 152
∴根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a2 + b2 = c2 ·
事实上，上式不成立.因此，这个三角形不是直角三角形.
判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a 15，b 8，c 17； (2) a 13，b 14，c 15.
归纳总结
思维轴
1
找
2
算
3
判
最长边
算出两短边的平方和与最长边的平方
判断等量关系
最长边为斜边，其所对应的角为直角
利用边的关系判断直角三角形：
A
C
B
直角
45°
小结
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
A
C
B
a
b
c
3.勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
谢谢 聆听

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