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20.1 勾股定理及其应用
(课时1)
第二十章 勾股定理人教版(2024)
素养目标
1 掌握勾股定理，并会运用勾股定理解决一些几何问题；
2 经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想；
3 尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性.
新知导入
直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角，其余两个角互余.
A
B
C
如图，在直角△ABC 中，∠C = 90°，
∠A + ∠B = 90°
【思考】对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
探究新知
在《周髀算经》的开篇，商高(约公元前11世纪)构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
探究新知
商高所指的面积关系可以用图形表示.
如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.
从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
探究新知
如图所示，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？ A3，B3，C3呢？
A1
B1
A2
C1
B2
C2
B3
C3
A3
探究新知
A1
B1
A2
C1
B2
C2
B3
C3
A3
如图，以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.
探究新知
A1的面积 B1的面积 C1的面积
A2的面积 B2的面积 C2的面积
A3的面积 B3的面积 C3的面积
1
4
5
4
9
13
9
25
34
A1的面积 + B1的面积 = C1的面积
A2的面积 + B2的面积 = C2的面积
A3的面积 + B3的面积 = C3的面积
A
B
C
探究新知
以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？
A的面积 B的面积 C的面积
9
16
25
A的面积 + B的面积 = C的面积
你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
探究新知
【发现】以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
【思考】如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么两直角边与斜边之间有什么关系呢？
a
b
c
如何验证呢？
猜想：两直角边的平方和等于斜边的平方. 即，a2 + b2 = c2.
探究新知
如图是我国古代证明该猜想的“赵爽弦图”.
朱实
朱实
朱实
朱实
黄实
赵爽弦图
如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色).
探究新知
如图，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2 + b2.
这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)，把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形，它的面积是c2.
因为图 (1)与图(3)都由四个全等的直角三角形(红色)和一个正方形(黄色)组成，所以它们的面积相等，即a2 + b2 = c2.
探究新知
b
c
a
b
a
c
归纳总结
a
b
c
a、b、c为正数
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，
那么 a2+b2=c2.
公式变形：
在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.
探究新知
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.
“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.
2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.
探究新知
根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？
a
b
c
赵爽弦图
b-a
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2，
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
证明：
探究新知
【拓展】毕达哥拉斯证法
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
例题练习
如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2=AC2+BC2=82+62=100，
所以AB=10.
(2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2 +EF2 =DF2，
从而DE2 = DF2 - EF2 =172 -152 =64，
所以DE=8.
D
C
B
B
B
A
小结
a
b
c
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，
那么 a2+b2=c2.
a、b、c为正数
公式变形：
谢谢 聆听

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