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21.3.1矩形(课时2)
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 理解并掌握矩形的判定办法；
2 能熟练运用矩形的定义和判定知识进行计算和证明；
3 经历矩形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.
知识回顾
1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.
2.矩形的四个角都是直角.
数学语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC =∠BCD =∠CDA = ∠DAB = 90°.
3.矩形的对角线相等.
数学语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD.
C
B
A
D
O
新知导入
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
根据定义有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以判定一个四边形是不是矩形. 除了矩形的定义，还有其他的判定方法吗？
与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立.
探究新知
我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形.
反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
【猜想1】对角线相等的平行四边形是矩形.
如何证明这个猜想呢？
探究新知
已知：如图，在□ABCD 中，AC， BD 是它的两条对角线，且AC = BD.
求证：□ABCD 是矩形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC， AB//CD.
又∵AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵ AB//CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=∠DCB=90°.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
归纳总结
矩形的判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形.
符号语言：在□ABCD 中，∵ AC = BD，
∴ □ABCD 是矩形.
A
B
C
D
O
探究新知
【思考】对角线相等的四边形一定是矩形吗？
不一定，等腰梯形的对角线也相等.
A
B
C
D
矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
探究新知
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？
四边形
平行四边形
矩形
两组对边分别相等
对角线相等
对角线相等的平行四边形是矩形.
探究新知
我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
C
B
A
D
探究新知
【思考】至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
（有一个角是直角）
A
B
D
C
（有二个角是直角）
A
B
D
C
（有三个角是直角）
(1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？
(2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？
(3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？
【猜想2】有三个角是直角的四边形是矩形.
探究新知
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
C
B
A
D
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴ AD//BC， AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
归纳总结
矩形的判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形.
C
B
A
D
符号语言：在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
例题练习
如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形EFGH是矩形.
【分析】根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.
A
B
C
D
F
G
H
E
A
B
C
D
F
G
H
E
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD.
∴ ∠BAD+∠ADC=180°.
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC=(∠BAD+∠ADC)=90°.
∴∠F=90°.同理∠H=∠AEB=90°.
∴∠FEH=∠AEB=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
例题练习
A
B
D
B
小结
矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形.（定义）
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
谢谢观看
Thank you

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