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21.3.2菱形 (课时1)
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 理解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2 探索并证明菱形的性质定理；
3 能熟练运用菱形的性质进行计算和证明.
新知导入
平行四边形
有一个角是直角
矩形
前面研究了角满足特殊条件的平行四边形——矩形.
再来看边满足特殊条件的平行四边形.
平行四边形
一组邻边相等
菱形
归纳总结
菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
四边形
平行四边形
两组对边分别平行
一组邻边相等
菱形
探究新知
菱形也是常见的几何图形.有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形象.你还能举出一些例子吗？
探究新知
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.
菱形
对边平行且相等；
对角相等；
对角线互相平分．
它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
A
B
C
D
探究新知
对于菱形，我们仍然从它的边、角、对角线出发进行研究.
用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？
菱形是轴对称图形．
有2条对称轴，分别是菱形两条对角线所在的直线．
对称轴之间互相垂直，且每一条对角线平分一组对角．
（2）它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（3）菱形中有哪些相等的线段？
菱形的四条边相等．
菱形被分割为四个全等的直角三角形
你能证明吗？
探究新知
【猜想1】菱形的四条边都相等.
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，
求证：AB = BC = CD =AD.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC(平行四边形的对边相等)
又∵AB=AD，
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
D
归纳总结
菱形的性质
菱形的四条边都相等
符号语言： ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD.
A
B
C
D
探究新知
【猜想2】菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证: AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB， ∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
探究新知
【猜想2】菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
解：∵AB = AD，
∴△ABD是等腰三角形
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB = OD (平行四边形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABD中，∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC
同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD
A
B
C
O
D
归纳总结
菱形的性质
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
符号语言：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，
∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA，
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
A
B
C
O
D
归纳总结
平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质
对边相等
四个角都是直角
对角线互相
平分且相等
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
对角相等
对角线互相平分
对边相等
探究新知
比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.
F
M
N
E
G
A
B
D
C
O
探究新知
A
B
C
D
E
菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积？
能
过点A作AE⊥BC于点E，
则S菱形ABCD = 底×高 = BC ·AE
我们已经知道，菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢？
探究新知
A
B
C
D
O
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC(BO+DO) = AC·BD
【总结】菱形的面积 = 底×高
= 对角线乘积的一半
例题练习
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（结果分别精确到0.01m）和花坛的面积（结果精确到0.1m2 ）.
A　
B　
C　
D　
解：设AC，BD相交于点O.
∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴ AC⊥BD，∠ABO = ∠ABC = ×60° = 30°
在Rt△OAB中， AO = AB = ×20 = 10
∴花坛的两条小路长AC = 2AO = 20(m)，BD = 2BO = 20 ≈ 34.64(m).
花坛的面积S菱形ABCD = 4×S△ABO = 4× AO·BO = 200 ≈ 346.4(m2).
例题练习
A　
B　
C　
D　
O　
B
B
A
C
D
A
C
A
小结
菱形
概念
特殊性质
①菱形的四条边都相等；
②菱形的两条对角线互相垂直 ，并且每一条对角线平分一组对角.
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 .
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半.
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