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21.3.2菱形 (课时2)
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 理解并掌握菱形的判定办法；
2 能熟练运用菱形的定义和判定知识进行计算和证明；
3 经历菱形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.
知识回顾
1.菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.
2.菱形的四条边都相等.
数学语言：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD.
3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
数学语言：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，
∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA， ∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
A
B
C
O
D
新知导入
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
根据定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定一个四边形是不是菱形，除了菱形的定义，还有其他的判定方法吗？
与研究平行四边形、矩形的判定类似，我们研究菱形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立.
一组邻边相等
探究新知
我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形.
反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？
猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如何证明这个猜想呢？
探究新知
猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
探究新知
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
归纳总结
菱形的判定定理1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
符号语言：在□ABCD 中，AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形
AC⊥BD
A
B
C
D
□ABCD
A
B
C
D
菱形ABCD
探究新知
同样地，菱形是四条边相等的四边形.
反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
你能用折纸的办法得到一个菱形吗？
先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形．
展开
猜想2：四条边相等的四边形是菱形.
如何证明这个猜想呢？
探究新知
猜想2：四条边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD；
∴AB=CD ， BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
归纳总结
菱形的判定定理2
四条边相等的四边形是菱形.
符号语言：在四边形 ABCD 中，∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
探究新知
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
如图，分别以A，C为圆心，
以大于AC的长为半径作弧，
两条弧分别相交于点B，D，
依次连接A，B，C，D，
四边形ABCD是菱形．
A
C
B
D
四条边相等的四边形是菱形.
例题练习
如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
求证：四边形AFCE是菱形.
【分析】已知AC⊥EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，
只需证明四边形AFCE是平行四边形.
由题意可知AO=CO，
还需证明EO=FO.
例题练习
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AE//CF.
∴ ∠1=∠2.
又∠AOE=∠COF， AO=CO，
∴△AOE≌△COF.
∴EO=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形.
C
D
16
小结
菱形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（定义）
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
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