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21.3.3正方形 (课时1)
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 理解并掌握正方形的概念和性质；
2 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；
3 能熟练运用正方形的性质进行计算和证明.
知识回顾
矩形的性质有哪些？
（1）角：矩形的四个角都是直角．
（2）边：矩形的对边平行且相等．
（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等．
（4）是轴对称图形，有两条对称轴.
C
B
A
D
O
知识回顾
菱形的性质有哪些？
（1）角：菱形的对角相等．
（2）边：菱形的对边平行且四条边都相等．
（3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
（4）是轴对称图形，有两条对称轴.
A
B
C
O
D
新知导入
平行四边形
有一个角是直角
矩形
平行四边形
一组邻边相等
菱形
除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？
探究新知
有一个直角
一组邻边相等
？
？
菱形
平行四边形
矩形
正方形
？
探究新知
【思考】矩形怎样变化后就成了正方形呢？
矩形
〃
〃
正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形.
矩形
一组邻边相等
正方形
探究新知
【思考】菱形怎样变化后就成了正方形呢？
有一个角是直角的菱形是正方形.
一个角是直角
正方形
正方形
菱形
归纳总结
有一个直角
一组邻边相等
菱形
平行四边形
矩形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角且有一组邻边相等
归纳总结
正方形的概念
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
符号语言：
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，∠A=90 ，
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
D
C
探究新知
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
B
D
C
正方形是轴对称图形，有四条对称轴，
分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
探究新知
平行四边形
矩形
菱形
正方形
正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，那么它都有哪些性质？
正方形的性质=平行四边形的性质+矩形的性质+菱形的性质.
从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质.
探究新知
A
D
C
B
O
正方形的性质
边
对角线
对边平行
四个角都是直角
角
四边相等
相等
互相垂直平分
对称性
轴对称图形，有四条对称轴
每条对角线平分一组对角
探究新知
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 对边平行且相等
四边相等
角 四个角都是直角
对角线 对角线相互平分
对角线相互垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
例题练习
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
例题练习
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD，AC⊥BD.
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，
AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO ≌△CDO ≌△DAO.
A
D
C
B
O
B
B
A
A
A
22.5
小结
菱形
概念
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
性质
边：对边平行，四边相等.
角：四个角都是直角.
对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
对称性：轴对称图形，有四条对称轴.
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