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21.3.3正方形 (课时2)
第二十一章 四边形
人教版(2024)
素养目标
1 理解并掌握正方形的判定办法和推导过程；
2 能熟练运用正方形的判定办法进行计算和证明；
3 经历正方形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.
知识回顾
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
2.正方形的性质：
①边：对边平行；四边相等
④对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
②角：四个角都是直角
⑤对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴.
1.正方形的概念：
A
D
C
B
O
新知导入
由正方形的定义可知，有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且有一个角是直角
除此之外，还有没有其他判定方法呢？
探究新知
矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？
正方形
矩形
对边相等且平行
四边相等且对边平行
矩形添加邻边相等能否得到正方形？
上节课，我们已经学过有一组邻边相等的矩形是正方形.
如何证明呢？
探究新知
1.有一组邻边相等的矩形是正方形．
已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=AD.
求证：矩形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=90°．
又∵AB=AD，
∴矩形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
归纳总结
正方形的判定定理
有一组邻边相等的矩形是正方形.
符号语言：在矩形ABCD中， ∵ AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
探究新知
矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？
对角线相等且互相平分
对角线相等且互相垂直平分
矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？
探究新知
已知：在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，且 AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OB=OD．
∵AC⊥BD，
∴AC 是线段 BD 的垂直平分线．
∴AB=AD．
∴矩形 ABCD 是正方形．
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形
A
D
C
B
O
归纳总结
正方形的判定定理
对角线互相垂直的矩形是正方形.
符号语言：在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形.
A
D
C
B
O
探究新知
菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？
正方形
对角相等
四个角相等，都为90°
菱形添加有一个角为直角能否得到正方形？
上节课，我们已经学过有一个角是直角的菱形是正方形.
如何证明呢？
菱形
探究新知
已知：如图，在菱形 ABCD 中，∠A=90°．
求证：菱形 ABCD 是正方形．
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD．
又∵∠A=90°，
∴菱形 ABCD 是正方形．
A
B
C
D
3.有一个角是直角的菱形是正方形．
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
归纳总结
正方形的判定定理
有一个角是直角的菱形是正方形.
符号语言：在菱形ABCD中，∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
探究新知
菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？
对角线垂直且互相平分
对角线相等且互相垂直平分
菱形添加对角线相等能否得到正方形？
探究新知
已知：在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．
∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD．
∴△AOB，△BOC 是等腰直角三角形．
∴∠ABO=∠CBO=45°，∴∠ABC=90°．
∴菱形 ABCD 是正方形．
4.对角线相等的菱形是正方形.
A
D
C
B
O
有一个角是直角的菱形是正方形
归纳总结
正方形的判定定理
对角线相等的菱形是正方形.
符号语言：在菱形ABCD中， ∵ AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形.
A
D
C
B
O
一个角是直角
5 种判定方法
归纳总结
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
或对角线垂直且相等
例题练习
【分析】要证明四边形EFGH是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，
也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，
而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等得出.
如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是正方形
例题练习
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA.
又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3.
又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°.
∴∠HEF=180° - (∠1+∠3)=90°.
∴ 四边形EFGH是正方形.
C
B
D
8
小结
对角线互相垂直的矩形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形
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