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几何中有关证明与计算题 典型考点预测题 2026年初中数学中考复习备考
1．如图，在中，，，点D，E在边上，且，过点B作的垂线，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)当，时，求的长．
2．如图，四边形纸片，点在上，小明将纸片沿折叠，发现点与点重合；继续把纸片沿（点在上，点在上）折叠，使叠合在射线上，此时他发现恰好叠合在射线上．
(1)求证：．
(2)求证：．
3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F
（1）求证：BF平分∠DFE；
（2）若EF＝DF，BE＝5，AH＝，求⊙O的半径．
4．如图，是的外接圆，为的直径，点D是的内心，连接并延长交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
5．如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，．
(1)证明：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
6．如图，为的直径，点，为上的两个点，延长至，使，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为4，点E为弧的中点，，求的长．
7．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切与点D，过点B作，交的延长线于点C，连接并延长，交的延长线于点E．

(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作交BC于点F．
(1)求证：四边形ABFE是菱形；
(2)若AB＝5，BE＝8，，求的面积．
9．如图，在中，，经过，两点，与边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
10．如图，在中，为的外接圆，连接并延长交于点，点为的中点，连接，过点作交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
11．如图，中，垂足为D，以为直径作，交于点M、N，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的半径及的长．
12．如图，是的直径，C、D为上两侧两点，且．
(1)求证：；
(2)过点C作的切线交的延长线于点E，求证：；
(3)在（2）的条件下，过点作，垂足为，延长交于点，连接并延长交于K，分别交于点H，交于点M，，，求长．
13．如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若，求与重叠部分的面积．（结果保留和根号）
参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，发现或构造相似三角形是解此题的关键．
（1）证明，由相似三角形的性质得出，即可得证；
（2）过点C作于点H，则．求出，．设，则，．由勾股定理求出，，，再由平行线得到相似三角形，利用其性质列出等式并进行计算即可得解．
【详解】（1）解：，．
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点C作于点H，
，
则．
，
，．
设，则，．
，
，
解得，
，，，
，，
∴，
∴
∴，
∴．
2．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据折叠的性质以及平行线的判定证明即可；
（2）由第一次折叠可得，再由平行线的性质证明即可．
【详解】（1）证明：由第二次折叠可得，，
∴，
∴；
（2）证明：由第一次折叠可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据圆内接四边形性质和圆周角定理求出∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，根据垂径定理求出CH＝DH，求出BC＝BD，根据等腰三角形性质求出∠BCD＝∠CDB，求出∠EFB＝∠DFB即可；
（2）根据全等三角形的判定求出△DFB≌△EFB，根据全等三角形的性质求出BD＝BE＝5，证△DHB∽△ADB，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】（1）证明：∵C、D、B、F四点共圆，
∴∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，
∵CD⊥OA，OA过O，
∴CH＝DH，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠CDB，
∴∠EFB＝∠DFB，
∴BF平分∠DFE；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∵在△DFB和△EFB中 ,
∴△DFB≌△EFB（SAS），
∴BD＝BE，
∵BE＝5，
∴BD＝5，
∵AB为⊙O直径，CD⊥AB，
∴∠ADB＝∠DHB＝90°，
∵∠DBH＝∠ABD，
∴△DHB∽△ADB，
∴，
∵AH＝，BD＝5，AB＝2R，BH＝2R﹣，
∴,
解得：R＝，R＝﹣2（舍去），
即⊙O的半径是．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形，垂径定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．
（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可；
（2）先利用，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，交于点，
，
又为的内心
∴
又为的直径
又∵
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
=．
5．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接
∵是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，平分，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是矩形，
（2）解：∵，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
6．(1)证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
(2)
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出，得出，即可得出结论；
（2）先求出，然后在中，利用三角函数即可求出的长度．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵半径为，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：证明：连接，，
是的直径，
，
，
与相切于点D，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
，
的半径为3．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
8．(1)证明过程见详解．
(2)36．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出四边形ABFE是平行四边形，求出AB=AE，根据菱形的判定得出即可；
（2）连接AF与BE相交于点M，过点A作AN⊥BC，垂足为点N，求出MB，根据勾股定理求出AM，即可得出菱形ABFE的面积，求出高AN，即可得出平行四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥BF，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AE∥BF，
∴∠AEB=∠FBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形；
（2）解：连接AF与BE相交于点M，过点A作AN⊥BC，垂足为点N．
∵四边形ABFE是菱形
∴AF⊥BE，AM=AF，AB=BF
BM=ME=BE=×8=4，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：
AM=
=
=3，
∴AF=2AM=6
∴菱形ABFE的面积为
AF×BE＝BF×AN
×6×8=5×AN
∴AN=，
∵BC=BF+FC=5+=，
∴平行四边形ABCD的面积是BC×AN=×=36，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，解题的关键是能综合运用性质和判定进行推理．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理可知，根据平行线的性质可证，又因为点是上一点，可证是的切线；
（2）连接，可得，可证，根据平行线的性质可知可证，又因为，可得，根据可得，所以点是的中点，从而可得.
【详解】（1）证明：如下图所示，连接，
中，，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
（2）解：如下图所示，连接，
是的直径，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，而，
，
．
10．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明垂直平分，结合可得由是半径，可得为的切线；
（2）证明，得求得，从而可求出．
【详解】（1）证明：连接，如图，则．
垂直平分，
即．
，即
∵是半径，
为的切线．
（2）解：由点为的中点，
∴
又，
∴，
．
，
，解得．
．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理以及，可得，即可解答；
（2）连接，由（1）得：，，可得到，从而得到，进而得到， ，，，再证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：，，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，，
在中，∵，
∴，
∴，的半径为3；
在中，，
∴，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
12．(1)证明：为公共弧，
．
，
，即．
为公共弧，
，
，
；
(2)证明：如图1，连接并延长交于，连接，则，
．
，，
垂直平分，
．
为直径，
，
，
，
，
，即 ；
(3)
2．
【分析】（1）结合图形，利用“同弧所对的圆周角相等”证明即可；
（2）已知为切线，首先连接并延长交于 ，连接，证明，然后进一步证明即可；
（3）观察图形和已知条件，首先证明，然后连接，证明四边形为平行四边形，四边形为矩形，再通过连接，证明四边形为平行四边形，进而得出B为中点，最后利用相似求出即可求解．
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）解：如图2，连接，
由（2）已知，
．
，
，
，
．
由（1）已知，
又，
，即，
，
，，
．
在中，，
，
，即为中点．
由（2）可知，
，
．
在和 中，
，
．
四边形为矩形．
，
四边形为平行四边形．
，在上．
是的切线，
．
为直径，
，
，
．
，
，
．
，
，
．
在和 中，，，
，
，
，
是中点，
，
垂直平分．
如图2，连接，则关于对称，
，即．
，
，
．
∵四边形为矩形，
．
在和中，
，
，
四边形为平行四边形，
，
．
在中，，
，
，即为中点．
设，则．
在和 中，
，
，即 ，
，则，．
在中，，，
则 ，．
在 中，，，
则．
在中，，
则．
【点睛】解题时，要注意把已知条件通过转化集中到我们熟悉的图形中，进而使问题得到简化；要能够结合问题来构造恰当的辅助线，从而使各知识点之间建立联系．
13．(1)等腰三角形，见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质和平行线的性质证明，则，即可证明结论；
（2）过点作，垂足为点，则四边形是矩形，
．根据进行解答即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形．
理由：如图，连接，
是的切线，
．
，
，
．
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）过点作，垂足为点，则四边形是矩形，．
是等腰三角形．
．
．
．
设，则，
．
．
由，得，的半径为2．
设BC与交于点，连接OG，
由，得．
．
．
．
．
，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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