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解答题中求阴影部分的面积 典型考点预测题 2026年初中数学中考复习备考
1．如图1，四边形是的内接四边形，，连接，．
(1)求的度数；
(2)如图2，，相交于点，若，．求阴影部分的面积．
2．如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，过点A作交的延长线于点E，若，
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
3．如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
4．如图，为外接圆，为的直径，，是的切线，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求阴影部分的面积．（结果不取近似值，请保留精确值）
5．如图，，，分别与相切于，，三点，且，，．
(1)求证：；
(2)求图中阴影部分的面积．
6．如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，．
(1)求的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
7．如图，内接于，连接，平分，点D在弧上，过点B作，交的延长线于点E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，，求阴影部分的面积．
8．如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
9．如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点D．
(1)求证：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
10．如图，内接于，直径与弦相交于点E，F是延长线上的一点，连接，，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
11．如图，、是的切线，A、B是切点，是的直径，连接，交于点D，交于点E．
(1)若E恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积；
(2)若，且，求切线的长．
12．在图1，图2中，四边形是正方形，，以为直径向上作半圆，点是半圆上一点．
(1)如图1，连接，，
①若是半圆的切线，则_____；
②求的最小值；
(2)如图2，连接并延长交边于点，若，求阴影部分的面积．
13．如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点．

(1)若，求的度数；
(2)若，，求阴影部分的面积．
14．如图1，内接于，的平分线交于，与相切，交的延长线于．
(1)求证：；
(2)如图2，若，，，求图中阴影部分的面积．
15．在中，，以为直径的分别与、交于点、，过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图，若的半径为，，求阴影部分的面积．
参考答案
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可求出的度数；
（2）先求出，根据勾股定理及三角函数求出，进而求出，可知阴影部分的面积．
【详解】（1）解：四边形是的内接四边形，
．
，
．
．
；
（2）解：，，
．
，，
．
在中，，
．
，
．
．
2．(1)
(2)
【分析】（1）由切线性质定理及勾股定理求得圆的半径，进而求得，再在中由正弦函数关系即可求解；
（2）由（1）所求可求得，利用即可求解．
【详解】（1）解：是的切线，是的半径，
∴．
，
设， 则．
在中，由勾股定理，得，
，
解得．
．
在中，，，
，
，
，
，
，
在中，，
；
（2）解：，
，
，
，
∵，，，
，
．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直径所对圆周角等于，已知垂直的条件证明，即可判定；
（2）根据可得，进而可得为等边三角形，由此得出阴影部分所在扇形的圆心角等于，再根据阴影部分的面积等于扇形减去计算即可．
【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴
在与中
∴．
（2）解：由（1）知，
∴．
∵，
∴，为等边三角形．
∴，．
∴，
∴．
4．(1)见详解
(2)
【分析】（1）首先证明，结合，即可证明结论；
（2）用梯形的面积减去扇形的面积即得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）连接，如下图，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，且为的直径，，
∴，，
∴阴影部分的面积
．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由切线长定理易得，则可得，即可得证；
（2）先由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得到，然后根据扇形的面积公式计算即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵分别与相切于三点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．(1)的半径
(2)
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
（1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案；
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴
7．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，则，由平分，，得，等量代换得即可；
（2）连接，交于点F，则，证是等边三角形，设，，得解得，由勾股定理得，证四边形是菱形，得，用割补法求面积即可．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，交于点F，则，
∵，，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
设，，
∴，，，
∴，解得，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，，
∴，
∴．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先根据切线的性质得到，再证明，可得，即可根据切线的判定证明结论；
（2）先求出，，，再根据计算，即可得到答案．
【详解】（1）证明：内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，连接，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：由（1）知，，
，
，
是直径，
，
，
，
在中，，
阴影部分的面积．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质，以及圆周角定理得到，，再利用平行线判定证明，即可解题；
（2）过点A作交于点F，结合平行线性质，以及直角三角形性质得到，再证明四边形是正方形，结合正方形性质，以及进行求解，即可解题．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过点A作交于点F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴．
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴
．
10．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．证明．由是的直径可得，得出，从而可得结论；
（2）先证明四边形是平行四边形．是菱形，再证明是等边三角形，求出，根据可得结论．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形．
∴，．
∴是等边三角形，
∴．
在中，，，
∴，
∴,
∴．
11．(1)
(2)
【分析】（1）先证明，设，则，，，根据四边形的面积是，构建方程求出m，求出，，，再根据，求解即可；
（2）在中，，可以假设，则，，，在中，根据，构建方程求出x，再证明，可得结论．
【详解】（1）解：∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵E恰好是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
设，则，，，
∵四边形的面积是，
∴，
∴，
∴或（舍弃），
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴设，则，，，
在中，，
∴，
∴或（舍弃），
∴，，，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线长定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
12．(1)①
②
(2)
【分析】（1）①连接、，可证，根据全等三角形对应边相等可知；
②连接交于点，当点、、三点共线时最小，根据勾股定理求出，根据圆的性质可知，所以的最小值是；
（2）连接，过点作，根据勾股定理求出的长度，利用，可以求出，根据圆周角定理可知，利用的正弦求出，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【详解】（1）①解：如下图所示，连接、，
四边形是正方形，，
，，
是半圆的切线，
，
在和中，，
，
；
②解：如下图所示，连接交于点，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
的最小值为；
（2）解：如下图所示，连接，过点作，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
13．(1)
(2)阴影部分的面积为
【分析】（1）连接，根据切线，可知，然后求得，结合圆周角定理，求得；
（2）设，在中，由勾股定理得：，求得半径，然后利用解直角三角形，求得，然后再求得，最后利用求得答案．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵是的切线，是⊙O的半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
在中，由勾股定理得：，，，
即，
解得：，
∴，，
∴，
，
，
，
，
阴影面积为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形内角和，圆周角定理，扇形的面积，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，求出，由垂径定理的逆定理得到，然后由切线的性质得到，即可证明；
（2）连接，，，设与交于点F，证明，得到，设，，得到，然后求出，得到是的直径，证明出，得到，代入求出，，利用，然后求出，然后根据阴影部分的面积求解．
【详解】（1）解：如图，连接
∵的平分线交于，
∴
∴
∴
∵与相切
∴
∴；
（2）解：如图，连接，，，设与交于点F
∵
∴
∵
∴
∴
∴设，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴是的直径
∵
∴
∵
∴
∴，即
∴（负值舍去）
∴，
∴是等边三角形
∴
∴的平分线交于，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵点O是的中点
∴
∴阴影部分的面积
．
15．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可；
（2）连接，过作于，则，求出、的长和的度数，最后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
，，
，，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，过作于，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
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