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一次函数与反比例函综合题 典型考点预测题 2026年初中数学中考复习备考
1．一次函数与反比例函数，交于点和点，过点A作轴，垂足为C．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接，求的面积．
(3)直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围．
2．已知，如图，一次函数 (为常数且)的图象与轴、轴分别交于两点，且与反比例函数(为常数且)的图象在第二象限交于点．若轴于，若．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式．
(2)若一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为，连接，求面积．
3．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，连接、．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求面积的最大值．
4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求上述反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积．
(3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函最的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）当面积为4时，求点的坐标；
（3）在（2）的情况下，直线过线段上一点，求的取值范围．
6．如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点和点B．
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)已知点，观察图象，不等式的解集为______；
(3)点D在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，连接．求的面积．
7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
8．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的反比例图像上有一点，使得，请求出点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，D是y轴上任意一点
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求面积的最大值．
10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数的图象交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)在第四象限的反比例图象上有一点P，使得，请求出点P的坐标；
(3)对于反比例函数，当时，直接写出x的取值范围．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，轴，的面积是面积的3倍．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)若点A关于原点的对称点是点，请判断点是否在反比例函数图象上．若将一次函数图象向上平移，使其经过点，求平移的距离．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线l，交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E．
ⅰ)若，求线段的长；
ⅱ)将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N(点N的横坐标大于点M的横坐标)，连接，，若，求点P的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数第三象限图象上一点，过点作直线交轴于点．
①若直线与反比例函数的图象只有一个交点，连接，，求的面积；
②是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点是线段上一点（不与，重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，，，当时，求点的坐标；
(3)如图，在（）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求出点的坐标．
参考答案
1．(1)，
(2)12
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用：
（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出，再根据三角形的面积公式求出即可；
（3）直接观察图象，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入，得：
，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，得：，
∴点，
把点，点代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵点，轴，
∴，
∴的面积为；
（3）解：观察图象得：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，
即一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的取值范围为或．
2．(1)，
(2)
【分析】（1）根据求得，把代入反比例函数，可得反比例函数的解析式，把，代入一次函数，即可得一次函数解析式；
（2）联立一次函数与反比例数求得点的坐标，继而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
把代入反比例函数，得，
∴反比例函数的解析式为，
把，代入一次函数，
得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：联立
解得：或，
∴，
∵，
∴
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，求三角形面积，已知正切求边长，掌握以上知识是解题的关键．
3．(1)；
(2)面积的最大值是
【分析】（1）由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，代入，求得反比例函数解析式；
（2）设点，点，得出关于与的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【详解】（1）解：把、代入一次函数得：
，
解得：，
∴一次函数的关系式为，
将点代入，得，
∴点，
将点代入，
得出
∴，
（2）∵点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，，
设点，点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，
所以，面积的最大值是．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．
4．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求两函数的解析式的应用．
（1）将点的坐标代入反比例函数 ，求出，将点的坐标代入反比例函数求出，利用待定系数法确定一次函数解析式；
（2）设与轴交于点，根据一次函数解析式得出，进而根据，进行计算即可．
（3）找到一次函数图象在反比例函数图象之上的的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点代入，得：，
解得：，
则反比例函数解析式为：；
将点代入，得：，则
将点的坐标代入一次函数解析式，得：
，解得：，
故一次函数解析式为：．
（2）解：设与轴交于点，
一次函数解析式为：，
令，则，
∴点的坐标为，
，
．
（3）解：根据函数图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围为：或．
5．（1）；（2）(5，)；（3）
【分析】（1）将点代入解析式计算即可
（2）利用点B的坐标表示三角形的面积列方程即可
（3）将A、B两点代入一次函数解析式即可得出
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（1，2）
∴k＝2
∴反比例函数的解折式为：．
（2）∵点B（m，n）的图象上，
∴，即mn＝2，
∵，
∴m＝5
∴
∴B的坐标为（5，）．
（3）将A（1，2），B（5，）分别代入y＝ax－1得：，，
∴a的取值范田为．
【点睛】本题考查反比例函数的解析式、利用一次函数写比例系数的取值范围、利用三角形的面积列方程是关键．方程思想是常用的解题思路．
6．(1)，
(2)或
(3)4
【分析】（1）先将点代入求出值，再将求出的点坐标代入求解即可；
（2）不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点的横坐标的取值范围；
（3）先求出点坐标，即可求解，再由求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴，
将点代入得，，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由题意得，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，
∴由函数图象可得，不等式的解集为或
（3）解：将点的横坐标代入，则
∴
∵过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E，
∴点E横坐标为4，
∴将点E横坐标4代入得，，
∴，
∴，
∴．
7．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，函数图象的交点，坐标系中三角形的面积．
（1）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式．把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出m的值，得到反比例函数的表达式；
（2）结合函数图象关于原点中心对称可知，根据求解即可．
【详解】（1）解∶∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为．
∵一次函数过点，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：射线与反比例函数的图象交于点C，
结合函数图象关于原点中心对称可知，
过点作轴于点E，过点作轴于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴．
8．(1)，
(2)
【分析】（1）先将点的坐标代入反比例函数的解析式求出，从而求出反比例函数的解析式，最后将点的坐标代入解析式就可以求出的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由直线解析式求得、的坐标，进而求得，进一步根据题意得到的纵坐标，进而求得点的坐标．
【详解】（1）解：比例函数的图像过点，
，
在双曲线上，
，
一次函数的图像经过、两点，
解得：
一次函数的解析式；
（2）在中，当时，；当时，则，
，，
∴，
，
，
，
，
由题意得：，
又点P在反比例函数图像上，
的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
9．(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；
(2)面积的最大值是4．
【分析】（1）由、的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，代入，求得反比例函数解析式；
（2）设点，点，得出关于与的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【详解】（1）解：把、代入一次函数得：
，
解得：，
一次函数的关系式为，
将点代入，得，
点，
将点代入，
得出，
；
（2）解：点在反比例函数的图象上，点在一次函数的图象上，，
设点，点，
，
，
，
当时，，
所以，面积的最大值是4．
【点睛】本题考查求反比例函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形，三角形的面积，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．
10．(1)一次函数的解析式为；
(2)点P的坐标为
(3)或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，数形结合是解题的关键．
（1）先将点的坐标代入反比例函数的解析式求出，从而求出反比例函数的解析式，最后将点的坐标代入解析式就可以求出的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）由直线解析式求得、的坐标，进而求得，进一步根据题意得到，即，求得的纵坐标，进而求得横坐标；
（3）通过图象观察就可以直接看出当时的取值范围．
【详解】（1）反比例函数的图象过点，
∴，
∴，
∵在双曲线上．
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过A、B两点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）在中，当时，；当时，则，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵点P在第四象限，
∴，
代入得，，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）观察图象可知，对于反比例函数，当时，x的取值范围是或．
11．(1)，
(2)8
【分析】（1）待定系数法求解；
（2）求出点的坐标，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：把点代入，得，
所以；
把代入，得，即，
把点，分别代入中，
，
解得，，
所以；
（2）解：直线与y轴的交点坐标为，
．
12．(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：．
(2)平移的距离为．
【分析】（1）先求解，结合三角形的面积可得，再进一步求解函数解析式即可．
（2）先求解，进一步代入解析式判断，设平移后的解析式为，进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数，
当，则，
∴，
∵轴，的面积是面积的3倍．
∴，
∴，，
把代入，得：
∴，，
解得：，
一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：．
（2）解：∵点关于原点的对称点是点，
∴，
∵反比例函数的解析式为：．
当时，，
∴在反比例函数的图象上．
设平移后的解析式为，
∴，
解得：，
∴平移的距离为．
13．(1)，
(2)ⅰ)或 ⅱ)点P的坐标为
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的综合问题，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质综合等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
（1）将点代入一次函数和反比例函数的解析式即可求出a、k，从而得出反比例函数的表达式，令解出x即可得出点B的坐标；
（2）ⅰ)设点P的坐标为，，用m表示出点D、E的坐标，从而求出、，利用列方程求解出m，继而得解；
ⅱ)由求得，从而求出点N的坐标，继而求出其关于直线l对称的对称点的坐标，代入反比例函数解析式可求出m，从而得解．
【详解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点
∴，解得：，
∴，反比例函数的表达式为，
∵令得：，
∴；
（2）ⅰ)设点P的坐标为，，
∵过点P作x轴的垂线l交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
∴解得：，，，
∵，
∴或2，
∴或；
ⅱ)∵，
∴
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
过点A作，垂足为H，过点N作轴，垂足为G，则，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为H，，
∴，，
∴，，
∴
设点N关于直线l的对称点为，
∴，
∵将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N，
∴在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
14．(1)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：；
(2)①；②存在，或
【分析】（1）将点代入，得出一次函数的表达式，先求出点坐标，再求反比例函数表达式即可得解；
（2）①连接，设直线交轴于点，根据题意设出直线的解析式，进而联立反比例函数解析式，根据直线与反比例函数的图象只有一个交点，得出，，再求得直线的解析式，根据，即可求解；
②根据题意得出，分两种情况讨论，情形一：，情形二： ，根据相似三角形的性质进行分析，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得，
解得：
∴一次函数的表达式为：
将代入
∴
解得：，
∴，
将代入得，，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：①解：如图，连接，设直线交轴于点，
∵直线
∴设直线的解析式为
联立
∴ 即
∵直线与反比例函数的图象只有一个交点，
∴
又∵
∴
∴直线的解析式为
当时，
∴
设直线的解析式为
代入，得，
解得：
∴直线的解析式为
当时
∴
∵
∴
②解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点
∵
∴
∵，则
∴
∵
∴
∴，
∴与相似，点与点对应，分两种情况讨论，
情形一：，
∴
∴
∴
设 ，则
∴
∴，代入
解得：（负值舍去）
∴
情形二： ，则
过点作轴于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∴
设 ，则
依题意，
解得：
∴,
∴
综上所述：存在，或
15．(1)，；
(2)
(3)．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）设，则有，过作于点，则，，根据可得，解方程即可求解；
（）如图，连接，由平移可得，根据平移可得直线的解析式为，联立函数式，解方程组即可求解；
此题考查了待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，三角函数等，掌握一次函数及反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为，
∵在的图象上，
∴，
解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：设，则有，
如图，过作于点，则，，
∵，
∴，即，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，由平移可得，
∴直线的解析式为，
联立函数式得，，
解得或 (不合题意，舍去)，
∴．
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