资源简介

四川省绵阳市盐亭县2026届中考第一次模拟监测数学试卷
1．在 0， - 2， - ，π四个数中，绝对值最小的数是(　　)
A．0 B．- 2 C． D．π
2． ChatGPT 是人工智能研究实验室 OpenAI 新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达 175000000000 个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为(　　)
A． B． C．1750×108 D．
3．下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是
A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2.15，2.2 D．1.7，2.7
6．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．一元二次方程 的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)
A． B． C． D．
8．如图，在坡角为α的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离AB=6米，则这两棵树的竖直距离 BC可表示为(　　)
A．6sinα米 B．米 C．6cosα米 D．米
9．已知一次函数 y=x+b的图象与反比例函数 在第二象限内的图象如图所示，则二次函数 的图象可能为(　　)
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于 A、B 两点，点 P 在线段 AO 上，⊙P与 x 轴交于 M、O两点，当⊙P 与该一次函数的图象相切时，AM 的长度是(　　)
A．3 B．4 C．2 D．6
11．如图，在矩形ABCD 中， AB=2， BC=1，动点 P 从点 B 出发，沿路线 B-C-D做匀速运动，那么△ABP 的面积 y与点P 运动的路程x之间的函数图象大致为(　　)
A． B．
C． D．
12．如图，在正方形ABCD 中， E、F 分别为BC、CD 的中点，连接AE、BF 交于点G，将△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF，延长线 FP 交 BA 延长线于点 Q，下列结论正确的个数为(　　)
①∠AEB=∠BFC； ②GE2+GB2=BE2； ③∠QBF=∠QFB；④⑤S 四边形ECPG-S 四边形ECFG=S△BGE.
A．5 B．4 C．3 D．2
13．把多项式 分解因式的结果是　 　.
14．如图，已知△ABC 中， AB=AC， AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D， AE 是∠BAC 的外角∠FAC 的平分线， ED∥AB 交 AC于点 G.下列结论： ①AE=AG； ②△ADG 是等腰三角形； ③上述结论中，所有正确结论的序号是　 　.
15．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴上， △OAB是边长为4的等边三角形，已知点C(-8， 0)， D (2， 0)，点 P 是线段 CD 上一点，连接 BP，将线段 BP 绕点 B 逆时针旋转60°得到线段 BQ，连接AQ.在点 P 从点 C 运动到点 D 的过程中，线段 AQ 扫过的面积为　 　.
16．若关于 x 的一元一次不等式组 有解且最多有 3 个整数解，且使关于 y 的分式方程 有整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是　 　.
17．如图，等边△ABC中， BD⊥AC于 D， QD=1.5，点 P、Q分别为 AB、AD 上的两个定点且 BP=AQ=2，在 BD 上有一动点 E 使PE+QE 最短，则 PE+QE 的最小值为　 　.
18．如图，已知在四边形ABCD 中， ∠ADC=90°， AB=AD，点 E、F分别在线段 CD、AD上.如果 那么 cot∠ABD=　 　 .
19．
（1）计算：
（2）先化简： 再从 0≤x≤4 中选一个适合的整数代入求值.
20．为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类：艺术、文学、科普、传记、其他.根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图(每位同学必选且只选最喜欢的一类)，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1） 这次调查的学生共有　 　名，喜欢“文学”类的学生有　 　名；
（2） 在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是　 　°，“其他”类所对应的百分比是　 　；
（3） 如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是　 　.
21．某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品.现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套.已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3 套扫把簸箕套装共需 26 元.某商店提供以下两种优惠方案：方案 1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过 400 元的按原价付费，超过400元的部分打6折.
（1） 求毛巾和扫把簸箕套装的单价；
（2） 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少
22．如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，，BF的长度为 　 　 ；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
23．定义：点 M (m，n)关于原点的对称点为M'，以 MM'为边作等边△MM'N，则称点 N 为M 的“完美三角点”.
（1）若 M (2， 3)，求点 M 的“完美三角点”的坐标.
（2）若 M 点是双曲线 上一动点，当点 M的“完美三角点”点N在第四象限时，
①如图1，请问点 N是否也会在某一函数图象上运动 如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由.
②如图2，已知点 A(1，3)，B(2， )，点C是线段 AB上的动点，点 F在 y轴上，若以A、C、F、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点 N的纵坐标 yn的取值范围.
24．四边形 ABCD是⊙O 的内接四边形， AC是对角线， CA平分∠BCD.
（1）如图1，求证： AB=AD；
（2） 如图2，点E 在线段 CD上，连接AE， AB=AE，连接BE， ∠BED=135°，求证： BC⊥CD；
（3）如图3，在(2)的条件下，作 BH⊥AB 交⊙O 于点 H，交线段 AC 于点F，连接CH，请你探究线段DE、线段CH的数量关系，并证明你的结论.
25．综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 A (-3，0)和点C，与y轴交于点B (0，3)，点P 是抛物线上点A 与点C之间的动点(不包括点A，点C).
（1）求抛物线的解析式；
（2） 如图1，动点 P在抛物线上，且在直线AB上方，求 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
（3） 如图2，过原点O作直线l交抛物线于 M、N两点，点M 的横坐标为m，点 N 的横坐标为n.求证： mn是一个定值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，，.
∵0<2<3.14<3.16，
∴绝对值最小的数是0.
故答案为：A .
【分析】先根据绝对值的定义，分别求出0，-2，，π这四个数的绝对值；再比较这些绝对值的大小，从而找出绝对值最小的数．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：175000000000=1.75×1011
故答案为：D .
【分析】根据科学记数法的定义，将原数175000000000转化为a×10n的形式，其中a需满足1≤∣a∣<10，n为小数点移动的位数，最终得到科学记数法的结果1.75×1011．
3．【答案】D
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
5．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数是，众数是．
故答案为：A ．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据众数和中位数的定义并结合题意即可求解．
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、积的乘方，给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
B、同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
C、同底数幂乘除法，底数不变指数相减；
D、单项式乘多项式，用单项式和多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：在方程 中，a=1，b=-6，
由韦达定理，得.
故答案为：D .
【分析】先根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，确定方程 中系数a=1，b=-6的值；再根据韦达定理，将a，b的值代入两根之和公式进行计算，得出x1+x2=6．
8．【答案】A
【知识点】正弦的概念；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，AB=6米，
∴，
∴BC=AB×sinα=6sinα（米）.
故答案为：A .
【分析】先根据题意确定△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠BAC=α，AB=6米；再根据锐角三角函数中正弦的定义，将坡面距离AB作为斜边，竖直距离BC作为α角的对边，得到，代入公式对边斜边，从而得出BC=6sinα米．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=x+b的图象经过一，二，三象限，且与y轴交于正半轴，
∴b>0．
∵反比例函数 的图象在第二象限，
∴k<0．
∵一次函数与反比例函数在x=-1处相交，
∴将x=-1代入两函数表达式得，整理得b+k=1．
∵二次函数为，其中二次项系数1>0，
∴抛物线开口向上．
∵对称轴为，且b>0，
∴对称轴在y轴右侧．
∵常数项为k-1，且k<0，
∴k-1<0，抛物线与y轴交于负半轴．当x=-1时，y=(-1)2-b(-1)+k-1=1+b+k-1=b+k，
又∵b+k=1，
∴x=-1时，y=1>0．
∴该函数开口向上，对称轴在右侧，与y轴交于负半轴，x=-1时函数值为正．
故答案为：D.
【分析】先根据一次函数y=x+b的图象过一，二，三象限，得出参数b>0；再根据反比例函数 的图象在第二象限，得出参数k<0；接着根据两函数在x=-1处相交，将x=-1代入两式，推导出b+k=1；然后根据二次函数的二次项系数1>0，判断其开口向上；再根据对称轴公式且b>0，判断对称轴在y轴右侧；又根据常数项k-1<0，判断抛物线与y轴交于负半轴；最后将x=-1代入二次函数，结合b+k=1得出x=-1时y=1>0，结合所有特征选出D．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：一次函数 ，
令y=0，则43-x+6=0，解得x=-8，故A(-8，0)，OA=8．
令x=0，则y=6，故B(0，6)，OB=6．
在Rt△AOB中，由勾股定理得，.
设⊙P的半径为r．
因为点P在线段AO上，且⊙P与x轴交于M，O两点，
所以圆心P在x轴上，且OP=r，则AP=OA-OP=8-r．
当⊙P与直线AB相切时，连接BP，过点P作PH⊥AB于点H，则PH=r．
在△APB中，
，
.
联立得3(8-r)=5r，解得r=3.
已知OA=8，圆的直径MO=2r=6，由图可知，点M在x轴负半轴上，点P在M与O之间，
所以AM=OA-MO=8-6=2.
故答案为：C .
【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点A，B，计算出OA=8，OB=6及斜边AB=10；再设圆的半径为r，根据圆与直线相切的性质，将圆心到直线的距离PH表示为半径r；最后利用三角形面积的两种不同表示方法和，建立方程3(8-r)=5r求出r=3，进而计算AM=2．
11．【答案】D
【知识点】分段函数；一次函数图象、性质与系数的关系；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：分两段分析动点P的运动过程：
①当P在BC上运动时（0≤x≤1），
△ABP的底AB=2，高为P到AB的垂直距离，即BP=x．
根据三角形面积公式，得，
此时y是关于x的一次函数，y随x增大而增大，当x=1时，y=1．
②当P在CD上运动时（1P到AB的垂直距离始终等于BC=1，
因此，，
此时y为常数，函数图象为水平线段．
综上，函数图象分为两段，0≤x≤1时为斜率为1的上升线段，1故答案为：D．
【分析】先根据动点P的运动路线，分BC段和CD段分别分析△ABP的面积变化，即P在BC上时，高随运动路程x线性增大，面积y随x线性增大y=x；P在CD上时，高保持不变，面积y为定值1；最后结合两段的函数特征，即可得出函数图象．
12．【答案】B
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；求余弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解： ①∠AEB=∠BFC：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°.
又E，F分别为BC，CD的中点，
∴BE=CF.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠AEB=∠BFC，①正确．
②GE2+GB2=BE2：
由△ABE≌△BCF，得∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BGE=180°-(∠CBF+∠AEB)=90°，即AE⊥BF.
在Rt△BGE中，由勾股定理得GE2+GB2=BE2，②正确．
③∠QBF=∠QFB：
由折叠性质，得△BCF≌△BPF，
∴∠BFC=∠BFP，CF=PF，BC=BP，∠BPF=∠C=90°，
∵CD∥AB，
∴∠BFC=∠ABF，即∠ABF=∠BFP，
∴QF=QB，
∴∠QBF=∠QFB， ③正确.
④：
令PF=k(k>0)，则PB=2k.
在Rt△BPQ中，设QB=x，根据勾股定理，得x2=(x-k)2+4k2，解得.
∴，， ④错误.
⑤S四边形ECPG-S四边形ECFG=S△BGE：
设正方形的边长为2a，则BC=2a，CF=a，
设PC交BF于H.
由折叠可知，BF是PC的垂直平分线，即BF⊥PC且PH=CH.
由②知，AE⊥BF，即GE⊥BF，
∴GE∥PC.
在△BPC中，E是BC的中点，且GE∥PC，
∴G是BH的中点，GE是△BCH的中位线.
∴CH=2GE，且S△BGE∽S△BCH，
∴BE∶BC=1∶2，面积比为1∶4.
∴S△BCH=4S△BGE.
∵H是PC的中点，BF⊥PC，
∴S△PHG=S△CHG.
又∵G是BH的中点，
∴S△PHG=S△PBG，S△CBG=S△CHG.
∴.
由相似比可知，S△BCF=5S△BGE，
∴，
∴.
同理，得.
∴S四边形ECPG-S四边形ECFG=S△BGE，⑤正确.
综上，①②③⑤正确.
故答案为：B .
【分析】利用正方形的性质和SAS判定，证明△ABE≌△BCF，得到 ∠AEB=∠BFC ，证明①正确；由全等三角形的性质和直角三角形互余推出∠BGE=90°，从而证明AE⊥BF，在Rt△BGE中应用勾股定理，推出 GE2+GB2=BE2，证明②正确；利用折叠的性质和平行线的内错角相等，推出∠ABF=∠BFP，从而证明QF=QB，得到∠QBF=∠QFB，证明③正确；通过设参数PF=k，PB=2k，在Rt△BPQ中利用勾股定理求出边长，进而计算余弦值， 证明④错误；通过相似三角形S△BGE∽S△BCH，中位线性质CH=2GE和面积比S△BCH=4S△BGE，推导出两个四边形的面积差，，从而证明S四边形ECPG-S四边形ECFG=S△BGE，证明⑤正确；最后得出①②③⑤正确.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先提取各项的公因式2a，将原式化为2a(4y2-1)；再判断括号内的4y2-1符合平方差公式的形式，继续分解为(2y+1)(2y-1)，即可完成因式分解．
14．【答案】②③
【知识点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
∵AE平分∠FAC，∠FAC=180°-∠BAC，
∴．
∴，即AD⊥AE．
∵ED∥AB，
∴∠BAD=∠ADG，又∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADG，即AG=DG．
∴AE与AG无直接相等关系，故①错误．
∵ED∥AB，
∴∠BAD=∠ADG．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠CAD=∠ADG，即AG=DG，
∴△ADG是等腰三角形，故②正确．
∵AD⊥AE，ED∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD=DC．
∵∠DAE=90°，在Rt△ADE中，AG=DG且AG=EG，
∴G是DE的中点，
∴，故③正确．
综上，正确结论的序号是②③．
故答案为：②③ .
【分析】先根据等腰三角形“三线合一”和角平分线的定义，推出AD⊥AE，再利用平行线的性质得出∠BAD=∠ADG，进而利用角的等量代换得到AE=AG ，最后判断 ① 错误；
先利用平行线的性质和平分线的性质，分别得出∠BAD=∠ADG和∠BAD=∠CAD，再利用角的等量代换得到∠CAD=∠ADG，进而推出AG=DG，△ADG为等腰三角形，最后判断②正确；
先判断四边形ABDE是平行四边形，得出AE=BD=DC；再结合直角三角形斜边中线的性质，证明，最后判断③正确．
15．【答案】10
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△OAB是边长为4的等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°．
∵线段BP绕点B逆时针旋转60°得到BQ，
∴BP=BQ，∠PBQ=60°．
∵∠OBA=60°，即∠OBP+∠ABP=60°，且∠ABQ+∠ABP=60°，
∴∠OBP=∠ABQ．
在△OBP和△ABQ中，
∴△OBP≌△ABQ(SAS)，
∴∠OBP=∠ABQ，OP=AQ．
当P在C(-8，0)时，OP=8，此时AQ=8；
当P在D(2，0)时，OP=2，此时AQ=2．
∵如图，P在CD上运动时，AQ的轨迹为一条线段，扫过的图形为平行四边形，其底为CD=2-(-8)=10，高为点B到x轴的距离．
∴扫过的面积为
故答案为：10 .
【分析】由等边三角形和旋转的性质，证明△OBP≌△ABQ，得到OP=AQ，∠OBP=∠ABQ，即AQ的长度与P的位置同步变化，轨迹为线段；P从C运动到D，对应Q从一个位置运动到另一个位置，AQ扫过的图形为平行四边形（或由两个全等三角形组成的平行四边形）；以CD为底，点B到x轴的高为高，即并利用正弦函数求出高，并计算平行四边形面积．
16．【答案】12
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，解得，即.
∵ 不等式组有解且最多有 3 个整数解，
∴不等式组的解集只能为0，1，2.
∴.
又∵ 不等式组有解，
∴3a+1 > 1，即 a> 4，
∴ 1<3a+1 <3.
∴ 4解 ，得.
∵ 分式方程有整数解，且 y≠1，
∴为整数，且（即 a≠ 2）.
∵ 4∴a必为偶数，
∴满足条件的a为0，2，4，6.
∴所有满足条件的整数a的值之和为0+2+4+6=12.
故答案为：12 .
【分析】先根据不等式的性质解不等式组，得到；再根据“有解且最多3个整数解”，确定a的取值范围为 417．【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴AD=DC．
∵AQ=2，QD=1.5，
∴AD=AQ+QD=2+1.5=3.5，
∴AC=2AD=7，即等边△ABC的边长为7．
作点P关于BD的对称点P'，连接P'Q交BD于点E，则BP=BP'=2．连接PE，则PE=P'E.
∴PE+QE=P'E+QE．
∴当P'，E，Q三点共线时，P'E+QE取得最小值，即线段P'Q的长度．
∵BP=BP'=2，AB=BC=AC=7，
∴CP'=BC-BP'=7-2=5，CQ=AC-AQ=7-2=5，即CP'=CQ.
∵在等边△ABC中，∠C=60°，
∴△CP'Q是等边三角形，
∴P'Q=CQ=CP'=5，即PE+QE的最小值为5.
故答案为：5 .
【分析】先利用等边三角形“三线合一”的性质，结合已知线段，求出边长AC=7；再作点P关于BD的对称点P'，将折线PE+QE的最小值问题转化为求线段P'Q的长度；接着通过计算得CP'=CQ，结合∠C=60°，判定△CP'Q为等边三角形，从而求得线段P'Q的长度，即PE+QE的最小值为5．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B作BG⊥AD于G，交AE于点H．
∵BG⊥AD，AE⊥BF，
∴∠BGA=∠BOA=90°，
∴∠GBF+∠BFG=90°，∠EAG+∠AEG=90°．
又∵∠BFG=∠AEG，
∴∠GBF=∠DAE．
又∵∠BGF=∠ADE=90°，
∴△BGF∽△ADE．
∴，
∵，
∴.
设BG=2t，则AD=3t．
∵AB=AD，
∴AB=3t．
在Rt△ABG中，由勾股定理，得，
∴．
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB．
在Rt△BDG中，，
∴．
故答案为： .
【分析】先过B作BG⊥AD，利用垂直条件和同角的余角相等，证明△BGF∽△ADE，得到；再设参数表示边长BG=2t，利用勾股定理计算和；最后利用等腰三角形性质，将cot∠ABD转化为cot∠ADB，在直角三角形中求了．
19．【答案】（1）解：
（2）解：
分式有意义需满足1-a≠0，a-1≠0，a+2≠0，即a≠1且a≠-2．
∵ 0≤x≤4，
∴a=0，2，3，4.
当a=0时，．
（也可代入a=2，得1；代入a=3，得；代入a=4，得，均符合要求）
【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】 (1)运用立方根，零指数幂，负指数幂，特殊角三角函数，绝对值的计算规则，逐项化简后再合并同类项即可；
(2)先通过通分，因式分解，约分等步骤化简分式得到，再根据分式有意义的条件筛选合适的整数（a=0，2，3，4）代入计算即可．
20．【答案】（1）300；75
（2）90；16%
（3）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率的简单应用
【解析】【解答】解： (1)∵艺术类人数为45名，占比15%，
∴调查的学生总数为45÷15%=300（名）．
∵文学类占比25%，
∴喜欢“文学”类的学生数为300×25%=75（名）．
故答案为：300；75.
(2)∵科普类人数为75名，
∴科普类占比为75÷300=25%，
∴圆心角的度数为360°×25%=90°．
∵其他类人数为48名，
∴其他类百分比为48÷300×100%=16%．
故答案为：90；16%.
(3) ∵从五类图书中任选两类，总的基本事件数10种，恰好选到“文学”与“科普”的情况只有1种，
∴概率为．
【分析】(1)利用“艺术”类的人数和占比，求出调查的总人数45÷15%=300名，再结合“文学”类的占比求出其人数300×25%=75名；
(2)先根据“科普”类的人数和总人数求出占比75÷300=25%，再用占比乘360°得到圆心角360°×25%=90°；同理，用“其他”类的人数除以总人数得到百分比48÷300×100%=16%；
(3) 用组合数计算从五类中选两类的总情况数10种，再结合目标情况数1种，求出概率．
21．【答案】（1）解：设毛巾的单价是x元，扫把簸箕套装的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元
（2）解：设学校应购进m套扫把簸箕套装，则购进3m条毛巾，按方案1购买时，
根据题意得：
解得： m=50，
∴3m=3×50=150 (条)；
按方案2购买时，
∵该不等式组无解，
∴不能按方案2购买.
答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】 (1)根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，列二元一次方程组求解，得到两种商品的单价；
(2)设扫把簸箕套装数量为m，则毛巾数量为3m，分别按两种优惠方案列不等式组和，结合“总费用不超过480元”和“扫把簸箕套装不少于50套”的条件，筛选出可行方案1．
22．【答案】（1）证明：过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠BAD＝∠DAC＝45°，AD∥BC，
∴EN⊥BC，
∴四边形ABNM，四边形CDMN和四边形AMEH都是矩形，
∴∠FNE＝∠EMD＝90°，MN＝AB＝AD，AM＝BN，
∴∠1+∠2＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
∵EM⊥AD，∠DAC＝45°，
∴△AME是等腰直角三角形，
∴AM＝EM，
∵MN＝AD，
∴EM+EN＝DM+AM，
∴EN＝DM，
在△ENF和△DME中，
，
∴△ENF≌△DME（AAS），
∴EF＝ED；
（2）2
（3）解：∠EFC的度数是120°或30°
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定；正方形的性质；三角形的外角和
【解析】【解答】（2）解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝2，
∴AD＝AB＝2，
设AM＝EM＝BN＝a，
∴DM＝AD﹣AM＝2﹣a，
在△DME中，由勾股定理得：EM2+DM2＝DE2，
∴，
整理得：a2﹣2a+1＝0，
解得：a＝1，
∴AM＝EM＝BN＝a＝1，
∵△ENF≌△DME，
∴FN＝EM＝1，
∴BF＝BN+FN＝2，
故答案为：2；
（3）∵点E为对角线AC上一点，
∴线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，有以下两种情况：
①当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°，如图3①所示：
∴∠EDC＝∠CDA﹣∠ADE＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
在四边形DEFC中，∠EFC+∠BCD+∠EDC+∠DEF＝360°，
∴∠EFC+90°+60°+90°＝360°，
∴∠EFC＝120°；
②当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，如图3②所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA＝∠BCA＝45°，
在△CDE中，∠CED＝180°﹣（∠CDE+∠DCA）＝180°﹣（30°+45°）＝105°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝105°﹣90°＝15°，
∵∠BCA是△CEF的外角，
∴∠BCA＝∠CEF+∠EFC，
∴45°＝15°+∠EFC，
∴∠EFC＝30°，
综上所述：∠EFC的度数是120°或30°；
故答案为：∠EFC的度数是120°或30°.
【分析】（1）过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，如图1所示，根据正方形的性质可证明得到四边形ABNM，四边形CDMN和四边形AMEH都是矩形，再由等角的余角相等可得∠3＝∠2，即可得到△AME是等腰直角三角形，结合线段的和差利用AAS证明△ENF≌△DME，再利用全等三角形的性质即可解答；
(2)设AM＝EM＝BN＝a，根据正方形的性质和勾股定理计算得到a=1；再结合全等的性质利用线段的和差运算即可解答；
(3)由题干信息线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°，分两种情况：当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°；当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，分别计算即可解答.
23．【答案】（1）解：∵M (2， 3)，
依据“完美三角点”的定义得：点 M 关于原点的对称点为M'(-2，-3)，
由题意得：△MM'N是等边三角形，
设N(m，n)，则MN=M'N=2
整理得：
整理得：
解得：
当 时，得：
当 时，得：
∴点N的坐标是 或
（2）解：①点 N在某一函数图象上运动；理由如下，
设 则点M关于原点的对称点为
设N(s，t)，则
整理得：
解得：
∴点 N 在第四象限， t<0，
∴此函数的解析式为
②以A、C、F、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：
当 AC 为平行四边形的边时，C与 B 重合时，
通过平移可求得 N 的横坐标为1，
∵xy=-9，
∴y=-9，
∴这一临界点通过平移可求得 N (1，-9)，
当AC 为平行四边形的对角线时，C与 B 重合时，
通过平移可求得 N 的横坐标为3，
∵xy=-9，
∴y=-3，
∴这一临界点通过平移可求得 N (3，-3)，
当C与A重合时，同理可得
综上所述： 或
【知识点】反比例函数图象的对称性；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】 (1)利用原点对称点公式(-m，-n)求M'(-2，-3)，再由等边三角形MN=M'N列方程并化简得到，通过距离公式求解N的坐标或 ；
(2) ①设双曲线M点坐标，重复对称与等边性质的推导，消去参数c，得到N(s，t)的函数关系，最后得到此函数的解析式为 ；
②结合平行四边形对边平行且相等的平移性质，分三种情况讨论N的横坐标，分别得到N (1，-9)，N (3，-3)，，再分别代入反比例函数，求纵坐标范围分别为，，．
24．【答案】（1）证明：∵CA 平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
∴AB=AD
（2）解：∵AB=AE，
∴可设∠ABE=∠AEB=α，由条件可知
∵AB=AD，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=135°-α，
∴∠DAE=180°-2 (135°-α) =2α-90°，
∴∠DAB=∠DAE+∠EAB
=180°-2α+2α-90°
=90°，
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=90°，
∴BC⊥CD
（3）解：连接DH，延长AC使CH=CK，连接HK， BK，由条件可知∠BHD=∠BCD=90°，
∵BH⊥AB，
∴∠ABH=90°，
∴∠BAD=∠BHD=90°，
∴四边形 ABHD 是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABHD 是正方形.
∴AD=BH=AB=DH，
∴∠ACB=∠DCH=∠ACD，
又∵∠ACB= ∠BCD=45°，
∴∠DCH=∠ACD=45°，
∴∠BCH=135°，
∠HCK=90°，
∴∠BCK=135°，
∴∠BCK=∠BCH，
在△BCH 和△BCK 中，
∴△BCH≌△BCK (SAS)，
∴∠CBK=∠CBH，
BH=BK，
∴∠HBK=2∠CBH，
又∵HC=HC
∴∠CDH=∠CBH，
∴∠ADE=90°-∠CDH，
∴∠DAE=2∠CDH，
∴∠DAE=∠HBK，
在△ADE 和△BHK中，
∴△ADE≌△BHK (SAS)，
∴DE=HK，
又∴HK2=CH2+HK2，
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)先根据角平分线定义得到∠ACB=∠ACD，再根据圆周角定理推出，最后根据同圆中弧弦相等的关系得出AB=AD；
(2)先根据等腰三角形性质设∠ABE=∠AEB=α，结合已知角度表示出∠BAE与∠AED，再根据AB=AD及AB=AE推出AE=AD并计算出∠DAB=90°，最后根据圆内接四边形对角互补的性质得到∠BCD=90°，从而证明BC⊥CD；
(3)先根据BH⊥AB，∠BAD=90°及AB=AD证明四边形ABHD是正方形，得到AD=BH等等量关系，再根据角度计算证明△BCH △BCK，得到AE=BK与∠DAE=∠HBK，接着根据这些等量关系证明△ADE≌△BHK得到DE=HK，最后根据等腰直角三角形的勾股定理推导出．
25．【答案】（1）解：抛物线 与x轴交于点A (-3， 0)和点 C，与y轴交于点 B (0，3)，将点A 和点B的坐标分别代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图1，过点 P作PH∥y轴，交AB于点 H，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把点和点B的坐标分别代入得
解得：
∴直线AB的解析式为y=x+3，
点 P 是抛物线上点 A 与点 C 之间的动点(不包括点 A，点 C)，设点 P 的横坐标为x，则点 P 的纵坐标为
∴点H 的横坐标为x，点 H 的纵坐标为x+3，
整理得：
∴可知当 时，△APB的面积有最大值，最大值是
当 时，
此时点P的坐标为
（3）证明：设直线MN的解析式为y= hx，
联立得：
整理得：
∴一元二次方程： 有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为m、n，
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)先根据待定系数法，将点A(-3，0)，B(0，3)的坐标代入抛物线 得到关于a，c的方程组，再解方程组求出a=-1，c=3，最终确定抛物线的解析式；
(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3，再通过作PH∥y轴，设点P的横坐标为x，表示出PH=-x2-3x，接着将△ABP的面积转化为关于x的二次函数，并通过配方得到顶点式，从而求出当时面积最大值为，最后代入求出点P的纵坐标为，确定点P的坐标；
(3)先设过原点的直线MN的解析式为y=hx，与抛物线 联立消去y得到一元二次方程，再根据判别式Δ=(2+h)2+12>0确定方程有两个不相等的实数根m，n，最后根据韦达定理得出两根之积，证明mn为定值．
1 / 1四川省绵阳市盐亭县2026届中考第一次模拟监测数学试卷
1．在 0， - 2， - ，π四个数中，绝对值最小的数是(　　)
A．0 B．- 2 C． D．π
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，，.
∵0<2<3.14<3.16，
∴绝对值最小的数是0.
故答案为：A .
【分析】先根据绝对值的定义，分别求出0，-2，，π这四个数的绝对值；再比较这些绝对值的大小，从而找出绝对值最小的数．
2． ChatGPT 是人工智能研究实验室 OpenAI 新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达 175000000000 个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为(　　)
A． B． C．1750×108 D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：175000000000=1.75×1011
故答案为：D .
【分析】根据科学记数法的定义，将原数175000000000转化为a×10n的形式，其中a需满足1≤∣a∣<10，n为小数点移动的位数，最终得到科学记数法的结果1.75×1011．
3．下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
4．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
5．为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是
A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2.15，2.2 D．1.7，2.7
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数是，众数是．
故答案为：A ．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据众数和中位数的定义并结合题意即可求解．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、积的乘方，给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
B、同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
C、同底数幂乘除法，底数不变指数相减；
D、单项式乘多项式，用单项式和多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
7．一元二次方程 的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：在方程 中，a=1，b=-6，
由韦达定理，得.
故答案为：D .
【分析】先根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，确定方程 中系数a=1，b=-6的值；再根据韦达定理，将a，b的值代入两根之和公式进行计算，得出x1+x2=6．
8．如图，在坡角为α的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离AB=6米，则这两棵树的竖直距离 BC可表示为(　　)
A．6sinα米 B．米 C．6cosα米 D．米
【答案】A
【知识点】正弦的概念；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，AB=6米，
∴，
∴BC=AB×sinα=6sinα（米）.
故答案为：A .
【分析】先根据题意确定△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠BAC=α，AB=6米；再根据锐角三角函数中正弦的定义，将坡面距离AB作为斜边，竖直距离BC作为α角的对边，得到，代入公式对边斜边，从而得出BC=6sinα米．
9．已知一次函数 y=x+b的图象与反比例函数 在第二象限内的图象如图所示，则二次函数 的图象可能为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=x+b的图象经过一，二，三象限，且与y轴交于正半轴，
∴b>0．
∵反比例函数 的图象在第二象限，
∴k<0．
∵一次函数与反比例函数在x=-1处相交，
∴将x=-1代入两函数表达式得，整理得b+k=1．
∵二次函数为，其中二次项系数1>0，
∴抛物线开口向上．
∵对称轴为，且b>0，
∴对称轴在y轴右侧．
∵常数项为k-1，且k<0，
∴k-1<0，抛物线与y轴交于负半轴．当x=-1时，y=(-1)2-b(-1)+k-1=1+b+k-1=b+k，
又∵b+k=1，
∴x=-1时，y=1>0．
∴该函数开口向上，对称轴在右侧，与y轴交于负半轴，x=-1时函数值为正．
故答案为：D.
【分析】先根据一次函数y=x+b的图象过一，二，三象限，得出参数b>0；再根据反比例函数 的图象在第二象限，得出参数k<0；接着根据两函数在x=-1处相交，将x=-1代入两式，推导出b+k=1；然后根据二次函数的二次项系数1>0，判断其开口向上；再根据对称轴公式且b>0，判断对称轴在y轴右侧；又根据常数项k-1<0，判断抛物线与y轴交于负半轴；最后将x=-1代入二次函数，结合b+k=1得出x=-1时y=1>0，结合所有特征选出D．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于 A、B 两点，点 P 在线段 AO 上，⊙P与 x 轴交于 M、O两点，当⊙P 与该一次函数的图象相切时，AM 的长度是(　　)
A．3 B．4 C．2 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；切线的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：一次函数 ，
令y=0，则43-x+6=0，解得x=-8，故A(-8，0)，OA=8．
令x=0，则y=6，故B(0，6)，OB=6．
在Rt△AOB中，由勾股定理得，.
设⊙P的半径为r．
因为点P在线段AO上，且⊙P与x轴交于M，O两点，
所以圆心P在x轴上，且OP=r，则AP=OA-OP=8-r．
当⊙P与直线AB相切时，连接BP，过点P作PH⊥AB于点H，则PH=r．
在△APB中，
，
.
联立得3(8-r)=5r，解得r=3.
已知OA=8，圆的直径MO=2r=6，由图可知，点M在x轴负半轴上，点P在M与O之间，
所以AM=OA-MO=8-6=2.
故答案为：C .
【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点A，B，计算出OA=8，OB=6及斜边AB=10；再设圆的半径为r，根据圆与直线相切的性质，将圆心到直线的距离PH表示为半径r；最后利用三角形面积的两种不同表示方法和，建立方程3(8-r)=5r求出r=3，进而计算AM=2．
11．如图，在矩形ABCD 中， AB=2， BC=1，动点 P 从点 B 出发，沿路线 B-C-D做匀速运动，那么△ABP 的面积 y与点P 运动的路程x之间的函数图象大致为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数；一次函数图象、性质与系数的关系；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：分两段分析动点P的运动过程：
①当P在BC上运动时（0≤x≤1），
△ABP的底AB=2，高为P到AB的垂直距离，即BP=x．
根据三角形面积公式，得，
此时y是关于x的一次函数，y随x增大而增大，当x=1时，y=1．
②当P在CD上运动时（1P到AB的垂直距离始终等于BC=1，
因此，，
此时y为常数，函数图象为水平线段．
综上，函数图象分为两段，0≤x≤1时为斜率为1的上升线段，1故答案为：D．
【分析】先根据动点P的运动路线，分BC段和CD段分别分析△ABP的面积变化，即P在BC上时，高随运动路程x线性增大，面积y随x线性增大y=x；P在CD上时，高保持不变，面积y为定值1；最后结合两段的函数特征，即可得出函数图象．
12．如图，在正方形ABCD 中， E、F 分别为BC、CD 的中点，连接AE、BF 交于点G，将△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF，延长线 FP 交 BA 延长线于点 Q，下列结论正确的个数为(　　)
①∠AEB=∠BFC； ②GE2+GB2=BE2； ③∠QBF=∠QFB；④⑤S 四边形ECPG-S 四边形ECFG=S△BGE.
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；求余弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解： ①∠AEB=∠BFC：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°.
又E，F分别为BC，CD的中点，
∴BE=CF.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠AEB=∠BFC，①正确．
②GE2+GB2=BE2：
由△ABE≌△BCF，得∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BGE=180°-(∠CBF+∠AEB)=90°，即AE⊥BF.
在Rt△BGE中，由勾股定理得GE2+GB2=BE2，②正确．
③∠QBF=∠QFB：
由折叠性质，得△BCF≌△BPF，
∴∠BFC=∠BFP，CF=PF，BC=BP，∠BPF=∠C=90°，
∵CD∥AB，
∴∠BFC=∠ABF，即∠ABF=∠BFP，
∴QF=QB，
∴∠QBF=∠QFB， ③正确.
④：
令PF=k(k>0)，则PB=2k.
在Rt△BPQ中，设QB=x，根据勾股定理，得x2=(x-k)2+4k2，解得.
∴，， ④错误.
⑤S四边形ECPG-S四边形ECFG=S△BGE：
设正方形的边长为2a，则BC=2a，CF=a，
设PC交BF于H.
由折叠可知，BF是PC的垂直平分线，即BF⊥PC且PH=CH.
由②知，AE⊥BF，即GE⊥BF，
∴GE∥PC.
在△BPC中，E是BC的中点，且GE∥PC，
∴G是BH的中点，GE是△BCH的中位线.
∴CH=2GE，且S△BGE∽S△BCH，
∴BE∶BC=1∶2，面积比为1∶4.
∴S△BCH=4S△BGE.
∵H是PC的中点，BF⊥PC，
∴S△PHG=S△CHG.
又∵G是BH的中点，
∴S△PHG=S△PBG，S△CBG=S△CHG.
∴.
由相似比可知，S△BCF=5S△BGE，
∴，
∴.
同理，得.
∴S四边形ECPG-S四边形ECFG=S△BGE，⑤正确.
综上，①②③⑤正确.
故答案为：B .
【分析】利用正方形的性质和SAS判定，证明△ABE≌△BCF，得到 ∠AEB=∠BFC ，证明①正确；由全等三角形的性质和直角三角形互余推出∠BGE=90°，从而证明AE⊥BF，在Rt△BGE中应用勾股定理，推出 GE2+GB2=BE2，证明②正确；利用折叠的性质和平行线的内错角相等，推出∠ABF=∠BFP，从而证明QF=QB，得到∠QBF=∠QFB，证明③正确；通过设参数PF=k，PB=2k，在Rt△BPQ中利用勾股定理求出边长，进而计算余弦值， 证明④错误；通过相似三角形S△BGE∽S△BCH，中位线性质CH=2GE和面积比S△BCH=4S△BGE，推导出两个四边形的面积差，，从而证明S四边形ECPG-S四边形ECFG=S△BGE，证明⑤正确；最后得出①②③⑤正确.
13．把多项式 分解因式的结果是　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先提取各项的公因式2a，将原式化为2a(4y2-1)；再判断括号内的4y2-1符合平方差公式的形式，继续分解为(2y+1)(2y-1)，即可完成因式分解．
14．如图，已知△ABC 中， AB=AC， AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D， AE 是∠BAC 的外角∠FAC 的平分线， ED∥AB 交 AC于点 G.下列结论： ①AE=AG； ②△ADG 是等腰三角形； ③上述结论中，所有正确结论的序号是　 　.
【答案】②③
【知识点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
∵AE平分∠FAC，∠FAC=180°-∠BAC，
∴．
∴，即AD⊥AE．
∵ED∥AB，
∴∠BAD=∠ADG，又∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADG，即AG=DG．
∴AE与AG无直接相等关系，故①错误．
∵ED∥AB，
∴∠BAD=∠ADG．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠CAD=∠ADG，即AG=DG，
∴△ADG是等腰三角形，故②正确．
∵AD⊥AE，ED∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD=DC．
∵∠DAE=90°，在Rt△ADE中，AG=DG且AG=EG，
∴G是DE的中点，
∴，故③正确．
综上，正确结论的序号是②③．
故答案为：②③ .
【分析】先根据等腰三角形“三线合一”和角平分线的定义，推出AD⊥AE，再利用平行线的性质得出∠BAD=∠ADG，进而利用角的等量代换得到AE=AG ，最后判断 ① 错误；
先利用平行线的性质和平分线的性质，分别得出∠BAD=∠ADG和∠BAD=∠CAD，再利用角的等量代换得到∠CAD=∠ADG，进而推出AG=DG，△ADG为等腰三角形，最后判断②正确；
先判断四边形ABDE是平行四边形，得出AE=BD=DC；再结合直角三角形斜边中线的性质，证明，最后判断③正确．
15．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴上， △OAB是边长为4的等边三角形，已知点C(-8， 0)， D (2， 0)，点 P 是线段 CD 上一点，连接 BP，将线段 BP 绕点 B 逆时针旋转60°得到线段 BQ，连接AQ.在点 P 从点 C 运动到点 D 的过程中，线段 AQ 扫过的面积为　 　.
【答案】10
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△OAB是边长为4的等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°．
∵线段BP绕点B逆时针旋转60°得到BQ，
∴BP=BQ，∠PBQ=60°．
∵∠OBA=60°，即∠OBP+∠ABP=60°，且∠ABQ+∠ABP=60°，
∴∠OBP=∠ABQ．
在△OBP和△ABQ中，
∴△OBP≌△ABQ(SAS)，
∴∠OBP=∠ABQ，OP=AQ．
当P在C(-8，0)时，OP=8，此时AQ=8；
当P在D(2，0)时，OP=2，此时AQ=2．
∵如图，P在CD上运动时，AQ的轨迹为一条线段，扫过的图形为平行四边形，其底为CD=2-(-8)=10，高为点B到x轴的距离．
∴扫过的面积为
故答案为：10 .
【分析】由等边三角形和旋转的性质，证明△OBP≌△ABQ，得到OP=AQ，∠OBP=∠ABQ，即AQ的长度与P的位置同步变化，轨迹为线段；P从C运动到D，对应Q从一个位置运动到另一个位置，AQ扫过的图形为平行四边形（或由两个全等三角形组成的平行四边形）；以CD为底，点B到x轴的高为高，即并利用正弦函数求出高，并计算平行四边形面积．
16．若关于 x 的一元一次不等式组 有解且最多有 3 个整数解，且使关于 y 的分式方程 有整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是　 　.
【答案】12
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，解得，即.
∵ 不等式组有解且最多有 3 个整数解，
∴不等式组的解集只能为0，1，2.
∴.
又∵ 不等式组有解，
∴3a+1 > 1，即 a> 4，
∴ 1<3a+1 <3.
∴ 4解 ，得.
∵ 分式方程有整数解，且 y≠1，
∴为整数，且（即 a≠ 2）.
∵ 4∴a必为偶数，
∴满足条件的a为0，2，4，6.
∴所有满足条件的整数a的值之和为0+2+4+6=12.
故答案为：12 .
【分析】先根据不等式的性质解不等式组，得到；再根据“有解且最多3个整数解”，确定a的取值范围为 417．如图，等边△ABC中， BD⊥AC于 D， QD=1.5，点 P、Q分别为 AB、AD 上的两个定点且 BP=AQ=2，在 BD 上有一动点 E 使PE+QE 最短，则 PE+QE 的最小值为　 　.
【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴AD=DC．
∵AQ=2，QD=1.5，
∴AD=AQ+QD=2+1.5=3.5，
∴AC=2AD=7，即等边△ABC的边长为7．
作点P关于BD的对称点P'，连接P'Q交BD于点E，则BP=BP'=2．连接PE，则PE=P'E.
∴PE+QE=P'E+QE．
∴当P'，E，Q三点共线时，P'E+QE取得最小值，即线段P'Q的长度．
∵BP=BP'=2，AB=BC=AC=7，
∴CP'=BC-BP'=7-2=5，CQ=AC-AQ=7-2=5，即CP'=CQ.
∵在等边△ABC中，∠C=60°，
∴△CP'Q是等边三角形，
∴P'Q=CQ=CP'=5，即PE+QE的最小值为5.
故答案为：5 .
【分析】先利用等边三角形“三线合一”的性质，结合已知线段，求出边长AC=7；再作点P关于BD的对称点P'，将折线PE+QE的最小值问题转化为求线段P'Q的长度；接着通过计算得CP'=CQ，结合∠C=60°，判定△CP'Q为等边三角形，从而求得线段P'Q的长度，即PE+QE的最小值为5．
18．如图，已知在四边形ABCD 中， ∠ADC=90°， AB=AD，点 E、F分别在线段 CD、AD上.如果 那么 cot∠ABD=　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B作BG⊥AD于G，交AE于点H．
∵BG⊥AD，AE⊥BF，
∴∠BGA=∠BOA=90°，
∴∠GBF+∠BFG=90°，∠EAG+∠AEG=90°．
又∵∠BFG=∠AEG，
∴∠GBF=∠DAE．
又∵∠BGF=∠ADE=90°，
∴△BGF∽△ADE．
∴，
∵，
∴.
设BG=2t，则AD=3t．
∵AB=AD，
∴AB=3t．
在Rt△ABG中，由勾股定理，得，
∴．
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB．
在Rt△BDG中，，
∴．
故答案为： .
【分析】先过B作BG⊥AD，利用垂直条件和同角的余角相等，证明△BGF∽△ADE，得到；再设参数表示边长BG=2t，利用勾股定理计算和；最后利用等腰三角形性质，将cot∠ABD转化为cot∠ADB，在直角三角形中求了．
19．
（1）计算：
（2）先化简： 再从 0≤x≤4 中选一个适合的整数代入求值.
【答案】（1）解：
（2）解：
分式有意义需满足1-a≠0，a-1≠0，a+2≠0，即a≠1且a≠-2．
∵ 0≤x≤4，
∴a=0，2，3，4.
当a=0时，．
（也可代入a=2，得1；代入a=3，得；代入a=4，得，均符合要求）
【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】 (1)运用立方根，零指数幂，负指数幂，特殊角三角函数，绝对值的计算规则，逐项化简后再合并同类项即可；
(2)先通过通分，因式分解，约分等步骤化简分式得到，再根据分式有意义的条件筛选合适的整数（a=0，2，3，4）代入计算即可．
20．为了启发学生的阅读自觉性，培养学生的学习毅力，学校决定开展“读书月”活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成五类：艺术、文学、科普、传记、其他.根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图(每位同学必选且只选最喜欢的一类)，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1） 这次调查的学生共有　 　名，喜欢“文学”类的学生有　 　名；
（2） 在扇形统计图中“科普”类所对应的圆心角的度数是　 　°，“其他”类所对应的百分比是　 　；
（3） 如果要在这五类图书中任选两类进行调查，恰好选到学生最喜欢的“文学”与“科普”的两类图书的概率是　 　.
【答案】（1）300；75
（2）90；16%
（3）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；概率的简单应用
【解析】【解答】解： (1)∵艺术类人数为45名，占比15%，
∴调查的学生总数为45÷15%=300（名）．
∵文学类占比25%，
∴喜欢“文学”类的学生数为300×25%=75（名）．
故答案为：300；75.
(2)∵科普类人数为75名，
∴科普类占比为75÷300=25%，
∴圆心角的度数为360°×25%=90°．
∵其他类人数为48名，
∴其他类百分比为48÷300×100%=16%．
故答案为：90；16%.
(3) ∵从五类图书中任选两类，总的基本事件数10种，恰好选到“文学”与“科普”的情况只有1种，
∴概率为．
【分析】(1)利用“艺术”类的人数和占比，求出调查的总人数45÷15%=300名，再结合“文学”类的占比求出其人数300×25%=75名；
(2)先根据“科普”类的人数和总人数求出占比75÷300=25%，再用占比乘360°得到圆心角360°×25%=90°；同理，用“其他”类的人数除以总人数得到百分比48÷300×100%=16%；
(3) 用组合数计算从五类中选两类的总情况数10种，再结合目标情况数1种，求出概率．
21．某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品.现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套.已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3 套扫把簸箕套装共需 26 元.某商店提供以下两种优惠方案：方案 1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过 400 元的按原价付费，超过400元的部分打6折.
（1） 求毛巾和扫把簸箕套装的单价；
（2） 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少
【答案】（1）解：设毛巾的单价是x元，扫把簸箕套装的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元
（2）解：设学校应购进m套扫把簸箕套装，则购进3m条毛巾，按方案1购买时，
根据题意得：
解得： m=50，
∴3m=3×50=150 (条)；
按方案2购买时，
∵该不等式组无解，
∴不能按方案2购买.
答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】 (1)根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，列二元一次方程组求解，得到两种商品的单价；
(2)设扫把簸箕套装数量为m，则毛巾数量为3m，分别按两种优惠方案列不等式组和，结合“总费用不超过480元”和“扫把簸箕套装不少于50套”的条件，筛选出可行方案1．
22．如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F．
（1）求证：EF＝ED；
（2）若AB＝2，，BF的长度为 　 　 ；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【答案】（1）证明：过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠BAD＝∠DAC＝45°，AD∥BC，
∴EN⊥BC，
∴四边形ABNM，四边形CDMN和四边形AMEH都是矩形，
∴∠FNE＝∠EMD＝90°，MN＝AB＝AD，AM＝BN，
∴∠1+∠2＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
∵EM⊥AD，∠DAC＝45°，
∴△AME是等腰直角三角形，
∴AM＝EM，
∵MN＝AD，
∴EM+EN＝DM+AM，
∴EN＝DM，
在△ENF和△DME中，
，
∴△ENF≌△DME（AAS），
∴EF＝ED；
（2）2
（3）解：∠EFC的度数是120°或30°
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定；正方形的性质；三角形的外角和
【解析】【解答】（2）解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝2，
∴AD＝AB＝2，
设AM＝EM＝BN＝a，
∴DM＝AD﹣AM＝2﹣a，
在△DME中，由勾股定理得：EM2+DM2＝DE2，
∴，
整理得：a2﹣2a+1＝0，
解得：a＝1，
∴AM＝EM＝BN＝a＝1，
∵△ENF≌△DME，
∴FN＝EM＝1，
∴BF＝BN+FN＝2，
故答案为：2；
（3）∵点E为对角线AC上一点，
∴线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，有以下两种情况：
①当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°，如图3①所示：
∴∠EDC＝∠CDA﹣∠ADE＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
在四边形DEFC中，∠EFC+∠BCD+∠EDC+∠DEF＝360°，
∴∠EFC+90°+60°+90°＝360°，
∴∠EFC＝120°；
②当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，如图3②所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA＝∠BCA＝45°，
在△CDE中，∠CED＝180°﹣（∠CDE+∠DCA）＝180°﹣（30°+45°）＝105°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝105°﹣90°＝15°，
∵∠BCA是△CEF的外角，
∴∠BCA＝∠CEF+∠EFC，
∴45°＝15°+∠EFC，
∴∠EFC＝30°，
综上所述：∠EFC的度数是120°或30°；
故答案为：∠EFC的度数是120°或30°.
【分析】（1）过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，如图1所示，根据正方形的性质可证明得到四边形ABNM，四边形CDMN和四边形AMEH都是矩形，再由等角的余角相等可得∠3＝∠2，即可得到△AME是等腰直角三角形，结合线段的和差利用AAS证明△ENF≌△DME，再利用全等三角形的性质即可解答；
(2)设AM＝EM＝BN＝a，根据正方形的性质和勾股定理计算得到a=1；再结合全等的性质利用线段的和差运算即可解答；
(3)由题干信息线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°，分两种情况：当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°；当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，分别计算即可解答.
23．定义：点 M (m，n)关于原点的对称点为M'，以 MM'为边作等边△MM'N，则称点 N 为M 的“完美三角点”.
（1）若 M (2， 3)，求点 M 的“完美三角点”的坐标.
（2）若 M 点是双曲线 上一动点，当点 M的“完美三角点”点N在第四象限时，
①如图1，请问点 N是否也会在某一函数图象上运动 如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由.
②如图2，已知点 A(1，3)，B(2， )，点C是线段 AB上的动点，点 F在 y轴上，若以A、C、F、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点 N的纵坐标 yn的取值范围.
【答案】（1）解：∵M (2， 3)，
依据“完美三角点”的定义得：点 M 关于原点的对称点为M'(-2，-3)，
由题意得：△MM'N是等边三角形，
设N(m，n)，则MN=M'N=2
整理得：
整理得：
解得：
当 时，得：
当 时，得：
∴点N的坐标是 或
（2）解：①点 N在某一函数图象上运动；理由如下，
设 则点M关于原点的对称点为
设N(s，t)，则
整理得：
解得：
∴点 N 在第四象限， t<0，
∴此函数的解析式为
②以A、C、F、N这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：
当 AC 为平行四边形的边时，C与 B 重合时，
通过平移可求得 N 的横坐标为1，
∵xy=-9，
∴y=-9，
∴这一临界点通过平移可求得 N (1，-9)，
当AC 为平行四边形的对角线时，C与 B 重合时，
通过平移可求得 N 的横坐标为3，
∵xy=-9，
∴y=-3，
∴这一临界点通过平移可求得 N (3，-3)，
当C与A重合时，同理可得
综上所述： 或
【知识点】反比例函数图象的对称性；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】 (1)利用原点对称点公式(-m，-n)求M'(-2，-3)，再由等边三角形MN=M'N列方程并化简得到，通过距离公式求解N的坐标或 ；
(2) ①设双曲线M点坐标，重复对称与等边性质的推导，消去参数c，得到N(s，t)的函数关系，最后得到此函数的解析式为 ；
②结合平行四边形对边平行且相等的平移性质，分三种情况讨论N的横坐标，分别得到N (1，-9)，N (3，-3)，，再分别代入反比例函数，求纵坐标范围分别为，，．
24．四边形 ABCD是⊙O 的内接四边形， AC是对角线， CA平分∠BCD.
（1）如图1，求证： AB=AD；
（2） 如图2，点E 在线段 CD上，连接AE， AB=AE，连接BE， ∠BED=135°，求证： BC⊥CD；
（3）如图3，在(2)的条件下，作 BH⊥AB 交⊙O 于点 H，交线段 AC 于点F，连接CH，请你探究线段DE、线段CH的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵CA 平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
∴AB=AD
（2）解：∵AB=AE，
∴可设∠ABE=∠AEB=α，由条件可知
∵AB=AD，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=135°-α，
∴∠DAE=180°-2 (135°-α) =2α-90°，
∴∠DAB=∠DAE+∠EAB
=180°-2α+2α-90°
=90°，
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=90°，
∴BC⊥CD
（3）解：连接DH，延长AC使CH=CK，连接HK， BK，由条件可知∠BHD=∠BCD=90°，
∵BH⊥AB，
∴∠ABH=90°，
∴∠BAD=∠BHD=90°，
∴四边形 ABHD 是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABHD 是正方形.
∴AD=BH=AB=DH，
∴∠ACB=∠DCH=∠ACD，
又∵∠ACB= ∠BCD=45°，
∴∠DCH=∠ACD=45°，
∴∠BCH=135°，
∠HCK=90°，
∴∠BCK=135°，
∴∠BCK=∠BCH，
在△BCH 和△BCK 中，
∴△BCH≌△BCK (SAS)，
∴∠CBK=∠CBH，
BH=BK，
∴∠HBK=2∠CBH，
又∵HC=HC
∴∠CDH=∠CBH，
∴∠ADE=90°-∠CDH，
∴∠DAE=2∠CDH，
∴∠DAE=∠HBK，
在△ADE 和△BHK中，
∴△ADE≌△BHK (SAS)，
∴DE=HK，
又∴HK2=CH2+HK2，
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)先根据角平分线定义得到∠ACB=∠ACD，再根据圆周角定理推出，最后根据同圆中弧弦相等的关系得出AB=AD；
(2)先根据等腰三角形性质设∠ABE=∠AEB=α，结合已知角度表示出∠BAE与∠AED，再根据AB=AD及AB=AE推出AE=AD并计算出∠DAB=90°，最后根据圆内接四边形对角互补的性质得到∠BCD=90°，从而证明BC⊥CD；
(3)先根据BH⊥AB，∠BAD=90°及AB=AD证明四边形ABHD是正方形，得到AD=BH等等量关系，再根据角度计算证明△BCH △BCK，得到AE=BK与∠DAE=∠HBK，接着根据这些等量关系证明△ADE≌△BHK得到DE=HK，最后根据等腰直角三角形的勾股定理推导出．
25．综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 A (-3，0)和点C，与y轴交于点B (0，3)，点P 是抛物线上点A 与点C之间的动点(不包括点A，点C).
（1）求抛物线的解析式；
（2） 如图1，动点 P在抛物线上，且在直线AB上方，求 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
（3） 如图2，过原点O作直线l交抛物线于 M、N两点，点M 的横坐标为m，点 N 的横坐标为n.求证： mn是一个定值.
【答案】（1）解：抛物线 与x轴交于点A (-3， 0)和点 C，与y轴交于点 B (0，3)，将点A 和点B的坐标分别代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图1，过点 P作PH∥y轴，交AB于点 H，
设直线AB的解析式为y=kx+b，把点和点B的坐标分别代入得
解得：
∴直线AB的解析式为y=x+3，
点 P 是抛物线上点 A 与点 C 之间的动点(不包括点 A，点 C)，设点 P 的横坐标为x，则点 P 的纵坐标为
∴点H 的横坐标为x，点 H 的纵坐标为x+3，
整理得：
∴可知当 时，△APB的面积有最大值，最大值是
当 时，
此时点P的坐标为
（3）证明：设直线MN的解析式为y= hx，
联立得：
整理得：
∴一元二次方程： 有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为m、n，
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)先根据待定系数法，将点A(-3，0)，B(0，3)的坐标代入抛物线 得到关于a，c的方程组，再解方程组求出a=-1，c=3，最终确定抛物线的解析式；
(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3，再通过作PH∥y轴，设点P的横坐标为x，表示出PH=-x2-3x，接着将△ABP的面积转化为关于x的二次函数，并通过配方得到顶点式，从而求出当时面积最大值为，最后代入求出点P的纵坐标为，确定点P的坐标；
(3)先设过原点的直线MN的解析式为y=hx，与抛物线 联立消去y得到一元二次方程，再根据判别式Δ=(2+h)2+12>0确定方程有两个不相等的实数根m，n，最后根据韦达定理得出两根之积，证明mn为定值．
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