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浙江大学附属中学2025-2026学年下学期期中教学质量检测八年级数学试题
1．以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．二次根式中字母x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
7．某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知 a，b是方程 的两根，则 的值为(　　)
A．1 B．-5 C．7 D．13
9．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．3.5
10．如图，线段，点是线段上的动点，分别以为边在作等边、等边，连接，点是的中点，当点从点A运动到点时，点经过的路径的长是（　　）
A．3 B．2.8 C．2.5 D．2
11．化为最简二次根式： 　 　，　 　.
12．一个多边形的内角和是，则这个多边形是　 　边形．
13．在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为　 　．
14．已知关于 x的方程 的一个根是 x=m，则 　 　.
15．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是　 　．
16．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为　 　．
17．计算：
（1）
（2）
18．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
19．对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，．
（1）求关于x的一元二次方程的解；
（2）若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围．
20．如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画出图形．
（1）在图中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，，；
（2）求题（1）中三角形的边长为的边上的高线的长．
22．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
23．随着气温的降低，乌市某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．设每台降价元，则：
（1）每天可销售　 　台，每台盈利　 　元（用含的式子表示）
（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？
（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由
24．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求点C的坐标___；以及平行四边形的面积．
（2）动点P从点O出发，沿方向以1个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿方向以2个单位/秒的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动的时间为t秒（），则当t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？
（3）当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该此选项中人工智能大模型的图标是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：已知二次根式有意义，
因此可得不等式，
解这个不等式，最终得到．
故选：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据配方法可得：，
，
∴；
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时加上4，然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，故A正确，C错误；
，故B、D错误；
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的性质：，由此可求解.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，∴A不符合题意；
B、，，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形是平行四边形，∴B不符合题意；
C、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，∴C符合题意；
D、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：
该方程为一元二次方程，
二次项系数满足，
综上可得，且．
故选：D．
【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式的性质，解题时需要先根据一元二次方程的定义得到二次项系数的限制条件，再结合根的判别式计算得到a的取值范围即可．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设每年人均可支配收入的增长率都为，
根据题意可得：，
故答案为：B.
【分析】每年人均可支配收入的增长率都为，根据“某县年人均可支配收入为万元，年达到万元”列出方程即可。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：a+b=-1，ab=-3，
故答案为：C .
【分析】由根与系数的关系可得(a+b=-1，ab=-3，再将 变形，整体代入计算即可.
9．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
结合两个等式可推出：，
根据等角对等边可得：；
按照同样的推导思路可得：，
由此可得，
∵已知，
因此计算得，
所以．
故选：A．
【分析】先结合平行四边形的性质，推导出、，由此进一步计算出和的长度，最终即可得到所求线段的长度，得出答案.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长交于点，可得是等边三角形，
因此，
已知和都是等边三角形，
可得
结合，
根据同位角相等，两直线平行，可得
因此四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可得与互相平分.
因为M是的中点，所以M也是PH的中点，即点P运动过程中，M始终是PH的中点.
由此可得M的运动轨迹是的中位线，
根据三角形中位线定理，，因此点M移动路径的长度为3.
故选：A．
【分析】先分别延长，让两条延长线交于点，可以很容易证明四边形是平行四边形，由此可以得到点G是的中点，因此点G的运动轨迹就是三角形的中位线，最终我们利用三角形中位线的性质计算出的长度，就可以得到本题答案.
11．【答案】2；
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：
解：①
故答案为：
②
故答案为：
【分析】①根据二次根式性质化简即可；
②根据二次根式性质化简解答即可.
12．【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，
解得，
∴这个多边形是八边形．
故答案为：八．
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知点和点关于原点中心对称，
由关于原点中心对称点的坐标性质可得，，
将数值代入得．
也就是的值是1．
故填：1．
【分析】本题的考点是关于原点对称的点的坐标特征，核心结论是：若两点关于原点中心对称，那么两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，熟记该性质是解题的关键．
先利用关于原点成中心对称点的坐标规律，求出，，再代入计算出结果即可．
14．【答案】4052
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由条件可知： 整理得
故答案为： 4052.【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 26，将所求代数式变形后整体代入计算，即可求解.
15．【答案】18．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】已知在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，因此FP是△CDB的中位线，PE是△DAB的中位线。根据三角形中位线定理可得：PF=BC，PE=AD。题目给出条件AD=BC，因此可得PF=PE，即△EPF是等腰三角形。已知∠PEF=18°，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠PEF=∠PFE=18°，因此答案为18.
故填：18.【分析】本题可利用三角形中位线定理推导出△EPF两条边的长度关系，再结合等腰三角形的性质求解角度，解题核心是掌握三角形中位线定理以及等腰三角形的性质.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；图形的剪拼；一元二次方程的应用-几何问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，标记各点，
由题意可知，面积为4的等腰三角形纸片剪成四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，
所以正方形的面积为4，
因此可得正方形的边长为2，
由图形可知，，，，
，，
等腰三角形，
，
设，，
，
，
解得：或（舍），
，
即该等腰三角形的底边长为．
故填：.
【分析】大正方形的面积为4，根据面积与边长的关系可得大正方形的边长为2，结合图形中的线段关系可以推出，，再结合等腰三角形三线合一的性质，即可得到。设，，再根据三角形的面积公式列出方程，即可完成求解.
17．【答案】（1）解： 原式
=12；

（2）解：原式：

【知识点】二次根式的乘法
【解析】【分析】(1)根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
(2)根据二次根式的乘法公式运算法则计算即可.
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
解得：，
（2）解：，
，
，
，
则或，
解得：，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法：
（1）运用配方法求解，步骤为移项、配方、开方，最终得到方程的两个根；
（2）先移项将方程化为平方差的形式，再利用平方差公式因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，即可得到原方程的解.
（1）解：，
，
，
，
，
解得：，；
（2）解：，
，
，
，
则或，
解得：，．
19．【答案】（1）解：根据定义的新运算，由可得：
，
整理得，
因式分解得，
因此可得或，
解得
（2）解：由新运算的定义，由可得：
，
去括号得，
整理为一般式得，
因为该方程是关于x的一元二次方程，且没有实数根，
因此可得不等式组
解得．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）按照题目给出的新运算规则，列出关于x的方程，再求解方程即可得到结果；
（2）先根据新运算规则整理得到一元二次方程，再结合"一元二次方程无实数根"的条件，利用一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式组，求解即可得到k的取值范围．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
∴．
20．【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，
所以，且，
又因为已知，
根据平行四边形的判定定理，可得四边形是平行四边形，
由平行四边形的对边相等，可得，
结合，根据等式性质，可得，即.
（2）解：因为四边形是平行四边形，
根据平行四边形对角相等的性质，可得，
在中，根据三角形内角和为180°，可得．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先由平行四边形的性质得到且，结合已知的，判定四边形是平行四边形，再由平行四边形性质得到，最后通过线段的和差关系推出结论；
（2）先由平行四边形对角相等得到，再直接利用三角形内角和定理计算即可求出∠DCE的度数．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，．
21．【答案】（1）解：按照要求作图，结果如下图所示，即为所作的三角形：

（2）解：由（1）中的作图可得，的面积为：
设AB边上的高为h，根据三角形面积公式可得
先由勾股定理计算得AB=，代入面积公式得：
整理计算得，即边长为的边上的高线长为
【知识点】分母有理化；三角形的面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）结合网格结构的特点，利用勾股定理确定三角形各顶点位置，即可完成作图；
（2）先求出的面积，再结合勾股定理得到边长的长度，最后利用三角形面积公式即可求出该边上高线的长度.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）可知，，
设边上的高为h，则，
∴，
∴，
∴边长为的边上的高线的长为．
22．【答案】（1）证明：
平分
是的中点
在和中：
因此四边形是平行四边形．
（2）解：已知CE平分∠ACB，因此可得：
，
又因为公共边，且题干已知，
因此根据SAS判定可得，
由全等三角形的性质可得，
根据等边对等角可得．
结合直角三角形两锐角互余可得：，
，
根据等角的余角相等，可得，
再根据等角对等边，可得．
已知四边形是平行四边形，
根据平行四边形对边相等的性质，可得．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）依据平行四边形的判定定理来完成相关证明；
（2）结合平行四边形的性质来求解对应的问题.
（1）证明：，，
．
，
，
．
平分，
，
．
为边的中点，
．
在和中，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：平分，
，
，，
，
，
．
，
，
，
．
四边形是平行四边形，
．
23．【答案】（1）；
（2）解：设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽快减少库存，
．
答：每台空气加湿器应降价20元．
（3）解：不能，理由如下：
设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
该商场平均每天盈利不能达到2500元．
【知识点】用字母表示数；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：每天可销售的数量为：30+2x（台）；每台盈利：50-x（元），
故答案为：；.
【分析】（1）根据“ 每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台 ”可求出每天销售数量，利用“利润=售价-成本”可得每天的利润；
（2）设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，根据“每天要盈利2100元”列出方程，再求解即可；
（3）设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，根据“每天盈利能达到2500元”列出方程，再求解即可.
24．【答案】（1）解：因为四边形是平行四边形，
所以AO=BC=14，BC∥OA，
已知点坐标为，点坐标为，原点，
由此可得点的坐标为，平行四边形OABC的面积为
（2）解：由题意可得： ，
所以，
即： ，
所以 ，
解公式得到：.
即当点t为4秒时，的面积是平行四边形的一半；
（3）或或
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）解：当时，结合（2）的结论可知此时点和点重合，对应的图形如下图所示：
此时轴，轴，计算可得，
根据平行四边形对边相等的性质，可得
因此计算各点坐标：
化简得
化简得
化简得
综上可得，点的坐标为或或.
【分析】（1）结合平行四边形的性质和平面直角坐标系的特点，可以直接得到点的坐标；平行四边形的对称中心，就是它对角线的中点，据此计算即可；
（2）利用面积差得到，结合题意要求，再借助三角形面积公式列出方程，求解就能得到符合要求的的值；
（3）将（2）中求出的值代入，确定此时点和点的坐标，再根据平行四边形的性质，即可直接写出点的所有可能坐标.
（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
∵点的坐标为， 点的坐标为，；
∴点的坐标为，；
（2）解：根据题意得： ，
∴，
即： ，
∴ ，
解得：.
即当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半；
（3）当时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，
此时轴，轴，，，
根据平行四边形的性质，可知 ，
即；即： 即：
故答案为：点的坐标为或或．
1 / 1浙江大学附属中学2025-2026学年下学期期中教学质量检测八年级数学试题
1．以下是四款常见的人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该此选项中人工智能大模型的图标是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、 该此选项中人工智能大模型的图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．二次根式中字母x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：已知二次根式有意义，
因此可得不等式，
解这个不等式，最终得到．
故选：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数.
3．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据配方法可得：，
，
∴；
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时加上4，然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，故A正确，C错误；
，故B、D错误；
故答案为：A.
【分析】利用二次根式的性质：，由此可求解.
5．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，∴A不符合题意；
B、，，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形是平行四边形，∴B不符合题意；
C、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，∴C符合题意；
D、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
6．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：
该方程为一元二次方程，
二次项系数满足，
综上可得，且．
故选：D．
【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式的性质，解题时需要先根据一元二次方程的定义得到二次项系数的限制条件，再结合根的判别式计算得到a的取值范围即可．
7．某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设每年人均可支配收入的增长率都为，
根据题意可得：，
故答案为：B.
【分析】每年人均可支配收入的增长率都为，根据“某县年人均可支配收入为万元，年达到万元”列出方程即可。
8．已知 a，b是方程 的两根，则 的值为(　　)
A．1 B．-5 C．7 D．13
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：a+b=-1，ab=-3，
故答案为：C .
【分析】由根与系数的关系可得(a+b=-1，ab=-3，再将 变形，整体代入计算即可.
9．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长是（　　）
A．2 B．1 C．3 D．3.5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵平分，
∴，
结合两个等式可推出：，
根据等角对等边可得：；
按照同样的推导思路可得：，
由此可得，
∵已知，
因此计算得，
所以．
故选：A．
【分析】先结合平行四边形的性质，推导出、，由此进一步计算出和的长度，最终即可得到所求线段的长度，得出答案.
10．如图，线段，点是线段上的动点，分别以为边在作等边、等边，连接，点是的中点，当点从点A运动到点时，点经过的路径的长是（　　）
A．3 B．2.8 C．2.5 D．2
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长交于点，可得是等边三角形，
因此，
已知和都是等边三角形，
可得
结合，
根据同位角相等，两直线平行，可得
因此四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可得与互相平分.
因为M是的中点，所以M也是PH的中点，即点P运动过程中，M始终是PH的中点.
由此可得M的运动轨迹是的中位线，
根据三角形中位线定理，，因此点M移动路径的长度为3.
故选：A．
【分析】先分别延长，让两条延长线交于点，可以很容易证明四边形是平行四边形，由此可以得到点G是的中点，因此点G的运动轨迹就是三角形的中位线，最终我们利用三角形中位线的性质计算出的长度，就可以得到本题答案.
11．化为最简二次根式： 　 　，　 　.
【答案】2；
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】解：
解：①
故答案为：
②
故答案为：
【分析】①根据二次根式性质化简即可；
②根据二次根式性质化简解答即可.
12．一个多边形的内角和是，则这个多边形是　 　边形．
【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，
解得，
∴这个多边形是八边形．
故答案为：八．
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
13．在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知点和点关于原点中心对称，
由关于原点中心对称点的坐标性质可得，，
将数值代入得．
也就是的值是1．
故填：1．
【分析】本题的考点是关于原点对称的点的坐标特征，核心结论是：若两点关于原点中心对称，那么两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，熟记该性质是解题的关键．
先利用关于原点成中心对称点的坐标规律，求出，，再代入计算出结果即可．
14．已知关于 x的方程 的一个根是 x=m，则 　 　.
【答案】4052
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由条件可知： 整理得
故答案为： 4052.【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 26，将所求代数式变形后整体代入计算，即可求解.
15．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是　 　．
【答案】18．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】已知在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，因此FP是△CDB的中位线，PE是△DAB的中位线。根据三角形中位线定理可得：PF=BC，PE=AD。题目给出条件AD=BC，因此可得PF=PE，即△EPF是等腰三角形。已知∠PEF=18°，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠PEF=∠PFE=18°，因此答案为18.
故填：18.【分析】本题可利用三角形中位线定理推导出△EPF两条边的长度关系，再结合等腰三角形的性质求解角度，解题核心是掌握三角形中位线定理以及等腰三角形的性质.
16．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；图形的剪拼；一元二次方程的应用-几何问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，标记各点，
由题意可知，面积为4的等腰三角形纸片剪成四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，
所以正方形的面积为4，
因此可得正方形的边长为2，
由图形可知，，，，
，，
等腰三角形，
，
设，，
，
，
解得：或（舍），
，
即该等腰三角形的底边长为．
故填：.
【分析】大正方形的面积为4，根据面积与边长的关系可得大正方形的边长为2，结合图形中的线段关系可以推出，，再结合等腰三角形三线合一的性质，即可得到。设，，再根据三角形的面积公式列出方程，即可完成求解.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解： 原式
=12；

（2）解：原式：

【知识点】二次根式的乘法
【解析】【分析】(1)根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
(2)根据二次根式的乘法公式运算法则计算即可.
18．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
解得：，
（2）解：，
，
，
，
则或，
解得：，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法：
（1）运用配方法求解，步骤为移项、配方、开方，最终得到方程的两个根；
（2）先移项将方程化为平方差的形式，再利用平方差公式因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，即可得到原方程的解.
（1）解：，
，
，
，
，
解得：，；
（2）解：，
，
，
，
则或，
解得：，．
19．对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，．
（1）求关于x的一元二次方程的解；
（2）若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）解：根据定义的新运算，由可得：
，
整理得，
因式分解得，
因此可得或，
解得
（2）解：由新运算的定义，由可得：
，
去括号得，
整理为一般式得，
因为该方程是关于x的一元二次方程，且没有实数根，
因此可得不等式组
解得．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）按照题目给出的新运算规则，列出关于x的方程，再求解方程即可得到结果；
（2）先根据新运算规则整理得到一元二次方程，再结合"一元二次方程无实数根"的条件，利用一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式组，求解即可得到k的取值范围．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
∴．
20．如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，
所以，且，
又因为已知，
根据平行四边形的判定定理，可得四边形是平行四边形，
由平行四边形的对边相等，可得，
结合，根据等式性质，可得，即.
（2）解：因为四边形是平行四边形，
根据平行四边形对角相等的性质，可得，
在中，根据三角形内角和为180°，可得．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先由平行四边形的性质得到且，结合已知的，判定四边形是平行四边形，再由平行四边形性质得到，最后通过线段的和差关系推出结论；
（2）先由平行四边形对角相等得到，再直接利用三角形内角和定理计算即可求出∠DCE的度数．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画出图形．
（1）在图中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，，；
（2）求题（1）中三角形的边长为的边上的高线的长．
【答案】（1）解：按照要求作图，结果如下图所示，即为所作的三角形：

（2）解：由（1）中的作图可得，的面积为：
设AB边上的高为h，根据三角形面积公式可得
先由勾股定理计算得AB=，代入面积公式得：
整理计算得，即边长为的边上的高线长为
【知识点】分母有理化；三角形的面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）结合网格结构的特点，利用勾股定理确定三角形各顶点位置，即可完成作图；
（2）先求出的面积，再结合勾股定理得到边长的长度，最后利用三角形面积公式即可求出该边上高线的长度.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）可知，，
设边上的高为h，则，
∴，
∴，
∴边长为的边上的高线的长为．
22．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：
平分
是的中点
在和中：
因此四边形是平行四边形．
（2）解：已知CE平分∠ACB，因此可得：
，
又因为公共边，且题干已知，
因此根据SAS判定可得，
由全等三角形的性质可得，
根据等边对等角可得．
结合直角三角形两锐角互余可得：，
，
根据等角的余角相等，可得，
再根据等角对等边，可得．
已知四边形是平行四边形，
根据平行四边形对边相等的性质，可得．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）依据平行四边形的判定定理来完成相关证明；
（2）结合平行四边形的性质来求解对应的问题.
（1）证明：，，
．
，
，
．
平分，
，
．
为边的中点，
．
在和中，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：平分，
，
，，
，
，
．
，
，
，
．
四边形是平行四边形，
．
23．随着气温的降低，乌市某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．设每台降价元，则：
（1）每天可销售　 　台，每台盈利　 　元（用含的式子表示）
（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？
（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由
【答案】（1）；
（2）解：设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽快减少库存，
．
答：每台空气加湿器应降价20元．
（3）解：不能，理由如下：
设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
该商场平均每天盈利不能达到2500元．
【知识点】用字母表示数；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：每天可销售的数量为：30+2x（台）；每台盈利：50-x（元），
故答案为：；.
【分析】（1）根据“ 每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台 ”可求出每天销售数量，利用“利润=售价-成本”可得每天的利润；
（2）设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，根据“每天要盈利2100元”列出方程，再求解即可；
（3）设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，根据“每天盈利能达到2500元”列出方程，再求解即可.
24．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求点C的坐标___；以及平行四边形的面积．
（2）动点P从点O出发，沿方向以1个单位/秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿方向以2个单位/秒的速度向点B匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P运动的时间为t秒（），则当t为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？
（3）当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：因为四边形是平行四边形，
所以AO=BC=14，BC∥OA，
已知点坐标为，点坐标为，原点，
由此可得点的坐标为，平行四边形OABC的面积为
（2）解：由题意可得： ，
所以，
即： ，
所以 ，
解公式得到：.
即当点t为4秒时，的面积是平行四边形的一半；
（3）或或
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）解：当时，结合（2）的结论可知此时点和点重合，对应的图形如下图所示：
此时轴，轴，计算可得，
根据平行四边形对边相等的性质，可得
因此计算各点坐标：
化简得
化简得
化简得
综上可得，点的坐标为或或.
【分析】（1）结合平行四边形的性质和平面直角坐标系的特点，可以直接得到点的坐标；平行四边形的对称中心，就是它对角线的中点，据此计算即可；
（2）利用面积差得到，结合题意要求，再借助三角形面积公式列出方程，求解就能得到符合要求的的值；
（3）将（2）中求出的值代入，确定此时点和点的坐标，再根据平行四边形的性质，即可直接写出点的所有可能坐标.
（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
∵点的坐标为， 点的坐标为，；
∴点的坐标为，；
（2）解：根据题意得： ，
∴，
即： ，
∴ ，
解得：.
即当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半；
（3）当时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，
此时轴，轴，，，
根据平行四边形的性质，可知 ，
即；即： 即：
故答案为：点的坐标为或或．
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