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四川绵阳市江油市2026年初中中考二模试卷数学试题
一、选择题：每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项最符合题目要求．
1．计算（　　）
A．0 B．1 C．9 D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．U盘由朗科公司1999年发明，取代软盘，成为便携式移动存储的划时代产品，已知1GB＝210MB，则图中20GB的U盘容量是（　　）
A．5×1020MB B．5×212MB C．220MB D．2×1012MB
4．若分式有意义，则x的值不可以是（　　）
A． B．π C．－2 D．2
5．如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A．3a＋3a＝6a2 B．（2a＋2b）2＝4a2＋4b2
C．a2 a3＝a6 D．（－ab2）3＝－a3b6
7．平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．20 B．24 C．30 D．48
9．已知y关于x的二次函数解析式当-1A．-310．陀螺是由圆柱和圆锥两个几何体组合而成的，分界线即二者底面重合处．如图是一个陀螺的结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体的高BC＝5cm，圆锥体的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是（　　）
A．40πcm2 B．52πcm2 C．60πcm2 D．76πcm2
11．如图，直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿直线OA向右翻滚至位置Ⅱ．其中，位置Ⅰ中的MN平行于直线OA，且半⊙P与直线OA相切于点O，位置Ⅱ中的M1N1与直线OA垂直，则线段ON1的长为（　　）
A．π B．2π C．2 D．4
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作Rt△BEF，使得∠BEF＝90°，BE＝2EF，连接CF．则CF的最小值为（　　）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题：每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13． 因式分解：m2－2mn＝ 　 　．
14．小明将一副常规直角三角板在桌面上摆出了如图所示的图案，点C在DF上，且AC∥EF，则∠BCF＝ 　 　 度．
15．为落实“双减提质”，传播数学文化，提升学生数学核心素养，某学校开展数学阅读月活动小丽和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，则两人恰好都抽到《九章算术》的概率是　 　．
16．人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是　 　元.
17．已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的值为 　 　 ．
18．在矩形ABCD中，AB＝5．将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形EBFG，点A的对应点为点E，且在边CD上，如果tan∠EBC＝，联结CG，那么CG的长为 　 　 ．
三、解答题（90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19． 计算和化简求值：
（1）()－2－6sin600－ ＋ ＋；
（2）先化简，再求值：()，其中a＝3＋．
20．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表、直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时） 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t≤4
频数 12 a 24 8
（1） m＝　 　 ，a＝　 　 ；C组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 　 　 度；
（2） 请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据；
（3） 若该校学生有1500人，试估计劳动时间在1≤t＜3范围的学生有多少人．
21．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍．
（1） 求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？
（2） 若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案．
22．如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．
（1） 求证：△ADE≌△CDE；
（2） 求证：AE2＝EF EG．
23．如图，反比例函数y1＝ (m＞0)的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象交于A（2，8）、B（8，n）两点，在线段AB上取点P，过点P作y轴的垂线，垂足为M，交函数y1的图象于点N．
（1） 求这两个函数的解析式；
（2） 若点P的横坐标为4，求△NOP的面积．
24． 如图1，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH＝4，CH＝8．
（1） 求圆O的半径r的长度；
（2） 求tan∠CMD；
（3） 如图，直线BM交直线CD于点E，连接BN交CE于点F，求HE HF的值．
25． 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝－2，点F在对称轴上运动．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】根据“任意不等于零的数的零次幂都等于1”这一性质计算即可得出结果.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂乘法运算解答即可．
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴分母，
∴，
故选：D．
【分析】根据分式的分母不为0解答即可.
5．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从该几何体的上方观察，得到的图形如下：
故选：D.
【分析】本题主要考查几何体三视图的相关知识，俯视图的定义为从几何体上方观察几何体所得的图形，依据该概念即可判断出正确答案.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选D．
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法、积的乘方法则逐项判断解答即可．
7．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于原点对称的两个点，坐标符号相反，
因此点关于原点对称的点的坐标为，
故选：C．
【分析】若两个点关于原点对称，则这两个点的横、纵坐标符号都互为相反，依据这一性质即可求解.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在直角中，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】连接交于点，根据菱形的性质，利用勾股定理求出，即可得到BD=6，然后利用菱形面积等于对角线乘积的一半解答即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：二次函数解析式为
∵二次项系数
∴抛物线开口向上，顶点坐标为．
∵，
∴当时，取得最小值．
当时，；当时，．
又∵取不到，
∴；顶点在的取值范围内，
∴．
∴．
故答案为：D．
【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线开口向上，顶点坐标为，即可得到最大值；然后根据离对称轴远的函数值小求出最小值，即可得到y的取值范围．
10．【答案】D
【知识点】几何体的表面积；圆锥的计算；圆柱的计算；圆柱的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：
圆锥的母线长为：，
∴陀螺的表面积为：，
故选：D．
【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据根据陀螺的表面积等于圆的面积、圆柱侧面积、圆锥侧面积的和解答即可．
11．【答案】A
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵半与直线相切于点，
∴，
∵位置Ⅰ中的平行于直线，
∴，
∵
∴，
∴线段的长，
故选：A．
【分析】根据题意得到，根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后根据弧长公式计算即可．
12．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，当点F在左侧时，过点F作交于点M，交于点N，
∵四边形是矩形，
∴，，，，，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
则，
∴，
∴，
如图，当点F在右侧时，过点F作交延长线于M，交延长线于点N，
同理可得，
∴，
当时，的最小值为5，
∴的最小值是．
故答案为：D.
【分析】过点F作交于点M，交于点N，根据矩形的性质，利用两角对应相等得到，设，根据对应边成比例求出AE=2x，=2，再根据勾股定理用x表示，根据二次函数的定点式得到最小值解答即可．
13．【答案】m(m－2n)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用提取公因式进行因式分解即可．
14．【答案】15
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意，得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：15．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据角的和差解答即可．
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：我们将《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》三本书分别记作A、B、C，画出树状图如下：
从树状图可以看出，本次抽取一共有9种等可能的结果，其中两人恰好都抽到《九章算术》的结果只有1种，因此两人恰好都抽到《九章算术》的概率为.
故填：.
【分析】先通过画树状图列出所有可能的抽取结果，再从中找出两人都抽到《九章算术》的结果数量，最后根据概率公式计算出对应概率即可.
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元，
根据题意列方程组得
解得，.
因此单艘大船租金为元，单艘小船租金为元，
设租大船艘，小船艘，总费用为元，根据题意得，其中为非负整数，总费用，
计算得大船人均租金为元，小船人均租金为元，因此优先多租大船可降低总费用，列举可行方案计算费用：
当时，，元；
当时，，剩余人需租艘小船，满足载客要求，此时元；
当时，，剩余人需租艘小船，此时元；
当时，，剩余人需租艘小船，此时元；
当时，计算可得总费用均大于元.
因此租船费用的最小值为．
故答案为：.
【分析】设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元，根据“ 租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元 ”列方程组求出x和y的值，再设大船艘，小船艘，总费用为元，得到W关于m，n的关系式，逐一列举符合条件的m和n的值计算租船费用，比较解答即可．
17．【答案】5、4、2、2
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：去分母，得：，
移项，合并同类项，得：，
∵解为非负数，
∴，
∴，
∵原分式方程有可能产生增根，
∴，
∴，
∴正整数的值为5、4、2、1．
故答案为：5、4、2、1．
【分析】根据分式两边同时乘以(x-1)化为整式方程，然后根据题意得到且，；分求出正数m的值解答即可．
18．【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过G作于点H，
由旋转变换的性质可知， ，
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
，
，
故答案为：．
【分析】过G作于点H，根据旋转得到，，根据正切的定义和勾股定理求出，长，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例求出再根据勾股定理求出CG长即可．
19．【答案】（1）原式＝4－6 －1＋ ＋－
＝4－3－1＋＋－
＝3－2
（2）原式＝[＋ ]
＝[＋]
＝
＝，
当a＝3＋时，原式＝ ＝
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数次幂，零次幂、二次根式的化简、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后运算加减，再合并同类项解答即可；
（2）先把括号内分式通分，然后把除法化为乘法约分化简，再把a的值代入计算即可.
20．【答案】（1）80；36；180
（2）
（3）解：估计劳动时间在1≤t＜3范围的学生有1500＝1125（人）
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
（人），
（人），
组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是；
故答案为：80；36；108；
【分析】（1）由组的人数除以占比求出的值，再利用总人数减去其它组人数求出的值，根据乘以组占比求出圆心角即可；
（2）按（1）中计算结果补全频数分布直方图即可；
（3）利用样本中劳动时间在1≤t＜3范围的学生占比乘以1500计算即可．
21．【答案】（1）设B型号纪念品的单价是x元，则A型号纪念品的单价是（x＋20）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意，
∴x＋20＝80＋20＝100（元）
答：A型号纪念品的单价是100元，B型号纪念品的单价是80元；
（2）设购买y个A型号纪念品，则购买（70－y）个B型号纪念品，
根据题意得：，
解得：42≤y≤44，
又∵y为正整数，
∴y可以为42，43，44，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买42个A型号纪念品，28个B型号纪念品；
方案2：购买43个A型号纪念品，27个B型号纪念品；
方案3：购买44个A型号纪念品，26个B型号纪念品
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元，根据“ 用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍 ”列分式方程解答即可；
（2）设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个，根据“ 购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元 ”列不等式组，求出整数m的值得到方案即可．
22．【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD，
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE（SAS）
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE＝CE，∠DAF＝∠DCE，
∴∠DAF＝∠F，
又∵∠GEC＝∠CEF，
∴△GEC∽△CEF，
∴，
∴CE2＝EF EG，
∴AE2＝EF EG．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）根军正方形的性质可得，，利用证明两三角形全等即可；
（）根据平行四边形的性质可得，根据全等三角形的性质可得，，即可得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例证明结论即可．
23．【答案】（1）∵反比例函数y1＝ (m＞0)的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象交于A（2，8）、B（8，n）两点，
∴m＝2×8＝8n，
∴m＝16，n＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
由条件可得，解得，
∴一次函数解析式为y＝－x＋10
（2）在y＝－x＋10中，当x＝4时，y＝6，
∴P（4，6），
在y＝中，当y＝6时，x＝，
∴N（，6），
∴S△NOP＝ ＝4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，再代入一次函数解析式求出k和b的值解答即可；
（2）利用解析式分别求出P、N的坐标，根据三角形面积公式计算即可．
24．【答案】（1）连结OC，
∵CD⊥AB于H，AB是圆O直径，CH＝8，
在Rt△COH中，CH＝8，OH＝r－4，OC＝r，
由勾股定理，得（r－4）2＋82＝r2，
解得r＝10
（2）解：连接，则，
∵弦与直径垂直，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；

（3）连结AM，则∠AMB＝90°．
在Rt△ABM中，∠MAB＋∠ABM＝90°，
在Rt△EHB中，∠E＋∠ABM＝90°，
∴∠MAB＝∠E．
∵，
∴∠MNB＝∠MAB＝∠E．
∵∠EHM＝∠NHM，
∴△EHM∽△NHF，
∴，
∴HE HF＝HM HN．
∵AB与MN相交于点H，
∴HM HN＝HA HB＝HA （2r－HA）＝4×（20－4）＝64，
即HE HF＝64
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）连接半径，根据垂径定理和勾股定理求出半径r的值即可；
（）连接，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到 ，即可得到 ，即可得到，再根据正切的定义解答即可；
（）连结AM，即可根据同角的余角相等得到∠MAB＝∠E，再根据同弧所对的圆周角相等得到 ∠MNB＝∠MAB＝∠E ，再根据∠EHM＝∠NHM，可得，根据对应边成比例解答即可．
25．【答案】（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝－2，
∴A（－6，0），C（0，6），B（2，0）．
设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋6（a≠0），将A，B点的坐标代入得：
题意得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝－；
（2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下：
∵B（2，0），C（0，6），
∴BC＝2．
设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1，
设点F（－2，t），则DF＝．
当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上，
此时，∠BFC为直角，DF＝，则，
∴t2－6t＋18＝10，
化简得t2－6t＋8＝0，
解得t1＝2，t2＝4．
∴F的坐标为（－2，2）或（－2，4）时，∠BFC为直角
（3）设点F（－2，t）．
则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t－2，t＋4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t－8，t＋2），
当B1（t－2，t＋4）在抛物线上时，t＋4＝－(t－2)2－2(t－2)＋6，
化简得t2＋2t－8＝0，
解得t1＝2，t2＝－4．
∴t1＝2时，F（－2，2），t2＝－4时，F（－2，－4）．
经检验，此时点C1不在抛物线上．
当C1（t－8，t＋2）在抛物线上时，t＋2＝－(t－8)2－2(t－8)＋6，
化简得t2－10t＋24＝0，
解得t1＝4，t2＝6．
∴当t1＝4时，F（－2，4），当t2＝6时，F（－2，6）．
经检验，此时点B1不在抛物线上．
综上，满足题意的点F的坐标为（－2，2），（－2，－4），（－2，4），（－2，6）
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；坐标系中的两点距离公式；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后代入解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据勾股定理求出．设中点为，根据中点坐标公式求出，连接．设点，即可根据两点间距离公式得到DF长．根据直角三角形斜边中线的性质列方程求出t的值即可；
（3）设点．根据旋转的性质得到或，然后分别把点B1和C1的坐标代入二次函数的解析式求出t的值解答即可．
1 / 1四川绵阳市江油市2026年初中中考二模试卷数学试题
一、选择题：每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项最符合题目要求．
1．计算（　　）
A．0 B．1 C．9 D．
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】根据“任意不等于零的数的零次幂都等于1”这一性质计算即可得出结果.
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此解答即可.
3．U盘由朗科公司1999年发明，取代软盘，成为便携式移动存储的划时代产品，已知1GB＝210MB，则图中20GB的U盘容量是（　　）
A．5×1020MB B．5×212MB C．220MB D．2×1012MB
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂乘法运算解答即可．
4．若分式有意义，则x的值不可以是（　　）
A． B．π C．－2 D．2
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴分母，
∴，
故选：D．
【分析】根据分式的分母不为0解答即可.
5．如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从该几何体的上方观察，得到的图形如下：
故选：D.
【分析】本题主要考查几何体三视图的相关知识，俯视图的定义为从几何体上方观察几何体所得的图形，依据该概念即可判断出正确答案.
6．下列运算正确的是（　　）
A．3a＋3a＝6a2 B．（2a＋2b）2＝4a2＋4b2
C．a2 a3＝a6 D．（－ab2）3＝－a3b6
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算正确，符合题意；
故选D．
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法、积的乘方法则逐项判断解答即可．
7．平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：关于原点对称的两个点，坐标符号相反，
因此点关于原点对称的点的坐标为，
故选：C．
【分析】若两个点关于原点对称，则这两个点的横、纵坐标符号都互为相反，依据这一性质即可求解.
8．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．20 B．24 C．30 D．48
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在直角中，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】连接交于点，根据菱形的性质，利用勾股定理求出，即可得到BD=6，然后利用菱形面积等于对角线乘积的一半解答即可．
9．已知y关于x的二次函数解析式当-1A．-3【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：二次函数解析式为
∵二次项系数
∴抛物线开口向上，顶点坐标为．
∵，
∴当时，取得最小值．
当时，；当时，．
又∵取不到，
∴；顶点在的取值范围内，
∴．
∴．
故答案为：D．
【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线开口向上，顶点坐标为，即可得到最大值；然后根据离对称轴远的函数值小求出最小值，即可得到y的取值范围．
10．陀螺是由圆柱和圆锥两个几何体组合而成的，分界线即二者底面重合处．如图是一个陀螺的结构图，已知底面圆的直径AB＝8cm，圆柱体的高BC＝5cm，圆锥体的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是（　　）
A．40πcm2 B．52πcm2 C．60πcm2 D．76πcm2
【答案】D
【知识点】几何体的表面积；圆锥的计算；圆柱的计算；圆柱的侧面积和表面积
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：
圆锥的母线长为：，
∴陀螺的表面积为：，
故选：D．
【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据根据陀螺的表面积等于圆的面积、圆柱侧面积、圆锥侧面积的和解答即可．
11．如图，直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿直线OA向右翻滚至位置Ⅱ．其中，位置Ⅰ中的MN平行于直线OA，且半⊙P与直线OA相切于点O，位置Ⅱ中的M1N1与直线OA垂直，则线段ON1的长为（　　）
A．π B．2π C．2 D．4
【答案】A
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵半与直线相切于点，
∴，
∵位置Ⅰ中的平行于直线，
∴，
∵
∴，
∴线段的长，
故选：A．
【分析】根据题意得到，根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后根据弧长公式计算即可．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作Rt△BEF，使得∠BEF＝90°，BE＝2EF，连接CF．则CF的最小值为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，当点F在左侧时，过点F作交于点M，交于点N，
∵四边形是矩形，
∴，，，，，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
则，
∴，
∴，
如图，当点F在右侧时，过点F作交延长线于M，交延长线于点N，
同理可得，
∴，
当时，的最小值为5，
∴的最小值是．
故答案为：D.
【分析】过点F作交于点M，交于点N，根据矩形的性质，利用两角对应相等得到，设，根据对应边成比例求出AE=2x，=2，再根据勾股定理用x表示，根据二次函数的定点式得到最小值解答即可．
二、填空题：每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13． 因式分解：m2－2mn＝ 　 　．
【答案】m(m－2n)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用提取公因式进行因式分解即可．
14．小明将一副常规直角三角板在桌面上摆出了如图所示的图案，点C在DF上，且AC∥EF，则∠BCF＝ 　 　 度．
【答案】15
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意，得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：15．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据角的和差解答即可．
15．为落实“双减提质”，传播数学文化，提升学生数学核心素养，某学校开展数学阅读月活动小丽和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》三本书中随机抽取一本进行阅读，则两人恰好都抽到《九章算术》的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：我们将《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》三本书分别记作A、B、C，画出树状图如下：
从树状图可以看出，本次抽取一共有9种等可能的结果，其中两人恰好都抽到《九章算术》的结果只有1种，因此两人恰好都抽到《九章算术》的概率为.
故填：.
【分析】先通过画树状图列出所有可能的抽取结果，再从中找出两人都抽到《九章算术》的结果数量，最后根据概率公式计算出对应概率即可.
16．人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是　 　元.
【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元，
根据题意列方程组得
解得，.
因此单艘大船租金为元，单艘小船租金为元，
设租大船艘，小船艘，总费用为元，根据题意得，其中为非负整数，总费用，
计算得大船人均租金为元，小船人均租金为元，因此优先多租大船可降低总费用，列举可行方案计算费用：
当时，，元；
当时，，剩余人需租艘小船，满足载客要求，此时元；
当时，，剩余人需租艘小船，此时元；
当时，，剩余人需租艘小船，此时元；
当时，计算可得总费用均大于元.
因此租船费用的最小值为．
故答案为：.
【分析】设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元，根据“ 租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元 ”列方程组求出x和y的值，再设大船艘，小船艘，总费用为元，得到W关于m，n的关系式，逐一列举符合条件的m和n的值计算租船费用，比较解答即可．
17．已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的值为 　 　 ．
【答案】5、4、2、2
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：去分母，得：，
移项，合并同类项，得：，
∵解为非负数，
∴，
∴，
∵原分式方程有可能产生增根，
∴，
∴，
∴正整数的值为5、4、2、1．
故答案为：5、4、2、1．
【分析】根据分式两边同时乘以(x-1)化为整式方程，然后根据题意得到且，；分求出正数m的值解答即可．
18．在矩形ABCD中，AB＝5．将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形EBFG，点A的对应点为点E，且在边CD上，如果tan∠EBC＝，联结CG，那么CG的长为 　 　 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过G作于点H，
由旋转变换的性质可知， ，
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
，
，
故答案为：．
【分析】过G作于点H，根据旋转得到，，根据正切的定义和勾股定理求出，长，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例求出再根据勾股定理求出CG长即可．
三、解答题（90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19． 计算和化简求值：
（1）()－2－6sin600－ ＋ ＋；
（2）先化简，再求值：()，其中a＝3＋．
【答案】（1）原式＝4－6 －1＋ ＋－
＝4－3－1＋＋－
＝3－2
（2）原式＝[＋ ]
＝[＋]
＝
＝，
当a＝3＋时，原式＝ ＝
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数次幂，零次幂、二次根式的化简、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后运算加减，再合并同类项解答即可；
（2）先把括号内分式通分，然后把除法化为乘法约分化简，再把a的值代入计算即可.
20．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表、直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
劳动时间t（单位：小时） 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t≤4
频数 12 a 24 8
（1） m＝　 　 ，a＝　 　 ；C组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 　 　 度；
（2） 请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据；
（3） 若该校学生有1500人，试估计劳动时间在1≤t＜3范围的学生有多少人．
【答案】（1）80；36；180
（2）
（3）解：估计劳动时间在1≤t＜3范围的学生有1500＝1125（人）
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
（人），
（人），
组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是；
故答案为：80；36；108；
【分析】（1）由组的人数除以占比求出的值，再利用总人数减去其它组人数求出的值，根据乘以组占比求出圆心角即可；
（2）按（1）中计算结果补全频数分布直方图即可；
（3）利用样本中劳动时间在1≤t＜3范围的学生占比乘以1500计算即可．
21．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍．
（1） 求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？
（2） 若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案．
【答案】（1）设B型号纪念品的单价是x元，则A型号纪念品的单价是（x＋20）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意，
∴x＋20＝80＋20＝100（元）
答：A型号纪念品的单价是100元，B型号纪念品的单价是80元；
（2）设购买y个A型号纪念品，则购买（70－y）个B型号纪念品，
根据题意得：，
解得：42≤y≤44，
又∵y为正整数，
∴y可以为42，43，44，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买42个A型号纪念品，28个B型号纪念品；
方案2：购买43个A型号纪念品，27个B型号纪念品；
方案3：购买44个A型号纪念品，26个B型号纪念品
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设B型号纪念品的单价为元，则A型号纪念品的单价为元，根据“ 用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍 ”列分式方程解答即可；
（2）设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品个，根据“ 购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元 ”列不等式组，求出整数m的值得到方案即可．
22．如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC．
（1） 求证：△ADE≌△CDE；
（2） 求证：AE2＝EF EG．
【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD，
在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE（SAS）
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE＝CE，∠DAF＝∠DCE，
∴∠DAF＝∠F，
又∵∠GEC＝∠CEF，
∴△GEC∽△CEF，
∴，
∴CE2＝EF EG，
∴AE2＝EF EG．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）根军正方形的性质可得，，利用证明两三角形全等即可；
（）根据平行四边形的性质可得，根据全等三角形的性质可得，，即可得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例证明结论即可．
23．如图，反比例函数y1＝ (m＞0)的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象交于A（2，8）、B（8，n）两点，在线段AB上取点P，过点P作y轴的垂线，垂足为M，交函数y1的图象于点N．
（1） 求这两个函数的解析式；
（2） 若点P的横坐标为4，求△NOP的面积．
【答案】（1）∵反比例函数y1＝ (m＞0)的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象交于A（2，8）、B（8，n）两点，
∴m＝2×8＝8n，
∴m＝16，n＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
由条件可得，解得，
∴一次函数解析式为y＝－x＋10
（2）在y＝－x＋10中，当x＝4时，y＝6，
∴P（4，6），
在y＝中，当y＝6时，x＝，
∴N（，6），
∴S△NOP＝ ＝4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，再代入一次函数解析式求出k和b的值解答即可；
（2）利用解析式分别求出P、N的坐标，根据三角形面积公式计算即可．
24． 如图1，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH＝4，CH＝8．
（1） 求圆O的半径r的长度；
（2） 求tan∠CMD；
（3） 如图，直线BM交直线CD于点E，连接BN交CE于点F，求HE HF的值．
【答案】（1）连结OC，
∵CD⊥AB于H，AB是圆O直径，CH＝8，
在Rt△COH中，CH＝8，OH＝r－4，OC＝r，
由勾股定理，得（r－4）2＋82＝r2，
解得r＝10
（2）解：连接，则，
∵弦与直径垂直，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；

（3）连结AM，则∠AMB＝90°．
在Rt△ABM中，∠MAB＋∠ABM＝90°，
在Rt△EHB中，∠E＋∠ABM＝90°，
∴∠MAB＝∠E．
∵，
∴∠MNB＝∠MAB＝∠E．
∵∠EHM＝∠NHM，
∴△EHM∽△NHF，
∴，
∴HE HF＝HM HN．
∵AB与MN相交于点H，
∴HM HN＝HA HB＝HA （2r－HA）＝4×（20－4）＝64，
即HE HF＝64
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）连接半径，根据垂径定理和勾股定理求出半径r的值即可；
（）连接，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到 ，即可得到 ，即可得到，再根据正切的定义解答即可；
（）连结AM，即可根据同角的余角相等得到∠MAB＝∠E，再根据同弧所对的圆周角相等得到 ∠MNB＝∠MAB＝∠E ，再根据∠EHM＝∠NHM，可得，根据对应边成比例解答即可．
25． 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝－2，点F在对称轴上运动．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标．
【答案】（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝－2，
∴A（－6，0），C（0，6），B（2，0）．
设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋6（a≠0），将A，B点的坐标代入得：
题意得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝－；
（2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下：
∵B（2，0），C（0，6），
∴BC＝2．
设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1，
设点F（－2，t），则DF＝．
当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上，
此时，∠BFC为直角，DF＝，则，
∴t2－6t＋18＝10，
化简得t2－6t＋8＝0，
解得t1＝2，t2＝4．
∴F的坐标为（－2，2）或（－2，4）时，∠BFC为直角
（3）设点F（－2，t）．
则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t－2，t＋4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t－8，t＋2），
当B1（t－2，t＋4）在抛物线上时，t＋4＝－(t－2)2－2(t－2)＋6，
化简得t2＋2t－8＝0，
解得t1＝2，t2＝－4．
∴t1＝2时，F（－2，2），t2＝－4时，F（－2，－4）．
经检验，此时点C1不在抛物线上．
当C1（t－8，t＋2）在抛物线上时，t＋2＝－(t－8)2－2(t－8)＋6，
化简得t2－10t＋24＝0，
解得t1＝4，t2＝6．
∴当t1＝4时，F（－2，4），当t2＝6时，F（－2，6）．
经检验，此时点B1不在抛物线上．
综上，满足题意的点F的坐标为（－2，2），（－2，－4），（－2，4），（－2，6）
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；坐标系中的两点距离公式；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后代入解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据勾股定理求出．设中点为，根据中点坐标公式求出，连接．设点，即可根据两点间距离公式得到DF长．根据直角三角形斜边中线的性质列方程求出t的值即可；
（3）设点．根据旋转的性质得到或，然后分别把点B1和C1的坐标代入二次函数的解析式求出t的值解答即可．
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