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湖南省邵阳市2026年九年级中考二模数学试题
1．下列实数中，是有理数的为(　　)
A． B．π C．0 D．
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵ 有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数，
是开方开不尽的数，是无理数，
是无限不循环小数，是无理数，
是整数，属于有理数，
是开立方开不尽的数，是无理数，
故只有0是有理数.
故答案为：C.
【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数解答即可.
2．2025年12月27日，首届湘超决赛在长沙贺龙体育场举行，本场比赛的现场观众人数约为44000名，将数据44000用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据44000用科学记数法表示为．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．下列运算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A：∵根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变指数相减，
∴，运算正确；
选项B：∵单项式乘法中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，运算错误；
选项C：∵根据积的乘方法则，，
∴，运算错误；
选项D：∵合并同类项时，字母和字母的指数不变，仅系数相加，
∴，运算错误．
故答案为：A.
【分析】根据单项式除以单项式，单项式乘以单项式，积的乘方，合并同类项的法则逐项判断解答即可．
4．下列几何体的主视图和左视图不同的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：、圆柱的主视图和左视图都是长方形，主视图和左视图相同，不符合题意；
、三棱柱的主视图是长方形，中间有实线，左视图是长方形，中间没有实线，主视图和左视图不同，符合题意；
、正方体的主视图和左视图都是正方形，主视图和左视图相同，不符合题意；
、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，主视图和左视图相同，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据几何体的三视图逐项判断解答即可.
5． 某校九年级(1)班 6名学生的体育中考成绩(单位：分)依次为： 48， 50， 50， 49， 50，47， 则这组数据的众数是(　　)
A．47 B．48 C．49 D．50
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵这组数据48，50，50，49，50，47中：47出现1次，48出现1次，49出现1次，50出现3次，
∴ 50是这组数据中出现次数最多的数，
∴ 这组数据的众数是50．
故答案为：50.
【分析】根据众数定义“一组数据中出现次数最多的数”解答即可．
6．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=40°， AD∥BC，则∠CAD的度数为(　　)
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理可得，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可．
7．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1=25°，那么∠2的度数为(　　)
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如下图所示，
，
，
，，
，
.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可知，根据余角的定义求出∠2解答即可．
8．某班体育委员的抽屉里有5个乒乓球，其中有三个是白色的，两个是黄色的，上体育课的时候，他随手从抽屉里同时拿了两个乒乓球，则他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的概率为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：我们用、、分别代表三个白色乒乓球，用、分别代表两个黄色乒乓球，
通过列表法可以得到所有抽取情况，
　
其中所有等可能出现的结果共有20种，拿出的两个球恰好一个为白色、一个为黄色的情况一共有种，
因此拿出的两个球恰好一黄一白的概率为．
故选：A.
【分析】本题考查运用列表法或树状图法计算随机事件的概率，解题步骤是先通过列表得到所有等可能的结果总数为20种，再找出满足“恰好一个白色一个黄色”的情况数为种，最后代入概率计算公式即可得到最终结果.
9． 四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃 ”
小张说：“是小强打破的．”
小强说：“是小胖打破的.”
小明说：“我没有打破窗户的玻璃．”
小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他.”
这四个小孩只有一个说了实话.请判断：是谁打破了窗户的玻璃 (　　)
A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖
【答案】C
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，
∴两人的话必有一真一假，
∵“只有一个小孩说真话”，
∴小张和小明的话都是假话，
∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃．
故选C．
【分析】根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可．
10． 如图，在直角坐标系中， △OAB的顶点为O(0， 0)， A (4， 3)， B (3， 0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）
A．(-1， - 1) B．
C． D．(-2， - 1)
【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
【分析】根据关于以原点为位似中心，位似比为k的对应点的横、纵坐标同时乘以k或-k解答即可．
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：m(1-a)(1+a).
【分析】先提取各项的公因式m，再利用平方差公式进行第二次分解，直至每一个因式都不能再分解为止.
12．使代数式 有意义的x取值范围是　 　.
【答案】x≥2026
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数，
解得．
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为　 　度.
【答案】1080
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等，
多边形的边数为，
这是一个正边形，
这个正多边形的内角和为．
故答案为：.
【分析】根据多边形的外角和求出边数，然后根据多边形的内角和定理解答即可.
14． 如图，在菱形ABCD中， ∠A=60°， AD=2， P是AB边上的一点， E、F分别是DP，BP的中点，则线段EF 的长为　 　.
【答案】1
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接．
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
．
故答案为：．
【分析】连接，根据菱形的性质得到是等边三角形，即可得到，然后利用三角形的中位线定理解答即可．
15．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴m=1，
故答案为：1.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标横纵坐标互为相反数求解即可。
16．如图，矩形ABCD的顶点A， B分别在x轴、y轴上， OB=8， OA=6， AD=20，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标是　 　.
【答案】(12，10)
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点．
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第1次旋转结束时，点的坐标为；
则第2次旋转结束时，点的坐标为；
则第3次旋转结束时，点的坐标为；
则第4次旋转结束时，点的坐标为；
发现规律：旋转4次一个循环，
，
则第2025次旋转结束时，点的坐标为．
故答案为： ．
【分析】过点D作轴于点T，根据勾股定理求出AB长，然后根据两角对应相等得到，即可得到点D的坐标，利用旋转的得到前4次旋转后点D的坐标，发现规律每4次循环一次，解答即可．
17．计算：
【答案】解：
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算绝对值、负整数次幂、零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解答即可.
18．先化简再求值：，其中x是从0，1，2当中选一个合适的值．
【答案】解：原式
∵分式的分母不等于0，
∴，
把代入得，原式，
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算，即可化简．再根据使分式有意义的条件确定x可取的值，再代入求值即可．
19．如图，在 ABCD中， AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若∠BAF=90°，AB=6，OE=4 ，求DF的长.
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵CF=BE，
∴BE+CE=CE+CF，
∴BC=EF，
∴AD=EF，
∵AD∥EF，AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴OA=OE=OF=OD=4，
∴AF=2OE=8，
∵∠BAF=90°，
∴DF=AE=4.8.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等积变换
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，再根据线段的和差得到AD=EF，即可得到证四边形为平行四边形，然后根据，证明结论即可；
（2）根据矩形的性质得到，然后根据勾股定理求得，再根据△ABF的面积等积变形求出AE长解答即可．
20．“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场.某拉拉队在第一场比赛中用 600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花 1000 元购买同款小喇叭.已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元.
（1）求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个
（2）若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元
【答案】（1）解：设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭2x个，由题意得，
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴2x=200，
答：第一次购进这款小喇叭 100个，则第二次购进这款小喇叭 200个；
（2）解：设每个小喇叭的进价为m元，
由题意得，
解得m≤4，
∴m的最大值为4，
答：每个小喇叭的进价最多为4元.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个，根据“ 第二次购买的单价比第一次便宜1元 ”列分式方程求出x的值并检验解答即可；
（2）设每个小喇叭的进价为m元，根据“ 两次售出的总利润不低于400元 ”列不等式，求出m的最大值解答即可．
21．某校在课后服务中，成立了以下社团：A.计算机，B.围棋，C.篮球，D.书法每人只能加入一个社团，为了挈学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图 1 中D所占扇形的圆心角为150°.请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有　 　人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有 1800学生加入了社团，请你估计这 1800 名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率.
【答案】（1）360
（2）解：由题意知，C组人数为：（人），
补充条形统计图如下：

（3）解：(人)，
答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，
（4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∴一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵D所占扇形的圆心角为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：；
【分析】（1）根据D组人数除以圆心角所占百分比求出调查学生总数即可；
（2）根据总数减去其它组人数求出C组人数，然后补全条形统计图即可；
（3）让总人数乘以样本中参加篮球社团的占比解答即可；
（4）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
22．综合实践
课题：估算摩天轮的高度
背景 美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮之一，共有48个轿厢.某学习小组综合实践活动中，决定以估算摩天轮高度作为课题.
实践 体验：该小组成员搭乘一次摩天轮.从入轿厢开始计时，转一圈后出轿厢，测得耗时约为20分钟.
操作：该小组为了测得摩天轮的高度CD，在地面A处用高为1.6米的测角仪AB测得摩天轮顶端D的仰角α=31°，再向摩天轮方向前进24米至A'处，又测得摩天轮顶端D的仰角β=35°.
解决问题，完成以下任务：
（1）小颖感觉摩天轮转得比较慢，查阅资料得知，回转速度约为每秒0.22米，这时，她认为自己能够算出摩天轮的直径，你知道她是怎样算的吗 (π取3.14，结果精确到0.1米)
（2）根据操作活动得到的测量数据，估算出地面到摩天轮顶端的完全高度CD.(参考数据：sin31° 0.52， tan31°≈ ≈0.60，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70 ， sin3.83°≈0.07，结果精确到0.1米)
【答案】（1）解：设摩天轮的直径为d米，由题意得：
3.14d=0.22×20×60，
解得： d≈84.1；
答：摩天轮的直径为84.1米.
（2）解：连接BB'， CD， BD，B'D，延长BB'交CD于点 H，如图所示：
由题意得：BB'=AA'=24m，AB=A'B'=CH=1.6m，∠DBH=31°，∠DB'H=35°，设DH= xm，
∴在Rt△DBH中，
在Rt△DB'H中，
∵BH-B'H =BB'，
解得： x=100.8，
∴CD=DH+CH=100.8+1.6=102.4m；
答：地面到摩天轮顶端的完全高度CD约为102.4米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）设摩天轮的直径为米，根据圆的周长列式计算即可；
（2）连接，，，，延长交于点，求出，设DH= xm，然后在Rt△DBH和Rt△DB'H中根据正切的定义求出BH和B'H长，根据BH-B'H =BB'列方程求出x的值，解答即可．
23．如图，抛物线 的顶点坐标为(2，-1)，并且与y轴交于点C(0， 3)，与x轴交于两点 A， B.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线 BC交于点 D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点 F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为 代入C (0， 3)后，得： 解得： a=1，
∴抛物线的解析式：
（2）解：由(1)知， A (1， 0)、B (3， 0)；
设直线 BC 的解析式为： y=kx+3，代入点 B 的坐标后，得：3k+3=0， k=-1，
∴直线 BC： y=-x+3；
由(1)知：抛物线的对称轴： x=2，则 D (2， 1)；
即：是直角三角形，且AD⊥CD；

（3）解：由题意知： EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB 与△FED 相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点 D 纵坐标代入抛物线的解析式中，得： 解得
当 时，
当 时，
②∠EDF=90°，
则直线 AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
解得
当x=1 时， y=-x+3=2；
当x=4 时， y=-x+3=-1：
∴、；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理的逆定理；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）先求出点B和C的坐标，求出直线BC的解析式，进而得到点D的坐标，得到△ACD为直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）得到EF∥y轴，即可得到∠FED=∠OCB，当∠DFE=90°，即 DF∥x轴，bay=1代入求出横坐标即可；当∠EDF=90°，求出直线AD的解析式，联立抛物线和直线AD的解析式求出交点坐标解答即可．
24．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
（1）问题发现
如图1， △ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC .点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ=90°，连接CQ，则BP和CQ的数量关系是　 　；
（2）变式探究
如图2， △ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC .点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰Rt△CPQ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决
如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ.若正方形DPEF的边长为 求正方形ABCD的边长.
【答案】（1）BP=CQ
（2）解：理由如下：
∵△CPQ 是等腰直角三角形， ∠BAC=90°， AB=AC，
∵∠BCP+∠ACP=∠ACQ+∠ACP=45°，
∴∠BCP=∠ACQ，
∴△CBP∽△CAQ，

（3）解：连接BD，如图所示，
∵四边形ABCD与四边形DPEF 是正方形， DE与PF交于点Q，
∴△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，
∵∠BDP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=45°，
∴∠BDP=∠CDQ，
∴△BDP∽△CDQ，
在Rt△PCD中，
设CD=x，则CP=x-4，
又∵正方形DPEF 的边长为
解得x1=-3 (舍去)，
∴正方形ABCD的边长为7.
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解： (1)∵△APQ是等腰直角三角形， ∠PAQ=90°，
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AP=AQ，∠BAP+∠PAC=∠CAQ+∠PAC，
∴∠BAP=∠CAQ.
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴BP=CQ；
故答案为：BP=CQ；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS得到，然后根据对应边相等解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质，利用两边成比例且夹角相等得到，然后根据对应边成比解答即可；
（3）连接，根据正方形的性质得到和都是等腰直角三角形，根据（2）的解答过程得到，即可得到的长，再在Rt△PCD中根据勾股定理求出CD长解答即可．
1 / 1湖南省邵阳市2026年九年级中考二模数学试题
1．下列实数中，是有理数的为(　　)
A． B．π C．0 D．
2．2025年12月27日，首届湘超决赛在长沙贺龙体育场举行，本场比赛的现场观众人数约为44000名，将数据44000用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
4．下列几何体的主视图和左视图不同的是(　　)
A． B．
C． D．
5． 某校九年级(1)班 6名学生的体育中考成绩(单位：分)依次为： 48， 50， 50， 49， 50，47， 则这组数据的众数是(　　)
A．47 B．48 C．49 D．50
6．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=40°， AD∥BC，则∠CAD的度数为(　　)
A．70° B．65° C．60° D．55°
7．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1=25°，那么∠2的度数为(　　)
A．55° B．65° C．75° D．85°
8．某班体育委员的抽屉里有5个乒乓球，其中有三个是白色的，两个是黄色的，上体育课的时候，他随手从抽屉里同时拿了两个乒乓球，则他所拿的乒乓球恰好一个白色一个黄色的概率为（　　）．
A． B． C． D．
9． 四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃 ”
小张说：“是小强打破的．”
小强说：“是小胖打破的.”
小明说：“我没有打破窗户的玻璃．”
小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他.”
这四个小孩只有一个说了实话.请判断：是谁打破了窗户的玻璃 (　　)
A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖
10． 如图，在直角坐标系中， △OAB的顶点为O(0， 0)， A (4， 3)， B (3， 0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）
A．(-1， - 1) B．
C． D．(-2， - 1)
11．分解因式：　 　．
12．使代数式 有意义的x取值范围是　 　.
13．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为　 　度.
14． 如图，在菱形ABCD中， ∠A=60°， AD=2， P是AB边上的一点， E、F分别是DP，BP的中点，则线段EF 的长为　 　.
15．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是　 　．
16．如图，矩形ABCD的顶点A， B分别在x轴、y轴上， OB=8， OA=6， AD=20，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标是　 　.
17．计算：
18．先化简再求值：，其中x是从0，1，2当中选一个合适的值．
19．如图，在 ABCD中， AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若∠BAF=90°，AB=6，OE=4 ，求DF的长.
20．“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场.某拉拉队在第一场比赛中用 600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花 1000 元购买同款小喇叭.已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元.
（1）求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个
（2）若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元
21．某校在课后服务中，成立了以下社团：A.计算机，B.围棋，C.篮球，D.书法每人只能加入一个社团，为了挈学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图 1 中D所占扇形的圆心角为150°.请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有　 　人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有 1800学生加入了社团，请你估计这 1800 名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率.
22．综合实践
课题：估算摩天轮的高度
背景 美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮之一，共有48个轿厢.某学习小组综合实践活动中，决定以估算摩天轮高度作为课题.
实践 体验：该小组成员搭乘一次摩天轮.从入轿厢开始计时，转一圈后出轿厢，测得耗时约为20分钟.
操作：该小组为了测得摩天轮的高度CD，在地面A处用高为1.6米的测角仪AB测得摩天轮顶端D的仰角α=31°，再向摩天轮方向前进24米至A'处，又测得摩天轮顶端D的仰角β=35°.
解决问题，完成以下任务：
（1）小颖感觉摩天轮转得比较慢，查阅资料得知，回转速度约为每秒0.22米，这时，她认为自己能够算出摩天轮的直径，你知道她是怎样算的吗 (π取3.14，结果精确到0.1米)
（2）根据操作活动得到的测量数据，估算出地面到摩天轮顶端的完全高度CD.(参考数据：sin31° 0.52， tan31°≈ ≈0.60，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70 ， sin3.83°≈0.07，结果精确到0.1米)
23．如图，抛物线 的顶点坐标为(2，-1)，并且与y轴交于点C(0， 3)，与x轴交于两点 A， B.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线 BC交于点 D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点 F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由.
24．某校数学活动小组探究了如下数学问题：
（1）问题发现
如图1， △ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC .点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ=90°，连接CQ，则BP和CQ的数量关系是　 　；
（2）变式探究
如图2， △ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC .点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰Rt△CPQ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决
如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ.若正方形DPEF的边长为 求正方形ABCD的边长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵ 有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数，
是开方开不尽的数，是无理数，
是无限不循环小数，是无理数，
是整数，属于有理数，
是开立方开不尽的数，是无理数，
故只有0是有理数.
故答案为：C.
【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据44000用科学记数法表示为．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A：∵根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变指数相减，
∴，运算正确；
选项B：∵单项式乘法中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，运算错误；
选项C：∵根据积的乘方法则，，
∴，运算错误；
选项D：∵合并同类项时，字母和字母的指数不变，仅系数相加，
∴，运算错误．
故答案为：A.
【分析】根据单项式除以单项式，单项式乘以单项式，积的乘方，合并同类项的法则逐项判断解答即可．
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：、圆柱的主视图和左视图都是长方形，主视图和左视图相同，不符合题意；
、三棱柱的主视图是长方形，中间有实线，左视图是长方形，中间没有实线，主视图和左视图不同，符合题意；
、正方体的主视图和左视图都是正方形，主视图和左视图相同，不符合题意；
、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，主视图和左视图相同，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据几何体的三视图逐项判断解答即可.
5．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵这组数据48，50，50，49，50，47中：47出现1次，48出现1次，49出现1次，50出现3次，
∴ 50是这组数据中出现次数最多的数，
∴ 这组数据的众数是50．
故答案为：50.
【分析】根据众数定义“一组数据中出现次数最多的数”解答即可．
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理可得，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可．
7．【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如下图所示，
，
，
，，
，
.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质可知，根据余角的定义求出∠2解答即可．
8．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：我们用、、分别代表三个白色乒乓球，用、分别代表两个黄色乒乓球，
通过列表法可以得到所有抽取情况，
　
其中所有等可能出现的结果共有20种，拿出的两个球恰好一个为白色、一个为黄色的情况一共有种，
因此拿出的两个球恰好一黄一白的概率为．
故选：A.
【分析】本题考查运用列表法或树状图法计算随机事件的概率，解题步骤是先通过列表得到所有等可能的结果总数为20种，再找出满足“恰好一个白色一个黄色”的情况数为种，最后代入概率计算公式即可得到最终结果.
9．【答案】C
【知识点】逻辑推理
【解析】【解答】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，
∴两人的话必有一真一假，
∵“只有一个小孩说真话”，
∴小张和小明的话都是假话，
∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃．
故选C．
【分析】根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可．
10．【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
【分析】根据关于以原点为位似中心，位似比为k的对应点的横、纵坐标同时乘以k或-k解答即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：m(1-a)(1+a).
【分析】先提取各项的公因式m，再利用平方差公式进行第二次分解，直至每一个因式都不能再分解为止.
12．【答案】x≥2026
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数，
解得．
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可.
13．【答案】1080
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等，
多边形的边数为，
这是一个正边形，
这个正多边形的内角和为．
故答案为：.
【分析】根据多边形的外角和求出边数，然后根据多边形的内角和定理解答即可.
14．【答案】1
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接．
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
．
故答案为：．
【分析】连接，根据菱形的性质得到是等边三角形，即可得到，然后利用三角形的中位线定理解答即可．
15．【答案】1
【知识点】点的坐标；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点对称，
∴m=1，
故答案为：1.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标横纵坐标互为相反数求解即可。
16．【答案】(12，10)
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点．
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第1次旋转结束时，点的坐标为；
则第2次旋转结束时，点的坐标为；
则第3次旋转结束时，点的坐标为；
则第4次旋转结束时，点的坐标为；
发现规律：旋转4次一个循环，
，
则第2025次旋转结束时，点的坐标为．
故答案为： ．
【分析】过点D作轴于点T，根据勾股定理求出AB长，然后根据两角对应相等得到，即可得到点D的坐标，利用旋转的得到前4次旋转后点D的坐标，发现规律每4次循环一次，解答即可．
17．【答案】解：
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算绝对值、负整数次幂、零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式解答即可.
18．【答案】解：原式
∵分式的分母不等于0，
∴，
把代入得，原式，
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算，即可化简．再根据使分式有意义的条件确定x可取的值，再代入求值即可．
19．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵CF=BE，
∴BE+CE=CE+CF，
∴BC=EF，
∴AD=EF，
∵AD∥EF，AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴OA=OE=OF=OD=4，
∴AF=2OE=8，
∵∠BAF=90°，
∴DF=AE=4.8.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等积变换
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，再根据线段的和差得到AD=EF，即可得到证四边形为平行四边形，然后根据，证明结论即可；
（2）根据矩形的性质得到，然后根据勾股定理求得，再根据△ABF的面积等积变形求出AE长解答即可．
20．【答案】（1）解：设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭2x个，由题意得，
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴2x=200，
答：第一次购进这款小喇叭 100个，则第二次购进这款小喇叭 200个；
（2）解：设每个小喇叭的进价为m元，
由题意得，
解得m≤4，
∴m的最大值为4，
答：每个小喇叭的进价最多为4元.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个，根据“ 第二次购买的单价比第一次便宜1元 ”列分式方程求出x的值并检验解答即可；
（2）设每个小喇叭的进价为m元，根据“ 两次售出的总利润不低于400元 ”列不等式，求出m的最大值解答即可．
21．【答案】（1）360
（2）解：由题意知，C组人数为：（人），
补充条形统计图如下：

（3）解：(人)，
答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，
（4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∴一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵D所占扇形的圆心角为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：；
【分析】（1）根据D组人数除以圆心角所占百分比求出调查学生总数即可；
（2）根据总数减去其它组人数求出C组人数，然后补全条形统计图即可；
（3）让总人数乘以样本中参加篮球社团的占比解答即可；
（4）画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
22．【答案】（1）解：设摩天轮的直径为d米，由题意得：
3.14d=0.22×20×60，
解得： d≈84.1；
答：摩天轮的直径为84.1米.
（2）解：连接BB'， CD， BD，B'D，延长BB'交CD于点 H，如图所示：
由题意得：BB'=AA'=24m，AB=A'B'=CH=1.6m，∠DBH=31°，∠DB'H=35°，设DH= xm，
∴在Rt△DBH中，
在Rt△DB'H中，
∵BH-B'H =BB'，
解得： x=100.8，
∴CD=DH+CH=100.8+1.6=102.4m；
答：地面到摩天轮顶端的完全高度CD约为102.4米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）设摩天轮的直径为米，根据圆的周长列式计算即可；
（2）连接，，，，延长交于点，求出，设DH= xm，然后在Rt△DBH和Rt△DB'H中根据正切的定义求出BH和B'H长，根据BH-B'H =BB'列方程求出x的值，解答即可．
23．【答案】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为 代入C (0， 3)后，得： 解得： a=1，
∴抛物线的解析式：
（2）解：由(1)知， A (1， 0)、B (3， 0)；
设直线 BC 的解析式为： y=kx+3，代入点 B 的坐标后，得：3k+3=0， k=-1，
∴直线 BC： y=-x+3；
由(1)知：抛物线的对称轴： x=2，则 D (2， 1)；
即：是直角三角形，且AD⊥CD；

（3）解：由题意知： EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB 与△FED 相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点 D 纵坐标代入抛物线的解析式中，得： 解得
当 时，
当 时，
②∠EDF=90°，
则直线 AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
解得
当x=1 时， y=-x+3=2；
当x=4 时， y=-x+3=-1：
∴、；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理的逆定理；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）先求出点B和C的坐标，求出直线BC的解析式，进而得到点D的坐标，得到△ACD为直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）得到EF∥y轴，即可得到∠FED=∠OCB，当∠DFE=90°，即 DF∥x轴，bay=1代入求出横坐标即可；当∠EDF=90°，求出直线AD的解析式，联立抛物线和直线AD的解析式求出交点坐标解答即可．
24．【答案】（1）BP=CQ
（2）解：理由如下：
∵△CPQ 是等腰直角三角形， ∠BAC=90°， AB=AC，
∵∠BCP+∠ACP=∠ACQ+∠ACP=45°，
∴∠BCP=∠ACQ，
∴△CBP∽△CAQ，

（3）解：连接BD，如图所示，
∵四边形ABCD与四边形DPEF 是正方形， DE与PF交于点Q，
∴△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，
∵∠BDP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=45°，
∴∠BDP=∠CDQ，
∴△BDP∽△CDQ，
在Rt△PCD中，
设CD=x，则CP=x-4，
又∵正方形DPEF 的边长为
解得x1=-3 (舍去)，
∴正方形ABCD的边长为7.
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解： (1)∵△APQ是等腰直角三角形， ∠PAQ=90°，
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AP=AQ，∠BAP+∠PAC=∠CAQ+∠PAC，
∴∠BAP=∠CAQ.
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴BP=CQ；
故答案为：BP=CQ；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS得到，然后根据对应边相等解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质，利用两边成比例且夹角相等得到，然后根据对应边成比解答即可；
（3）连接，根据正方形的性质得到和都是等腰直角三角形，根据（2）的解答过程得到，即可得到的长，再在Rt△PCD中根据勾股定理求出CD长解答即可．
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