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二次函数压轴题 典型考点预测题 2026年初中数学中考复习备考
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为，抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为．
(1)求的值及点的坐标．
(2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由．
(3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．若点与点重合，点恰好落在上，求的值．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是射线上方抛物线上的一动点，且在对称轴左侧，过点作轴交抛物线于点，过点作交线段于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线经过点，点为点的对应点，点为新抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程．
3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线l，点A与点O关于直线l对称．点P在直线上，连接、分别交抛物线于点B、C，设点P的横坐标为m．
(1)求点A的坐标；
(2)当时，m的值为 ；
(3)当时，求m的取值范围；
(4)作点P关于点B的对称点，点P关于点C的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出m的取值范围．
4．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为顶点，且．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图，是此二次函数图象上第四象限内一动点，是直线上一动点，且，记直线，当为何值时，有最大值？并求此时点的坐标；
(3)依据（2）中结论，点是第四象限内二次函数图象对称轴上一动点，过点作，交二次函数图象于点，若，试求点到对称轴的距离．
5．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx－5（a，b是常数，a0）的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（5，0）．动直线y＝t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q（点P在Q的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动直线y＝t与y轴交于点C，若CQ=3CP，求t的值；
（3）将抛物线y＝ax2＋bx－5在x轴下方的部分沿x轴翻折，若动直线y＝t与翻折后的图像交于点M、N，点M、N能否是线段PQ的三等分点？若能，求PQ的长度；若不能，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，顶点坐标是．
(1)求抛物线L的表达式；
(2) M点是线段上的一个动点，N是位于抛物线第二象限上的动点，线段与交于点G；
当点M的坐标为时，是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由；
当，且时，求点M的坐标．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是轴下方抛物线上一点，连接、、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，在（2）的条件下，连接、、，当的面积最大时，求的最小值．
9．定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“关联对称二次函数”．例如：的“关联对称二次函数”为．
(1)的“关联对称二次函数”为________，的“关联对称二次函数”为________；
(2)关于“关联对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”；
②二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身；
③的“关联对称二次函数”为；
④任意两个“关联对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点．
(3)如图，二次函数与其“关联对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，求出的值．
10．定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）．
(1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由；
(2)求二次函数的解析式；
(3)点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m．
①求证：点Q是线段的中点；
②当时，求线段的最大值．
(4)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围．
11．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，点P是二次函数的图象上一点，且在对称轴右侧，在直线上方，点D是点B关于y轴的对称点，连接交二次函数图象的对称轴于点E，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，将二次函数的图象沿着射线的方向平移，平移后的二次函数图象与x轴的两个交点中，右边的交点为点F，连接，．设平移后的二次函数图象的对称轴为直线，当点F不与点A重合，且时，请直接写出m的取值范围．
12．综合与探究
如图1，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积
参考答案
1．(1)，
(2)不能，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了一次函数、二次函数综合、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据待定系数法解题即可；
（2）求出点的坐标，根据抛物线经过点，对称轴为直线，可以推出抛物线上纵坐标为2的另一个点的坐标，进而求解；
（3）求出点的坐标，根据待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：将，代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴顶点；
（2）解：点在（第一象限）上，到轴的距离为，
∴，
当时，，
解得或，
或，
抛物线经过点，对称轴为直线，
经过点和，
不能经过点；
（3）解：当重合时，则，
由题意知是的中点，
，
点恰好落在上，经过点，
解得．
2．(1)
(2)，最大值为
(3)所有符合条件的点的横坐标为或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求出直线解析式为．过点作轴交于点，交对称轴于点，设，，则，，由，得到，根据轴得到，
因此在中，，从而，即可得到当时，有最大值，此时．将向下平移个单位得，作点关于抛物线对称轴的对称的点，连接，根据平移及轴对称可得，因此，根据两点间距离公式求出，即可解答；
（3）设抛物线向上平移a个单位长度，向右平移个单位长度，其中，则新抛物线为，根据新抛物线经过点，求出a的值，得到新抛物线为，，证明，得到，求出，得到．设，分点F在x轴上方和下方两种情况，根据列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，且称轴是直线，
∴，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：对于抛物线，令，则，
∴，
设过点，的直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为：．
过点作轴交于点，交对称轴于点，
设，，
则，
．
∵，，
∴，，，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴
，
∴当时，有最大值，
此时．
将向下平移个单位得，作点关于抛物线对称轴的对称的点，连接，
∵向下平移个单位得，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点与点关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的最大值为．
（3）解：∵，，
∴，
∵抛物线沿射线方向平移，
∴设抛物线向上平移a个单位长度，向右平移个单位长度，其中
∴新抛物线为
∵新抛物线经过点，
∴，
解得或（舍去），
∴抛物线向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，新抛物线为，
∴点平移后的对应点为．
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
∵抛物线与轴交于，两点，
∴点A与点B关于抛物线的对称轴是直线对称，
∴，
∴，
∴，
∴．
设
当点F在x轴上方时，即图中点，过点作轴于点，
∴，，
∵，即，
解得（不合题意，舍去）或．
当点F在x轴下方时，即图中点，过点作轴于点，
∴，，
∵，即，
解得（不合题意，舍去）或．
综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或．
3．(1)
(2)2
(3)
(4)或
【分析】（1）根据二次函数对称轴公式确定对称轴，再根据点A与点O关于对称轴对称，求出点A的坐标；
（2）根据二次函数的轴对称性和确定m的值；
（3）根据中点坐标公式确定的中点D点坐标，再根据确定点C、D之间的位置关系，进而确定纵坐标的大小关系，得到m的取值范围；
（4）当与点O重合时，则B是的中点，当与点A重合时，则C是的中点，根据这两种特殊位置确定m的临界值，进而m的取值范围．
【详解】（1）解：已知抛物线的对称轴为直线l，点A与点O关于直线l对称，
∴对称轴直线l：，
∴点A的坐标为；
（2）解：∵点和点关于抛物线对称轴直线对称，若点P也在对称轴上，则整个图形关于直线对称，交点B和C也关于直线对称，
∴，
∴；
（3）解：设的中点为D，
∵，，
∴，，
当C，D重合时，得：，
解得：，，
∵，
∴D点在C点的下方，靠近A的位置，即，
∴；
（4）解： ∵点P关于点B的对称点，点P关于点C的对称点，
当与点O重合时，则B是的中点，
∵，，
∴，
将点B的坐标代入，得：，
解得：；
当与点A重合时，则C是的中点，
由（3）可得，
解得：，，
∵线段与线段有公共点，
∴m的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数、中点坐标公式、对称性，解题关键是确定特殊位置、特殊情况时的临界值．
4．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）易得顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，进而表示出点的坐标，将点、的坐标代入直线可表示出，根据二次函数的性质即可确定最值；
（3）过作轴，轴，与交于点，设抛物线的对称轴为直线，过作于点，证明，可得出，，进而表示出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数的表达式求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，将两点坐标代入得：
，解得，
此二次函数的表达式是．
（2）解：，
，
设直线的表达式为，
将点，代入得，
，解得，
直线的表达式为，
，
，
，
，
是此二次函数图象上第四象限内一动点，
，，，解得，
，
将点，代入直线得：
，
解得，
，，
当时，有最大值，此时，即．
（3）解：由（2）得，设，则，
如图，过作轴，轴，与交于点，设抛物线的对称轴为直线，过作于点，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
或，即或，
把代入，得，
解得，与均不符，舍去，
把代入，得，
解得，
，
，
此时，点的横坐标为，
点到对称轴的距离是．
5．（1） ；（2）-8或7；（3）能，
【分析】（1）将点A，点B的坐标代入抛物线，解方程组即可求出抛物线解析式；
（2）分y＝t在x轴的上方或在x轴下方两种进行讨论，根据抛物线的对称性和CQ=3CP即可求出点P，点Q的横坐标，将点Q的坐标代入抛物线即可求得t的值；
（3）根据对称性可得翻折后的抛物线的解析式，再根据点P，点Q是直线y=t与抛物线，点M，点N是抛物线的交点，联立方程，求得点P，Q，M，N的坐标，再利用点M、N是线段PQ的三等分点，得出PM=MN=NQ，据此求出t的值，即可求出线段PQ的长．
【详解】解：（1）∵A（－1，0），B（5，0）在抛物线上，
∴，解得：，
∴二次函数关系式为y＝x2－4 x－5；
（2）当y＝t在x轴的上方，如图，
抛物线的对称轴，与直线y＝t交于点H，
∴CH=2，
根据抛物线的对称性可得，PH=QH，
∵CQ=3CP，
∴PH=CH=2，QH=2CH=4，
∴CQ=6，
∴点Q的坐标为，
∵点Q在抛物线y＝x2－4 x－5上，代入得，
，
当y＝t在x轴的上方，如图，
此时，根据抛物线的对称性可得，
CH=HQ，
∵CQ=3CP，
∴CP=PH=1，HQ=2CP=2，
∴点P的坐标为，
∵点P在抛物线y＝x2－4 x－5上，代入得，
，
综上所述，t＝或7 ；
（3）点M、N可以是线段PQ的三等分点，此时，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线y＝ax2＋bx－5在x轴下方的部分沿x轴翻折，
∴点E与点D关于x轴对称，点E的坐标为，
∴翻折后的抛物线解析式为：，
∵直线y=t与抛物线交于P，Q两点，
∴ ，解得：，
∴点P的坐标为，点Q的坐标为，
∵直线y=t与抛物线交于M，N两点，
∴ ，解得：,
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
要使点M、N是线段PQ的三等分点，则PM=MN=NQ，
，
解得：，
∴,
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数图像和性质，抛物线的对称性，分类讨论思想，抛物线与一次函数的交点坐标等知识，熟练掌握二次函数的图像和性质以及分类讨论思想是解决本题的关键．
6．(1)
(2)存在，最大值为；
【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的表达式为，代入点可求出a的值，再将顶点式转换为一般式即可求解．
（2）待定系数法求出直线的解析式，过点N作轴，设点N坐标，通过证，将线段比转化为坐标比，进而建立关于点N横坐标的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值.
根据几何构造添加辅助线（平行线、垂线），作且，过点P作交于H，连接并延长交y轴于点Q，过H点作，交y轴于点S，过点P作，则轴，轴，四边形是矩形，利用平行线与角度关系得到，在设，勾股定理求出，再利用线段的等量关系与和差计算得到，通过证明求出线段、的长度，设， ，然后证明 进而得到线段、的长度，再由四边形是平行四边形可得，结合线段关系求出线段、的长度，最后用含a的式子表示出N点坐标，代入抛物线解析式求出a的值，进而得到线段的长度即可反推出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线L的顶点坐标是，
∴设抛物线L的表达式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线L的表达式为，即．
（2）解：存在最大值，理由如下：
设直线的解析式为：，
把、代入得，
解得，
∴直线的解析式为：，
如图，过点N作轴交于点K，

设，则，
∴，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值为．
如图，作，过点P作交于H，连接并延长交y轴于点Q，过H点作，交y轴于点S，过点P作，则轴，轴，四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，设，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
将点N代入中，解得或（舍），
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，根据几何构造添加辅助线，利用三角形相似转化线段比是解题的关键．
7．(1)
(2)面积的最大值为，此时点P的坐标为
(3)存在，Q的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即取最大值，此时的面积最大，据此即可求解；
（3）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解；
【详解】（1）解：把代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由可得，，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
，
，
，
∵轴，轴，
，
∴为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
当时，即取最大值，此时的面积最大，
则；
（3）解：存在．
当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点，
∵与关于轴对称，
，
又 ∵，
，
，
，
，
同理可得直线解析式为，
设直线解析式为，将代入得，，
，
，
由，
解得或，
；
当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点，
，
同理可得直线解析式为，
，
，
，
，
联立，
解得或，
，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考査了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）作轴交于点，求得所在直线的函数表达式，设点的坐标为，则点的坐标为，用含的二次函数表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）作轴交抛物线于点，则点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，作点关于轴的对称点，推出当、、、四点在一条直线上时，最小，最小值为的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：将、代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：作轴交于点，
在中，令，得，
点的坐标为，
由、可得所在直线的函数表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
，
当时，最大，此时点的坐标为；
（3）解：由（2）可知当的面积最大时，点的坐标为．
由、可得抛物线的对称轴为，
作轴交抛物线于点，则点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，作点关于轴的对称点，连接、、，
点的坐标为，，，
，
，，
，
当、、、四点在一条直线上时，最小，最小值为的长，
过点作轴于点，
，点与点关于轴对称，
点的坐标为，
，，轴，
，，
，
的最小值为．
9．(1)；
(2)①②③
(3)或或或
【分析】（1）根据“关联对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得；
（2）根据“关联对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误；
（3）先根据“关联对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：由题意得：的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线，
所以的“关联对称二次函数”为；
二次函数的对称轴为直线，
则二次函数的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线，
设二次函数的“关联对称二次函数”的一次项系数为，
所以，解得，
所以的“关联对称二次函数”为；
（2）解：∵，
∴二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”，则结论①正确；
∵，互为“关联对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同，
∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同，
∴二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身，则结论②正确；
的对称轴为直线，
则的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线，
设的“关联对称二次函数”的一次项系数为，
则，解得，
∴的“关联对称二次函数”为，则结论③正确；
若二次函数为，则其“关联对称二次函数”为，
∵方程的根的判别式为没有实数根，
∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误；
综上，结论正确的是①②③；
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴其“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线，
设二次函数的一次项系数为，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
将代入二次函数得：，
将代入二次函数得：，
∴，，
∵点关于直线的对称点分别为，，
∴，，即，，
∴，，
∵四边形的邻边之比为，
∴或，
∴或，
解得或或或，
所以的值为或或或．
10．(1)二次函数是“双正二次函数”，理由见解析
(2)
(3)①见解析；②5
(4)
【分析】（1）求出二次函数的顶点A的坐标，再判断点A是否在直线上，即可求解；
（2）求出点B的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）①用m表示出点M，N，Q的坐标，可得到的长，即可解答；②用m表示出的长度，再结合二次函数的性质解答即可；
（4）根据题意可得当时，二次函数的最大值为12，可得到当时，函数的最大值为22，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：二次函数是“双正二次函数”，理由如下：
∵，
∴点A的坐标为，
对于，当时，，
∴点A在直线上，即二次函数是“双正二次函数”；
（2）解：∵，
∴该函数图象的顶点坐标为点，
∵二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A，
∴，解得：或（舍去），
∴二次函数的解析式为；
（3）解：①∵点M的横坐标为m，
∴点，
∵轴，
∴点，，
∴，，
∴，即点Q是线段的中点；
②
当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小，
∵当时，，当时，，当时，，
∴当时，线段的最大值为5；
（4）解：如图，
由（2）得二次函数的图象的顶点坐标为，
即当时，二次函数的最大值为12，
对于，当时，y随x的增大而减小，
当时，，
∴当时，函数的最大值为22，
∵函数的最大值为，
∴，即，
∴此时函数的最小值为，
对于，当时，
，解得：，
∴，即，
∴n的取值范围为．
11．(1)
(2)
(3)且
【分析】（1）将、代入求解即可；
（2）令，求出，根据轴对称的性质得到，求出二次函数对称轴，可知E点横坐标为1，根据可知P、D关于点E对称，设，根据中点坐标公式计算即可；
（3）先求出原二次函数顶点及对称轴，得到顶点横坐标平移的单位，根据，得到直线上点的平移规律，可知顶点纵坐标平移的单位，进而可知平移后抛物线的顶点式为：，求出右交点的坐标为，令，根据可知，进而求出，设，则，，得到，求出，则，进而得到，再根据不与重合得到即可．
【详解】（1）解：将、代入得，
解得：，
∴因此二次函数表达式为：；
（2）解：令，则，解得：，
∴，
∵点D是点B关于y轴的对称点，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴E点横坐标为1，
∵，
∴P、D关于点E对称，
设，
则，
解得，
∴，
即；
（3）解：原二次函数配方得顶点式：，即原顶点为，原对称轴为直线，
∵平移后的二次函数图象的对称轴为直线，
∴平移后顶点横坐标为m，
∴顶点横坐标平移了个单位，
∵，，
∴B向左平移3个单位，向下平移个单位得到点C，
即在直线上，点每向左平移1个单位，向下平移个单位，
∵沿着射线的方向平移，
∴顶点纵坐标平移了个单位，
即平移后顶点纵坐标为，
∴平移后抛物线的顶点式为：，
令，
即，
∵要存在两个交点，
∴，
解得，
解得，
即右交点的坐标为，
令
∵，，、都在轴上，
∴，
∵，
∴，
即，
可知，
设，
则，，
∴
解得，则；
解得（舍去）或；
∴，
∴，
∴，
∴，
∵不与重合，
∴，
解得：（舍去），，
即，
∴，
即，
综上所述，且．
12．(1)
(2)存在，点的坐标是或
(3)
【分析】（1）已知抛物线与x轴交于、，与y轴交于，将三点坐标代入，解三元一次方程组即可得到a、b、c的值．
（2）先求直线的解析式为，再分析为等腰直角三角形得，最后设点（），结合分情况讨论．
（3）设，过Q作轴交于G，表示出的长度，根据二次函数的性质求出的最大值，再利用三角形面积公式计算的最大面积．
【详解】（1）解：将点、、代入，得方程组，
将代入前两个方程，得，
∵，
∴，
代入，
解得，，
∴抛物线解析式为．
（2）解：设直线为，代入、，得，
解得，，
∴直线的解析式为．
∵，为等腰直角三角形，
∴．
分两种情况：
情况一：点F在x轴上方
∵，
∴，
连接，过C作于E，如图，
在中，
；
∵，
∴；
∴，
设（），
∴，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理得，
，
代入抛物线，
解得（舍去），
代入抛物线得，
∴，
情况二：点F在x轴下方，
过C作交FB延长线于点E，连接，如图，
∵，
∴，
∴的补角，
在中，
∵，
∴，
∴，
设（），
∴，
∴，
在中，
由勾股定理得，，
代入抛物线，
解得，（舍去），
代入抛物线得，
∴．
综上，点F的坐标为或．
（3）解：设，
过Q作轴交于，如图，
∴．
∵，
∴，
当时，取得最大值，
∴．
【点睛】解题关键在于代入已知点求解析式，联立方程求交点，设点，表示线段用二次函数，求最值，构造三角函数转化线段和利用垂线段最短求最值．易错点包括：忽略点F在x轴下方的情况、二次函数最值的计算错误、几何模型的构造不当．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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