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浙江杭州市萧山区朝晖初级中学等校2025-2026学年第二学期七年级期中学情调研数学调研卷
1．如图，直线a， b被直线c 所截，则∠1与∠2是(　　)
A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、直线a，b被直线c所截，∠1与∠2位于直线a，b之间，且在直线c的两侧，符合内错角的定义，A正确；
B、同位角需在截线的同侧，被截线的同方向，不符合∠1与∠2的位置特征，B错误；
C、同旁内角需在截线的同侧，被截线之间，不符合∠1与∠2的位置特征，C错误；
D、对顶角是由两条直线相交形成的对顶的角，不符合∠1与∠2的位置特征，D错误．
故答案为：A.
【分析】先根据内错角，同位角，同旁内角，对顶角的定义，再对照∠1与∠2的位置：两个角在被截直线a，b之间，且在截线c的两侧，符合内错角的定义，排除其他选项，得出答案．
2．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：A、图案与原图的形状，大小，方向完全一致，是通过平移得到的，A正确；
B、图案方向发生了旋转，不符合平移的特征，B错误；
C、图案方向发生了翻转，不符合平移的特征，C错误；
D、图案方向发生了旋转，不符合平移的特征，D错误．
故答案为：A.
【分析】先根据平移的核心性质：平移不改变图形的形状，大小和方向，仅改变位置；再逐一对比选项：A的图案与原图完全相同，方向未变，符合平移；B，D方向改变，属于旋转；C方向翻转，均不符合平移，故排除．
3．下列说法错误的是(　　)
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，这是几何中的基本定理，A错误；
B、同旁内角互补的前提是两直线平行，题目未给出“两直线平行”的条件，直接说“同旁内角互补”是错误的，B正确；
C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，C错误；
D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，D错误．
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质（对顶角相等），平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），平行公理（在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行），垂线的概念与性质（在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直），逐项分析判断即可．
4．化简 结果正确的是(　　)
A． B． C．x5 D．x6
【答案】B
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】先根据积的乘方公式(ab)n=anbn，将原式拆分为(-1)3和(x2)3两部分；再根据幂的乘方公式(am)n=amn，计算(x2)3=x2×3=x6；最后计算(-1)3=-1，合并得到-x6．
5．用加减消元法解方程组 下列做法正确的是(　　)
A．①+②×5 B．①×5-② C．①+② D．①-②
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：因为方程①中y的系数为-2，方程②中y的系数为+2，二者互为相反数．所以将两式直接相加，即可消去y，即①+②，得(5x-2y)+(x+2y)=3+(-1)=2，解得6x=2．所以 正确的是①+②.
故答案为：C.
【分析】先观察两个方程中未知数的系数，根据加减消元法的原理，当同一未知数的系数互为相反数时，直接将两个方程相加即可消去该未知数；再通过①+②消去y，简化计算即可．
6．如图，能判定AC∥BE的条件是(　　)
A．∠A+∠CBE=180° B．∠A+∠ABD=180°
C．∠C+∠CBE=180° D．∠C+∠ABD=180°
【答案】C
【知识点】同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∠A+∠CBE=180°，∠A与∠CBE不是同旁内角，无法判定平行，A错误；
B、∠A+∠ABD=180°，∠A与∠ABD不是同旁内角，无法判定平行，B错误；
C、∠C+∠CBE=180°，∠C与∠CBE是直线AC，BE被直线BC所截形成的同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，因此可判定AC∥BE，C正确；
D、∠C+∠ABD=180°，∠C与∠ABD不是同旁内角，无法判定平行，D错误．
故答案为：C.
【分析】先根据平行线的判定定理，明确判定两直线平行需找到对应的同位角，内错角相等或同旁内角互补；再逐一分析选项，判断每个条件中的角是否为AC，BE被截线所截形成的同旁内角，其中只有C的∠C与∠CBE是同旁内角，且满足互补条件，可判定AC∥BE．
7．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金 两、 两，依题意，可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每头牛值金 两，每头羊值金 两，则依据题意得
.
故答案为：B.
【分析】设每头牛值金 两，每头羊值金 两，根据“ 有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两 ”，据此列出方程组即可.
8． 甲、乙两长方形的边长如图所示(m为正整数)，其周长分别为 其面积分别为为 则周长与面积的大小关系正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：依题意，得L甲=2[(m+7)+(m+1)]=4m+16，L乙=2[(m+4)+(m+2)]=4m+12.
∵4m+16>4m+12，
∴L甲>L乙．
S甲=(m+7)(m+1)=m2+8m+7，
S乙=(m+4)(m+3)=m2+6m+8，
S甲-S乙=(m2+8m+7)-(m2+6m+8)=2m-1．
∵m为正整数，
∴2m-1>0，即S甲->S乙．
综上，L甲>L乙且S甲->S乙．
故答案为：D.
【分析】先根据长方形周长公式，分别计算甲的周长L甲=4m+16，乙的周长L乙=4m+12并相减比较大小，得出L甲>L乙；再根据长方形面积公式，分别计算甲的面积S甲=m2+8m+7，乙的面积S乙=m2+6m+8并作差得到2m-1，结合m为正整数判断差为正，得出S甲->S乙，最后结合选项选出答案．
9．若(x+52)(2x-21)化简后为 则p-10q的值为(　　)．
A．10090 B．1922 C．-262 D．-1922
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：.
∵原式化简后为，
∴-q=83，p=-1092，即q=-83，q=-1092.
∴p-10q=-1092-10×(-83)=-1092+830=-262.
故答案为：C.
【分析】先用多项式乘法法则展开(x+52)(2x-21)，合并同类项得到标准二次三项式；再与题目给出的形式对比，通过对应项系数相等求出q=-83，q=-1092；最后将q，p代入p-10q，进行计算得出-262．
10． 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列两个结论： ①若n=5， 则 y=1； ②若 (其中4m≠n)，则y=1或 y=3．则对这两个结论判断正确的是(　　)
A．①对、②错 B．①错、②对 C．都错 D．都对
【答案】A
【知识点】零指数幂；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：依题意，得m=x+2y，n=2y+3x，m+n=8，即(x+2y)+(2y+3x)=8，化简得4x+4y=8，即x+y=2．
结论①：若n=5，则y=1
由n=2y+3x=5，结合x+y=2（即x=2-y），代入得2y+3(2-y)=5，解得y=1，故结论①正确．
结论②：若 （其中4m≠n），则y=1或y=3
4m-n=4(x+2y)-(2y+3x)=4x+8y-2y-3x=x+6y
已知x4m-n=1，且4m≠n（即x+6y≠0），分三种情况讨论：
当x=1时，14m-n=1，∵x+y=2，∴y=1；
当x=-1时，(-1)4m-n=1，需指数为偶数，∵x+y=2，∴y=3，此时指数x+6y=-1+18=17（奇数），不满足条件；
当指数4m-n=0时，x0=1，但4m≠n，故舍去；
综上，仅y=1成立，结论②错误．
因此，①对，②错．
故答案为：A.
【分析】先根据题目约定的运算规则，写出m=x+2y，n=2y+3x和m+n=8，再根据m+n=8化简得到x+y=2．分析结论①时，先根据n=5和n=2y+3x列出方程，再根据x=2-y代入消元，解出y=1，判定结论①正确．分析结论②时，先根据4m-n的表达式，计算得到4m-n=x+6y，再根据x4m-n=1的三种情况分别讨论（当x=1时，当x=-1时，当指数4m-n=0时），结合x+y=2的条件，发现只有y=1符合要求，判定结论②错误，最后根据两个结论的对错选出正确选项．
11．请写出二元一次方程2x-y=5的一个解　 　．
【答案】(答案不唯一)
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵二元一次方程2x-y=5有无数组解，
∴我们可以任意给定一个x的值，求出对应的y值．
令x=3，代入方程，得，解得y=1.
所以方程的一个解为(答案不唯一)．
故答案为：(答案不唯一).
【分析】先根据二元一次方程解的定义，明确只要能使方程左右两边相等的一对x，y值，就是方程的解；再采用赋值法，给定一个x的值，如令x=3，代入方程求出对应的y=1，即可得到一组解．
12．如图， AO⊥BO， ∠BOC 比∠AOC 大4°，则∠AOC=　 　度．
【答案】43
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，即∠AOC+∠BOC=90°．
又∵∠BOC比∠AOC大4°，
∴∠BOC=∠AOC+4°，代入得∠AOC+(∠AOC+4°)=90°，2∠AOC+4°=90°，2∠AOC=86°，∴∠AOC=43°．
故答案为：43.
【分析】先根据AO⊥BO得到∠AOB=90°，即∠AOC+∠BOC=90°；再根据∠BOC比∠AOC大4°，设∠AOC为未知数，列出方程∠AOC+(∠AOC+4°)=90°；最后解方程求出∠AOC=43°．
13． 悬臂在生活中应用广泛，图 1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图 2为其平面示意图，若底座AO⊥OM于点O，将∠A， ∠B 调整至∠A=153°， ∠B=32°，要使CD∥OM，需将∠C的大小调整为　 　度．
【答案】149
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：∵底座AO⊥OM，
∴∠AOM=90°.
∵要使CD∥OM，可构造“铅笔头模型”，即AO，OM，CD被折线A-B-C所截，∴∠A+∠B+∠C+∠AOM=360°.
∵∠A=153°，∠B=32°，∠AOM=90°，
∴∠C=360°-90°-153°-32°=149°.
故答案为：149.
【分析】先根据垂直的定义，确定AO与OM的夹角为90°；再根据平行线的性质（铅笔头模型），当多条平行线被折线所截时，拐点处的角度和为360°，得出∠A+∠B+∠C+∠AOM=360°；最后代入已知角度，计算得到∠C=149°．
14．已知 那么 　 　．
【答案】27
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵，
∴.
又 ∵，即，
∴.
故答案为：27.
【分析】先根据已知条件a2=3-a，将多项式(a2+2)(a+6)中的a^2替换为3-a，得到(5-a)(a+6)；再展开多项式，得到-a2-a+30；接着再次利用a2=3-a，将-a2替换为a-3，化简计算得到最终结果27．
15．已知 则m+n=　 　．
【答案】11
【知识点】幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵(3m)2=32m=36，
∴2m=6，解得m=3.
∵，
∴n=8.
∴m+n=3+8=11.
故答案为：11.
【分析】先根据幂的乘方运算法则，处理(3m)2=36，由幂的乘方底数不变指数相乘，得到32m=36，再根据同底数幂相等则指数相等，求出m=3；再处理43+43+43+43=2n，先合并同类项得到4×43=44，再将44转化为以2为底的幂28，根据同底数幂相等则指数相等，求出n=8；最后将m=3和n=8相加，得到m+n=11．
16． 如图，把一张长方形纸片ABCD 进行两次折叠，第一次沿EF折叠，第二次沿GF折叠，则 　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠1=180°-2∠EFB.
由第一次折叠性质得∠DEF=∠D'EF，∠EFB=∠D'EF，
由第二次折叠性质得∠GFC=∠GFC'，∠3=180°-2∠GFC，
又∵AD∥BC，
∴∠2=∠D'EF+∠EFG=2∠EFB-∠EFG，
又∠EFB+∠EFG+∠GFC=180°，
∴∠1-∠2=(180°-2∠EFB)-(2∠EFB-∠EFG)=180°-4∠EFB+∠EFG，
∠3=180°-2(180°-∠EFB-∠EFG)=2∠EFB+2∠EFG-180°.
∴.
故答案为：.
【分析】先根据长方形的性质，得到AD∥BC，进而得出∠1=180°-2∠EFB，再结合第一次沿EF折叠的性质，得到∠DEF=∠D'EF，∠EFB=∠D'EF；接着结合第二次沿GF折叠的性质，得到∠GFC=∠GFC'，∠3=180°-2∠GFC；再根据平行线的性质和折叠的对称性，得到∠2=2∠EFB-∠EFG；最后通过平角定义和等量代换，推导出∠1-∠2与∠3的倍数关系，从而求出分式的值．
17．计算：
（1） 2(3a-2b)-6a
（2） (2a-3)(3a+1)
【答案】（1）解：2(3a-2b)-6a
=6a-4b-6a
=-4b
（2）解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)先根据乘法分配律，将2乘进括号(3a-2b)，得到6a-4b，再减去6a，合并同类项后6a与-6a抵消，结果为-4b．
(2)先根据多项式乘法法则展开(2a-3)(3a+1)，分别计算每一项的乘积，得到6a2+2a-9a-3，再合并同类项，将2a-9a合并为-7a，最终得到6a2-7a-3．
18．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①-②，得3y=6，解得y=2，
把y=2代入x+y=3，得x=1．
故原方程组的解为
（2）解：
①×2，得4x-10y=16，
①-②，得7y=-14，解得y=-2，
把y=-2代入①，得2x+10=8，解得x=-1．
故原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)先观察方程组，两个方程中x的系数相同，采用加减消元法，用方程①减去方程②，消去x，得到关于y的一元一次方程3y=6，解得y=2；再将y=2代入方程①，用代入消元法求出x=1，得到方程组的解；
(2)先观察方程组，将方程①乘以2，使x的系数变为4，与方程②中x的系数相同；再用变形后的方程减去方程②，消去x，得到关于y的一元一次方程-7y=14，解得y=-2；最后将y=-2代入原方程①，求出x=-1，得到方程组的解．
19．补全下列证明过程及括号内的推理依据：
如图，已知， AD⊥BC于 D， EF⊥BC于F， ∠3=∠E，求证： AD平分∠BAC.
证明： ∵AD⊥BC， EF⊥BC (已知).
∴　 　(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)，
∴∠1=∠E　 　
∠2=∠3　 　，
又∵∠3=∠E (已知)，
∴∠1=∠2 (等量代换)，
∴AD平分∠BAC 　 　
【答案】AD∥EF；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的意义(或角平分线的定义)
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠1=∠E（两直线平行，同位角相等），∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3=∠E（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的意义/角平分线的定义）．
故答案为：AD∥EF；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的意义(或角平分线的定义).
【分析】先根据已知条件中AD，EF都垂直于BC，利用“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”，得出AD∥EF；再根据平行线的性质，分别推出同位角∠1=∠E，内错角∠2=∠3；接着结合已知∠3=∠E，通过等量代换得到∠1=∠2；最后根据角平分线的定义，证明AD平分∠BAC．
20．如图是由25个边长为1个单位的小正方形组成的5×5网格，且△ABC的顶点与点E都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
（1）将△ABC平移到△DEF，使点A 与点 D 重合，点B 与点 E 重合，请画出△DEF．
（2）若连结AD， CF，则AD与CF之间的位置关系为　 　．
（3）请描述△ABC平移到△DEF的平移方法．
【答案】（1）如图：
△DE为所作三角形.
（2）AD∥CF
（3）解：平移方法1：将△ABC先向上平移 2个单位，再向左平移 2个单位得到△DEF．
平移方法2：将△ABC沿西北方向平移个单位得到△DEF．
(两种方法任选一种)
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解： (2) 如图，
∵平移过程中对应点的连线互相平行，
∴AD∥CF．
故答案为：AD∥CF.
【分析】(1)先根据平移的定义，明确△ABC平移到△DEF的对应关系（A→D，B→E，C→F）；再根据网格，确定点B→点E的平移方向和距离，即点B先向上平移 2个单位，再向左平移 2个单位得到点E，依次找到点A对应点D，点C对应点F，连接三点画出△DEF．
(2)先根据平移的性质，平移前后对应点的连线互相平行；再结合A对应D，C对应F，得出AD与CF的位置关系为平行．
(3)先根据网格，观察点A到点D的坐标变化（横坐标减2，纵坐标加2）；再根据平移的两种描述方式，分别用“分步平移”和“直接平移距离”描述平移方法．
21．定义：关于x，y的二元一次方程 ax+by=c (a≠c≠0)的常数项c未知数x的系数a互换所得到的方程叫“关于x系数的交换方程”，例如：x+3y=7的关于x系数的交换方程为7x+3y=1．
（1）求方程5x-2y=3与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程组的解．
（2）请说明方程 ax+by=c (a≠c≠0)与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程组的解中的x值与a、b、c无关．
【答案】（1）解：由题得
解得
（2）解：由题得
两式相减得(a-c)x=c-a
由a≠c知a-c≠0，两边除以a-c得x=-1
所以的x值与a、b、c无关
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)先根据题目定义，写出方程5x-2y=3的“关于x系数的交换方程”3x-2y=5；再联立原方程与交换方程，得到二元一次方程组；接着用加减消元法，两式相减消去y，求出x=-1；最后将x=-1代入原方程，求出y=-4，得到方程组的解；
(2)先根据定义，写出方程ax+by=c的“关于x系数的交换方程”cx+by=a；再联立两个方程，得到二元一次方程组；接着用加减消元法，两式相减消去by，得到(a-c)x=c-a；再根据a≠c，两边同时除以a-c，解得x=-1；最后说明x的值恒为-1，与a，b，c无关．
22．如图， AD∥EF， ∠1+∠2=180°.
（1）证明AB∥DG．
（2）若DG是∠ADC的角平分线， ∠B=32°，求∠2的度数．
【答案】（1）证明：∵AD∥EF
∴∠2+∠DAB=180°
∵ ∠1+∠2=180°
∴∠1=∠DAE
∴ AB∥DG
（2）解：∵AB∥DG ，∠B=32°
∴∠CDG=∠B=32°
∵ DG 是∠ADC的角平分线
∴∠1=∠CDG=32°
∵∠1+∠2=180°
∴ ∠2=148°
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）先根据 AD∥EF，利用平行线的性质得到∠2+∠DAB=180°；再结合已知条件∠1+∠2=180°，通过同角的补角相等推出∠1=∠DAB；最后根据内错角相等，两直线平行，证明AB∥DG.
（2）先根据（1）中已证的AB∥DG，利用平行线的性质得到∠CDG=∠B=32°；再结合角平分线的定义，得到∠1=∠CDG=32°；最后根据已知条件∠1+∠2=180°，计算出∠2=148°.
23．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买1只甲型玩偶、2只乙型玩偶和4只丙型玩偶的总价格为360元，购买2只甲型玩偶、3只乙型玩偶和1只丙型玩偶的总价格为310元．
（1）若丙型玩偶的单价为50元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元
（2）在(1)的条件下，某班级计划用 540元全部购买甲、乙两种型号玩偶(两种玩偶都要有)作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案
（3）某班级计划购买 12只甲型玩偶、19只乙型玩偶和 13只丙型玩偶给班级的 44位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元
【答案】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别x元，y元．
由题得
解得
答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别40元，50元
（2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买m只，n只．
由题得40m+60n=540
化简得 2m+3n=27，即
因为m，n都是正整数，
所以方程有4个正整数解，
分别为
所有一共有四种购买方案
（3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别a元，b元，c元．
由题得
解得
共需花费12a+19b+13c=12(10c-460)+19(-7c+410)+13c
=120c-5520-133c+7790+13c=2270
答：该班级共需花费2270元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】(1)先根据题目中“购买1只甲型，2只乙型，4只丙型玩偶总价360元，购买2只甲型，3只乙型，1只丙型玩偶总价310元”的条件，结合丙型玩偶单价为50元，列出关于甲，乙单价的二元一次方程组；再通过加减消元法解方程组，解得，得到甲，乙的单价；
(2)先根据甲，乙的单价和总预算540元，列出关于购买数量的二元一次方程40m+60n=540；再将方程变形为用m表示n的形式，得到，根据m，n为正整数且m必须是3的倍数，找出所有符合条件的正整数解，即，确定四种购买方案；
(3)先根据题目条件，列出关于三种玩偶单价的二元一次方程组，用含c的代数式表示a和b，即；再将其代入总花费的表达式中12a+19b+13c，得到12(10c-460)+19(-7c+410)+13c，化简后消去c，计算得到固定的总花费为2270元．
24．如图，直线MN∥PQ，点A 是MN上一定点，点B 是 PQ上一动点，在AB 的右侧作∠BAC=70°与PQ交于点C，过C作∠ACQ的平分线CD与MN交于点 D，在点B的运动过程中．
（1）如图1，当∠BAM=56°时，求∠ADC的度数．
（2）作∠ABC的平分线BE，交CD所在直线于点 E，
①如图2，当CD∥AB时，求∠BEC的度数．
②如图3，当点 D与点E重合，求∠BEC的度数．
【答案】（1）解：∵∠BAM=56° ，∠BAC=70°
∴∠MAC=∠MAB+∠BAC=126°
∵MN∥PQ
∴∠ACQ=∠MAC=126°
∵ CD平分∠ACQ
∵MN∥PQ
∴∠ADC=∠QCD
∴∠ADC=63°
（2）解：①∵CD∥AB ∠BAC=70°
∴∠ACD=∠BAC=70°
∵ CD平分∠ACQ
∴∠QDC=∠ACD=70°
∵CD∥AB
∴∠ABC=∠QDC=70°
∵BE平分∠ABC
∵CD∥AB
∴∠BEC=∠ABE
∴∠BEC=35°
②设∠ABC=2x°
∵ BE平分∠ABC，∠ABC=2x°
∵MN∥PQ
∴∠AEB=∠CBE=x°
∠MAB=∠ABC=2x°
∵ ∠BAC=70°
∴∠MAC=∠MAB+∠BAC= (2x+70)°
∵MN∥PQ
∴∠ACQ=∠MAC=(2x+70)°
∵ CD平分∠ACQ
∵MN∥PQ
∴∠AEC=∠QCD=(x+35)°
∵∠BEC=∠AEC-∠AEB ∠AEB=x°
∴∠BEC=35°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)先根据角度的和差关系，由∠BAM=56°和∠BAC=70°，计算∠MAC=126°；再根据两直线平行，同位角相等，得到∠ACQ=∠MAC=126°；接着由角平分线的定义，算出∠QCD=63°；最后根据两直线平行，内错角相等，得到∠ADC=∠QCD=63°；
(2)①先根据两直线平行，内错角相等，得到∠ACD=∠BAC=70°；再由角平分线的定义，得∠QDC=70°；接着由两直线平行，同位角相等，得到∠ABC=70°；再由角平分线的定义，算出∠ABE=35°；最后由两直线平行，内错角相等，得到∠BEC=∠ABE=35°；
②先设∠ABC=2x°，由角平分线的定义，得∠CBE=x°；再根据两直线平行，内错角相等，得∠AEB=x°；根据两直线平行，同位角相等，得∠MAB=2x°；接着根据角度的和差关系，算出∠MAC=2x+70°，再由两直线平行，同位角相等，得∠ACQ=2x+70°；再由角平分线的定义，得∠QCD=x+35°，再根据两直线平行，内错角相等，得∠AEC=x+35°；最后根据角度的和差关系，由∠BEC=∠AEC-∠AEB，得到∠BEC=35°．
1 / 1浙江杭州市萧山区朝晖初级中学等校2025-2026学年第二学期七年级期中学情调研数学调研卷
1．如图，直线a， b被直线c 所截，则∠1与∠2是(　　)
A．内错角 B．同位角 C．同旁内角 D．对顶角
2．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是(　　)
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．化简 结果正确的是(　　)
A． B． C．x5 D．x6
5．用加减消元法解方程组 下列做法正确的是(　　)
A．①+②×5 B．①×5-② C．①+② D．①-②
6．如图，能判定AC∥BE的条件是(　　)
A．∠A+∠CBE=180° B．∠A+∠ABD=180°
C．∠C+∠CBE=180° D．∠C+∠ABD=180°
7．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金 两、 两，依题意，可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8． 甲、乙两长方形的边长如图所示(m为正整数)，其周长分别为 其面积分别为为 则周长与面积的大小关系正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．若(x+52)(2x-21)化简后为 则p-10q的值为(　　)．
A．10090 B．1922 C．-262 D．-1922
10． 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列两个结论： ①若n=5， 则 y=1； ②若 (其中4m≠n)，则y=1或 y=3．则对这两个结论判断正确的是(　　)
A．①对、②错 B．①错、②对 C．都错 D．都对
11．请写出二元一次方程2x-y=5的一个解　 　．
12．如图， AO⊥BO， ∠BOC 比∠AOC 大4°，则∠AOC=　 　度．
13． 悬臂在生活中应用广泛，图 1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图 2为其平面示意图，若底座AO⊥OM于点O，将∠A， ∠B 调整至∠A=153°， ∠B=32°，要使CD∥OM，需将∠C的大小调整为　 　度．
14．已知 那么 　 　．
15．已知 则m+n=　 　．
16． 如图，把一张长方形纸片ABCD 进行两次折叠，第一次沿EF折叠，第二次沿GF折叠，则 　 　．
17．计算：
（1） 2(3a-2b)-6a
（2） (2a-3)(3a+1)
18．解方程组：
（1）
（2）
19．补全下列证明过程及括号内的推理依据：
如图，已知， AD⊥BC于 D， EF⊥BC于F， ∠3=∠E，求证： AD平分∠BAC.
证明： ∵AD⊥BC， EF⊥BC (已知).
∴　 　(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)，
∴∠1=∠E　 　
∠2=∠3　 　，
又∵∠3=∠E (已知)，
∴∠1=∠2 (等量代换)，
∴AD平分∠BAC 　 　
20．如图是由25个边长为1个单位的小正方形组成的5×5网格，且△ABC的顶点与点E都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
（1）将△ABC平移到△DEF，使点A 与点 D 重合，点B 与点 E 重合，请画出△DEF．
（2）若连结AD， CF，则AD与CF之间的位置关系为　 　．
（3）请描述△ABC平移到△DEF的平移方法．
21．定义：关于x，y的二元一次方程 ax+by=c (a≠c≠0)的常数项c未知数x的系数a互换所得到的方程叫“关于x系数的交换方程”，例如：x+3y=7的关于x系数的交换方程为7x+3y=1．
（1）求方程5x-2y=3与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程组的解．
（2）请说明方程 ax+by=c (a≠c≠0)与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程组的解中的x值与a、b、c无关．
22．如图， AD∥EF， ∠1+∠2=180°.
（1）证明AB∥DG．
（2）若DG是∠ADC的角平分线， ∠B=32°，求∠2的度数．
23．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买1只甲型玩偶、2只乙型玩偶和4只丙型玩偶的总价格为360元，购买2只甲型玩偶、3只乙型玩偶和1只丙型玩偶的总价格为310元．
（1）若丙型玩偶的单价为50元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元
（2）在(1)的条件下，某班级计划用 540元全部购买甲、乙两种型号玩偶(两种玩偶都要有)作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案
（3）某班级计划购买 12只甲型玩偶、19只乙型玩偶和 13只丙型玩偶给班级的 44位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元
24．如图，直线MN∥PQ，点A 是MN上一定点，点B 是 PQ上一动点，在AB 的右侧作∠BAC=70°与PQ交于点C，过C作∠ACQ的平分线CD与MN交于点 D，在点B的运动过程中．
（1）如图1，当∠BAM=56°时，求∠ADC的度数．
（2）作∠ABC的平分线BE，交CD所在直线于点 E，
①如图2，当CD∥AB时，求∠BEC的度数．
②如图3，当点 D与点E重合，求∠BEC的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、直线a，b被直线c所截，∠1与∠2位于直线a，b之间，且在直线c的两侧，符合内错角的定义，A正确；
B、同位角需在截线的同侧，被截线的同方向，不符合∠1与∠2的位置特征，B错误；
C、同旁内角需在截线的同侧，被截线之间，不符合∠1与∠2的位置特征，C错误；
D、对顶角是由两条直线相交形成的对顶的角，不符合∠1与∠2的位置特征，D错误．
故答案为：A.
【分析】先根据内错角，同位角，同旁内角，对顶角的定义，再对照∠1与∠2的位置：两个角在被截直线a，b之间，且在截线c的两侧，符合内错角的定义，排除其他选项，得出答案．
2．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：A、图案与原图的形状，大小，方向完全一致，是通过平移得到的，A正确；
B、图案方向发生了旋转，不符合平移的特征，B错误；
C、图案方向发生了翻转，不符合平移的特征，C错误；
D、图案方向发生了旋转，不符合平移的特征，D错误．
故答案为：A.
【分析】先根据平移的核心性质：平移不改变图形的形状，大小和方向，仅改变位置；再逐一对比选项：A的图案与原图完全相同，方向未变，符合平移；B，D方向改变，属于旋转；C方向翻转，均不符合平移，故排除．
3．【答案】B
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，这是几何中的基本定理，A错误；
B、同旁内角互补的前提是两直线平行，题目未给出“两直线平行”的条件，直接说“同旁内角互补”是错误的，B正确；
C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，C错误；
D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，D错误．
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质（对顶角相等），平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），平行公理（在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行），垂线的概念与性质（在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直），逐项分析判断即可．
4．【答案】B
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】先根据积的乘方公式(ab)n=anbn，将原式拆分为(-1)3和(x2)3两部分；再根据幂的乘方公式(am)n=amn，计算(x2)3=x2×3=x6；最后计算(-1)3=-1，合并得到-x6．
5．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：因为方程①中y的系数为-2，方程②中y的系数为+2，二者互为相反数．所以将两式直接相加，即可消去y，即①+②，得(5x-2y)+(x+2y)=3+(-1)=2，解得6x=2．所以 正确的是①+②.
故答案为：C.
【分析】先观察两个方程中未知数的系数，根据加减消元法的原理，当同一未知数的系数互为相反数时，直接将两个方程相加即可消去该未知数；再通过①+②消去y，简化计算即可．
6．【答案】C
【知识点】同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∠A+∠CBE=180°，∠A与∠CBE不是同旁内角，无法判定平行，A错误；
B、∠A+∠ABD=180°，∠A与∠ABD不是同旁内角，无法判定平行，B错误；
C、∠C+∠CBE=180°，∠C与∠CBE是直线AC，BE被直线BC所截形成的同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，因此可判定AC∥BE，C正确；
D、∠C+∠ABD=180°，∠C与∠ABD不是同旁内角，无法判定平行，D错误．
故答案为：C.
【分析】先根据平行线的判定定理，明确判定两直线平行需找到对应的同位角，内错角相等或同旁内角互补；再逐一分析选项，判断每个条件中的角是否为AC，BE被截线所截形成的同旁内角，其中只有C的∠C与∠CBE是同旁内角，且满足互补条件，可判定AC∥BE．
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设每头牛值金 两，每头羊值金 两，则依据题意得
.
故答案为：B.
【分析】设每头牛值金 两，每头羊值金 两，根据“ 有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两 ”，据此列出方程组即可.
8．【答案】D
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：依题意，得L甲=2[(m+7)+(m+1)]=4m+16，L乙=2[(m+4)+(m+2)]=4m+12.
∵4m+16>4m+12，
∴L甲>L乙．
S甲=(m+7)(m+1)=m2+8m+7，
S乙=(m+4)(m+3)=m2+6m+8，
S甲-S乙=(m2+8m+7)-(m2+6m+8)=2m-1．
∵m为正整数，
∴2m-1>0，即S甲->S乙．
综上，L甲>L乙且S甲->S乙．
故答案为：D.
【分析】先根据长方形周长公式，分别计算甲的周长L甲=4m+16，乙的周长L乙=4m+12并相减比较大小，得出L甲>L乙；再根据长方形面积公式，分别计算甲的面积S甲=m2+8m+7，乙的面积S乙=m2+6m+8并作差得到2m-1，结合m为正整数判断差为正，得出S甲->S乙，最后结合选项选出答案．
9．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：.
∵原式化简后为，
∴-q=83，p=-1092，即q=-83，q=-1092.
∴p-10q=-1092-10×(-83)=-1092+830=-262.
故答案为：C.
【分析】先用多项式乘法法则展开(x+52)(2x-21)，合并同类项得到标准二次三项式；再与题目给出的形式对比，通过对应项系数相等求出q=-83，q=-1092；最后将q，p代入p-10q，进行计算得出-262．
10．【答案】A
【知识点】零指数幂；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：依题意，得m=x+2y，n=2y+3x，m+n=8，即(x+2y)+(2y+3x)=8，化简得4x+4y=8，即x+y=2．
结论①：若n=5，则y=1
由n=2y+3x=5，结合x+y=2（即x=2-y），代入得2y+3(2-y)=5，解得y=1，故结论①正确．
结论②：若 （其中4m≠n），则y=1或y=3
4m-n=4(x+2y)-(2y+3x)=4x+8y-2y-3x=x+6y
已知x4m-n=1，且4m≠n（即x+6y≠0），分三种情况讨论：
当x=1时，14m-n=1，∵x+y=2，∴y=1；
当x=-1时，(-1)4m-n=1，需指数为偶数，∵x+y=2，∴y=3，此时指数x+6y=-1+18=17（奇数），不满足条件；
当指数4m-n=0时，x0=1，但4m≠n，故舍去；
综上，仅y=1成立，结论②错误．
因此，①对，②错．
故答案为：A.
【分析】先根据题目约定的运算规则，写出m=x+2y，n=2y+3x和m+n=8，再根据m+n=8化简得到x+y=2．分析结论①时，先根据n=5和n=2y+3x列出方程，再根据x=2-y代入消元，解出y=1，判定结论①正确．分析结论②时，先根据4m-n的表达式，计算得到4m-n=x+6y，再根据x4m-n=1的三种情况分别讨论（当x=1时，当x=-1时，当指数4m-n=0时），结合x+y=2的条件，发现只有y=1符合要求，判定结论②错误，最后根据两个结论的对错选出正确选项．
11．【答案】(答案不唯一)
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵二元一次方程2x-y=5有无数组解，
∴我们可以任意给定一个x的值，求出对应的y值．
令x=3，代入方程，得，解得y=1.
所以方程的一个解为(答案不唯一)．
故答案为：(答案不唯一).
【分析】先根据二元一次方程解的定义，明确只要能使方程左右两边相等的一对x，y值，就是方程的解；再采用赋值法，给定一个x的值，如令x=3，代入方程求出对应的y=1，即可得到一组解．
12．【答案】43
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，即∠AOC+∠BOC=90°．
又∵∠BOC比∠AOC大4°，
∴∠BOC=∠AOC+4°，代入得∠AOC+(∠AOC+4°)=90°，2∠AOC+4°=90°，2∠AOC=86°，∴∠AOC=43°．
故答案为：43.
【分析】先根据AO⊥BO得到∠AOB=90°，即∠AOC+∠BOC=90°；再根据∠BOC比∠AOC大4°，设∠AOC为未知数，列出方程∠AOC+(∠AOC+4°)=90°；最后解方程求出∠AOC=43°．
13．【答案】149
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：∵底座AO⊥OM，
∴∠AOM=90°.
∵要使CD∥OM，可构造“铅笔头模型”，即AO，OM，CD被折线A-B-C所截，∴∠A+∠B+∠C+∠AOM=360°.
∵∠A=153°，∠B=32°，∠AOM=90°，
∴∠C=360°-90°-153°-32°=149°.
故答案为：149.
【分析】先根据垂直的定义，确定AO与OM的夹角为90°；再根据平行线的性质（铅笔头模型），当多条平行线被折线所截时，拐点处的角度和为360°，得出∠A+∠B+∠C+∠AOM=360°；最后代入已知角度，计算得到∠C=149°．
14．【答案】27
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解： ∵，
∴.
又 ∵，即，
∴.
故答案为：27.
【分析】先根据已知条件a2=3-a，将多项式(a2+2)(a+6)中的a^2替换为3-a，得到(5-a)(a+6)；再展开多项式，得到-a2-a+30；接着再次利用a2=3-a，将-a2替换为a-3，化简计算得到最终结果27．
15．【答案】11
【知识点】幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵(3m)2=32m=36，
∴2m=6，解得m=3.
∵，
∴n=8.
∴m+n=3+8=11.
故答案为：11.
【分析】先根据幂的乘方运算法则，处理(3m)2=36，由幂的乘方底数不变指数相乘，得到32m=36，再根据同底数幂相等则指数相等，求出m=3；再处理43+43+43+43=2n，先合并同类项得到4×43=44，再将44转化为以2为底的幂28，根据同底数幂相等则指数相等，求出n=8；最后将m=3和n=8相加，得到m+n=11．
16．【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠1=180°-2∠EFB.
由第一次折叠性质得∠DEF=∠D'EF，∠EFB=∠D'EF，
由第二次折叠性质得∠GFC=∠GFC'，∠3=180°-2∠GFC，
又∵AD∥BC，
∴∠2=∠D'EF+∠EFG=2∠EFB-∠EFG，
又∠EFB+∠EFG+∠GFC=180°，
∴∠1-∠2=(180°-2∠EFB)-(2∠EFB-∠EFG)=180°-4∠EFB+∠EFG，
∠3=180°-2(180°-∠EFB-∠EFG)=2∠EFB+2∠EFG-180°.
∴.
故答案为：.
【分析】先根据长方形的性质，得到AD∥BC，进而得出∠1=180°-2∠EFB，再结合第一次沿EF折叠的性质，得到∠DEF=∠D'EF，∠EFB=∠D'EF；接着结合第二次沿GF折叠的性质，得到∠GFC=∠GFC'，∠3=180°-2∠GFC；再根据平行线的性质和折叠的对称性，得到∠2=2∠EFB-∠EFG；最后通过平角定义和等量代换，推导出∠1-∠2与∠3的倍数关系，从而求出分式的值．
17．【答案】（1）解：2(3a-2b)-6a
=6a-4b-6a
=-4b
（2）解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)先根据乘法分配律，将2乘进括号(3a-2b)，得到6a-4b，再减去6a，合并同类项后6a与-6a抵消，结果为-4b．
(2)先根据多项式乘法法则展开(2a-3)(3a+1)，分别计算每一项的乘积，得到6a2+2a-9a-3，再合并同类项，将2a-9a合并为-7a，最终得到6a2-7a-3．
18．【答案】（1）解：
①-②，得3y=6，解得y=2，
把y=2代入x+y=3，得x=1．
故原方程组的解为
（2）解：
①×2，得4x-10y=16，
①-②，得7y=-14，解得y=-2，
把y=-2代入①，得2x+10=8，解得x=-1．
故原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)先观察方程组，两个方程中x的系数相同，采用加减消元法，用方程①减去方程②，消去x，得到关于y的一元一次方程3y=6，解得y=2；再将y=2代入方程①，用代入消元法求出x=1，得到方程组的解；
(2)先观察方程组，将方程①乘以2，使x的系数变为4，与方程②中x的系数相同；再用变形后的方程减去方程②，消去x，得到关于y的一元一次方程-7y=14，解得y=-2；最后将y=-2代入原方程①，求出x=-1，得到方程组的解．
19．【答案】AD∥EF；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的意义(或角平分线的定义)
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠1=∠E（两直线平行，同位角相等），∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3=∠E（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线的意义/角平分线的定义）．
故答案为：AD∥EF；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的意义(或角平分线的定义).
【分析】先根据已知条件中AD，EF都垂直于BC，利用“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”，得出AD∥EF；再根据平行线的性质，分别推出同位角∠1=∠E，内错角∠2=∠3；接着结合已知∠3=∠E，通过等量代换得到∠1=∠2；最后根据角平分线的定义，证明AD平分∠BAC．
20．【答案】（1）如图：
△DE为所作三角形.
（2）AD∥CF
（3）解：平移方法1：将△ABC先向上平移 2个单位，再向左平移 2个单位得到△DEF．
平移方法2：将△ABC沿西北方向平移个单位得到△DEF．
(两种方法任选一种)
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解： (2) 如图，
∵平移过程中对应点的连线互相平行，
∴AD∥CF．
故答案为：AD∥CF.
【分析】(1)先根据平移的定义，明确△ABC平移到△DEF的对应关系（A→D，B→E，C→F）；再根据网格，确定点B→点E的平移方向和距离，即点B先向上平移 2个单位，再向左平移 2个单位得到点E，依次找到点A对应点D，点C对应点F，连接三点画出△DEF．
(2)先根据平移的性质，平移前后对应点的连线互相平行；再结合A对应D，C对应F，得出AD与CF的位置关系为平行．
(3)先根据网格，观察点A到点D的坐标变化（横坐标减2，纵坐标加2）；再根据平移的两种描述方式，分别用“分步平移”和“直接平移距离”描述平移方法．
21．【答案】（1）解：由题得
解得
（2）解：由题得
两式相减得(a-c)x=c-a
由a≠c知a-c≠0，两边除以a-c得x=-1
所以的x值与a、b、c无关
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)先根据题目定义，写出方程5x-2y=3的“关于x系数的交换方程”3x-2y=5；再联立原方程与交换方程，得到二元一次方程组；接着用加减消元法，两式相减消去y，求出x=-1；最后将x=-1代入原方程，求出y=-4，得到方程组的解；
(2)先根据定义，写出方程ax+by=c的“关于x系数的交换方程”cx+by=a；再联立两个方程，得到二元一次方程组；接着用加减消元法，两式相减消去by，得到(a-c)x=c-a；再根据a≠c，两边同时除以a-c，解得x=-1；最后说明x的值恒为-1，与a，b，c无关．
22．【答案】（1）证明：∵AD∥EF
∴∠2+∠DAB=180°
∵ ∠1+∠2=180°
∴∠1=∠DAE
∴ AB∥DG
（2）解：∵AB∥DG ，∠B=32°
∴∠CDG=∠B=32°
∵ DG 是∠ADC的角平分线
∴∠1=∠CDG=32°
∵∠1+∠2=180°
∴ ∠2=148°
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）先根据 AD∥EF，利用平行线的性质得到∠2+∠DAB=180°；再结合已知条件∠1+∠2=180°，通过同角的补角相等推出∠1=∠DAB；最后根据内错角相等，两直线平行，证明AB∥DG.
（2）先根据（1）中已证的AB∥DG，利用平行线的性质得到∠CDG=∠B=32°；再结合角平分线的定义，得到∠1=∠CDG=32°；最后根据已知条件∠1+∠2=180°，计算出∠2=148°.
23．【答案】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别x元，y元．
由题得
解得
答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别40元，50元
（2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买m只，n只．
由题得40m+60n=540
化简得 2m+3n=27，即
因为m，n都是正整数，
所以方程有4个正整数解，
分别为
所有一共有四种购买方案
（3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别a元，b元，c元．
由题得
解得
共需花费12a+19b+13c=12(10c-460)+19(-7c+410)+13c
=120c-5520-133c+7790+13c=2270
答：该班级共需花费2270元．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】(1)先根据题目中“购买1只甲型，2只乙型，4只丙型玩偶总价360元，购买2只甲型，3只乙型，1只丙型玩偶总价310元”的条件，结合丙型玩偶单价为50元，列出关于甲，乙单价的二元一次方程组；再通过加减消元法解方程组，解得，得到甲，乙的单价；
(2)先根据甲，乙的单价和总预算540元，列出关于购买数量的二元一次方程40m+60n=540；再将方程变形为用m表示n的形式，得到，根据m，n为正整数且m必须是3的倍数，找出所有符合条件的正整数解，即，确定四种购买方案；
(3)先根据题目条件，列出关于三种玩偶单价的二元一次方程组，用含c的代数式表示a和b，即；再将其代入总花费的表达式中12a+19b+13c，得到12(10c-460)+19(-7c+410)+13c，化简后消去c，计算得到固定的总花费为2270元．
24．【答案】（1）解：∵∠BAM=56° ，∠BAC=70°
∴∠MAC=∠MAB+∠BAC=126°
∵MN∥PQ
∴∠ACQ=∠MAC=126°
∵ CD平分∠ACQ
∵MN∥PQ
∴∠ADC=∠QCD
∴∠ADC=63°
（2）解：①∵CD∥AB ∠BAC=70°
∴∠ACD=∠BAC=70°
∵ CD平分∠ACQ
∴∠QDC=∠ACD=70°
∵CD∥AB
∴∠ABC=∠QDC=70°
∵BE平分∠ABC
∵CD∥AB
∴∠BEC=∠ABE
∴∠BEC=35°
②设∠ABC=2x°
∵ BE平分∠ABC，∠ABC=2x°
∵MN∥PQ
∴∠AEB=∠CBE=x°
∠MAB=∠ABC=2x°
∵ ∠BAC=70°
∴∠MAC=∠MAB+∠BAC= (2x+70)°
∵MN∥PQ
∴∠ACQ=∠MAC=(2x+70)°
∵ CD平分∠ACQ
∵MN∥PQ
∴∠AEC=∠QCD=(x+35)°
∵∠BEC=∠AEC-∠AEB ∠AEB=x°
∴∠BEC=35°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)先根据角度的和差关系，由∠BAM=56°和∠BAC=70°，计算∠MAC=126°；再根据两直线平行，同位角相等，得到∠ACQ=∠MAC=126°；接着由角平分线的定义，算出∠QCD=63°；最后根据两直线平行，内错角相等，得到∠ADC=∠QCD=63°；
(2)①先根据两直线平行，内错角相等，得到∠ACD=∠BAC=70°；再由角平分线的定义，得∠QDC=70°；接着由两直线平行，同位角相等，得到∠ABC=70°；再由角平分线的定义，算出∠ABE=35°；最后由两直线平行，内错角相等，得到∠BEC=∠ABE=35°；
②先设∠ABC=2x°，由角平分线的定义，得∠CBE=x°；再根据两直线平行，内错角相等，得∠AEB=x°；根据两直线平行，同位角相等，得∠MAB=2x°；接着根据角度的和差关系，算出∠MAC=2x+70°，再由两直线平行，同位角相等，得∠ACQ=2x+70°；再由角平分线的定义，得∠QCD=x+35°，再根据两直线平行，内错角相等，得∠AEC=x+35°；最后根据角度的和差关系，由∠BEC=∠AEC-∠AEB，得到∠BEC=35°．
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