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浙江金华市永康市初中联盟2025-2026学年八年级下学期数学期中考试试卷
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A． B．x+4=5 C． D．
2．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．6，5，-4 B．6，4，-5 C．6，-5，4 D．6，-4，5
4．下列选项中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．二次根式中，字母x的值可以是（　　）.
A．0 B．2 C．4 D．-2
7．若a是方程的根，则的值为（　　）
A．2024 B．2026 C．2028 D．2030
8．若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，且x1=3x2 ，则m的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
9．如图，在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．28×10-28x-10x=243 B．2（28-x+10-x）=243
C． D．（28-x）（10-x）=243
10．对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法：①18 2=；②；③（a b）·（b a）=|a-b|.以上说法中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．计算：若有意义，实数x的取值范围是　 　。
12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　。
13．若则的值是　 　。
14．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程 的一个根，则这个三角形的周长是　 　.
15．三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式.其中我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式现已知△ABC三边长为1，，3.则△ABC的面积为　 　.
16．如图所示，△OA1A2、△OA2A3、△OA3A4、△OA4A5、…都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题.
请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律：=　 　。
若，则=　 　。
17．解方程：
（1）；
（2）
18．计算
（1）；
（2）；
19．解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的：
即
请你根据小明的分析过程，解决下列问题：
（1）化简：°
（2）若求的值。
20．已知关于x的方程
（1）求证：该方程总有两个实数根：
（2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式
21．如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DF为40米，坝顶宽CD为25米，求大坝横截面的面积和周长.（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值，结果保留根号）
22．定义：如果关于x的一元二次方程（a，b.c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程的两个根是则方程是“邻根方程”.
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）.
①x2-1=0；②x2-6x+9=0；③x2+3x+2=0.
（2）若（x+2）（x-n）=0是“邻根方程”，求n的值.
（3）若一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由.
23．阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.
例如：善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若则有
这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.
例如：化简
解：因为
所以
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若用含mn的式子分别表示a、b，则：a=　 　，b=　 　；
（2）化简：
（3）已知1≤a≤2，化简：
24．在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕.当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30.细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元.
（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少.
（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元.（设小蛋糕售价提高m元）
（3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元 并求出最大销售额.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、x2+y-2=0，含有x和y两个未知数，属于二元方程，不是一元二次方程，A错误；
B、x+4=5，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不是一元二次方程，B错误；
C、 ，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程，C错误；
D、 ，整理为，是整式方程，只含一个未知数x，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，D正确．
故答案为：D．
【分析】先根据一元二次方程的三个核心条件：整式方程，单未知数，最高次数为2；再逐一分析选项：A含两个未知数，B是一次方程，C是分式方程，均不满足条件；D同时满足三个条件，故为一元二次方程．
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式，A错误；
B、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式，B错误；
C、 ，被开方数不含分母，且5不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，C正确；
D、 ，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，D错误．
故答案为：C．
【分析】先根据最简二次根式的定义，明确两个判定条件：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式；再依次对每个选项进行分析：A中 含分母，B中 可化为含分母，D中 含因数9=32，均不满足条件；最后根据分析结果，确定只有C的 同时满足两个条件，为最简二次根式．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：由，得
因此，二次项系数为6，一次项系数为4，常数项为-5．
故答案为：B．
【分析】先根据一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的要求，将方程移项，把所有项移到等号左边，得到；再根据一般形式的定义，确定二次项系数a=6，一次项系数b=4，常数项c=-5．
4．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确．
故答案为：D．
【分析】先明确二次根式的加减，乘除运算法则：同类二次根式可合并（系数相加减，根式部分不变）；二次根式乘法法则为；除法法则为； 再按选项逐一验证即可．
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选：．
【分析】
配方法的一般步骤，若二次项系数为1，先把常数项移于等号的右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，从而将左边化为一个完全平方式．
6．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵，∴，即.
ABD、字母x的值不满足，ABD错误；
C、字母x的值满足，C正确；
故答案为：C .
【分析】先根据二次根式的定义，得出被开方数x-3必须大于或等于0，解出x的取值范围是x≥3；再将A（0），B（2），C（4），D（-2）分别代入范围判断，只有4满足x≥3．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程的根，
∴，
∴.
∴.
故答案为：A.
【分析】先根据一元二次方程根的定义，将根a代入方程 ，得到，进而推出；再对代数式 提取公因式3，变形为；最后将整体代入变形后的式子，计算得到结果2024．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=8，
∵x1=3x2 ，
解得x1=6，x2=2，
∴m=x1·x2=6×2=12.
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=8，结合x1=3x2 ， 求出为x1、x2， 利用m=x1·x2即可求解.
9．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：将两条互相垂直的小路平移到矩形草坪的边缘，剩余草地会拼接成一个新的矩形．
则新矩形的长为28-x，新矩形的宽为10-x，
根据题意，剩余草地面积为 ，因此可列方程(28-x)(10-x)=243．
故答案为：D．
【分析】先根据平移法的思想，将两条互相垂直的小路向边缘平移，把分散的草地拼成一个完整的矩形；再确定新矩形的长和宽分别为28-x和10-x；最后根据矩形面积公式，结合剩余草地面积，列出方程(28-x)(10-x)=243．
10．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：①18 2=；
∵18≥2，∴，
故①正确；
②
∵1＜2，∴，，
∵2＜3，∴，，
……
∵99＜100，∴，，
将以上所有的项相加，中间项抵消，得
.
再计算右边，得
∵100≥1，∴.
左边=右边，故①正确；
③（a b）·（b a）=|a-b|
分两种情况讨论：
当a≥b时，，，
则；
当a＜b时，，，
则 .
两种情况均成立，故③正确．
综上，①②③均正确，正确的个数是3个.
故答案为：D.
【分析】先根据题目定义的新运算规则，分m＞n和m11．【答案】x≥4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，即x-4≥0，解得x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】先根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，因此，即x-4≥0；再解这个一元一次不等式，得到x≥4，即为实数x的取值范围．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(-3)2-4m=0，
解得
故答案为：.
【分析】根据根的判别式与一元二次方程解的关系即可求出答案.
13．【答案】5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x=3．
∴．
∴．
故答案为：5．
【分析】先利用二次根式被开方数非负的性质求出x=3，再代入求y=4，最后计算 值．
14．【答案】22
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-11x+30=0得：x=5或6，
当腰为5时，三角形的三边为5，5，10，5+5=10，此时不符合三角形三边关系定理，不合题意；
当腰为6时，三角形的三边为6，6，10，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为6+6+10=22，
故答案为：22.
【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的根，然后分5为腰；6为腰，利用三角形的三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长.
15．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：秦九韶公式：
设a=1，，c=3，代入公式，得
或海伦公式：
设a=1，，c=3，代入公式，得
.
因此， △ABC的面积为.
故答案为： .
【分析】先根据题目给出的秦九韶公式，确定三角形三边长分别为a=1，，c=3；再将这三个数值代入公式，计算得到．或利用海伦公式，先代入，计算得到；再代入，计算得到.即可求出△ABC的面积．
16．【答案】；15
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：由，，得出规律，．
∵，
∴.
∵∴，
整理，得，
展开，得，
因式分解，得，
解得n=15（n=-16舍去，因n为正整数）.
故答案为：；15．
【分析】第1空：先根据题中给出的，， ，观察面积的规律，发现Sn的分子是，分母为2，因此得出规律．
第2空：先根据，计算；再将到相加，得到和为 ；再根据和为30列方程，解得n=15．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
或
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)先根据移项法则，将常数项-25移到等号右侧，得到x2=25；再根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，直接开平方；最后得到方程的解x=±5；
(2)先根据因式分解法，将二次三项式x2-8x-9分解为(x-9)(x+1)；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的性质，列出两个一元一次方程x-9=0和x+1=0；最后分别解这两个方程，得到方程的两个解x1=9，x2=-1．
18．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先根据二次根式的化简规则，将化为、化为、化为；再合并同类二次根式，将与合并为；最后整理得到结果；
(2)先根据完全平方公式，将展开得到 ；最后计算并合并常数项得到 .
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】(1)先根据分母有理化的方法，给的分子分母同乘，分母利用平方差公式计算得5-3=2，再约分得到化简结果；
(2)先对 进行分母有理化，分子分母同乘，化简得；再通过移项得到，两边平方后整理得；最后将变形为，代入，计算得结果为2．
20．【答案】（1）证明： 由，得.
∵任何实数的平方都为非负数，即，
∴，
∴该方程总有两个实数根
（2）解： ∵，
∴根据韦达定理，得，.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】(1)先根据一元二次方程判别式公式，得到；再根据平方的非负性 ，得出，从而证明方程总有两个实数根；
(2)先根据韦达定理，得出方程两根的和与积；再将代数式 展开为；最后代入韦达定理的结果化简，消去参数 k，得到代数式的值为 0．
21．【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，则DE=CF=40米，CD=EF=25米．
∵迎水坡AD的坡比为2：3，DE=40米，
∴，解得AE=60米．
在Rt△ADE中，由勾股定理，得（米）.
∵背水坡BC的坡比为4：3，CF=40米，
∴，解得BF=30米．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得（米）.
∴AB=AE+EF+FB=60+25+30=115（米）.
∴大坝横截面的面积为（平方米），
大坝横截面的周长为（米）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先根据梯形大坝的结构，作高DE，CF，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形；再根据迎水坡AD的坡比2：3和高DE=40米，求出水平距离AE=60米，再用勾股定理求出米；接着根据背水坡BC的坡比4：3和高CF=40米，求出水平距离BF=30米，再用勾股定理求出BC=50米；然后计算下底AB=AE+EF+FB=115米；最后分别用梯形面积公式和周长公式，求出面积为2800平方米，周长为米．
22．【答案】（1）③
（2）解：方程(x+2)(x-n)=0的两根为x1=-2，x2=n．
∵它是“邻根方程”，
∴|x1-x2|=1，即|-2-n|=1．
解得-2-n=1或-2-n=-1，即n=-3或n=-1
（3）解：b2-4c=1
理由：
设方程的两根为x1，x2，且x1=x2+1．
根据韦达定理，得x1+x2=-b，x1x2=c．
将x1=x2+1代入x1+x2=-b，得(x2+1)+x2=-b，解得，则．
再将两根代入x1x2=c，得，即，
整理得b2-4c=1
【知识点】解二元一次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解： (1) ①x2-1=0，解得x1=1，x2=-1，两根差为1-(-1)=2≠1，不是邻根方程；
②x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，两根差为0≠1，不是邻根方程；
③x2+3x+2=0，解得x1=-1，x2=-2，两根差为-1-(-2)=1，是邻根方程．
故答案为：③.
【分析】(1)先根据定义，分别解三个方程的根，再计算两根之差，判断是否为1，从而得出是邻根方程的选项；
(2)先根据因式分解法，写出方程的两个根-2和n；再根据“邻根方程”的定义，两根差的绝对值为1，列出方程|-2-n|=1；最后解这个绝对值方程，得到n=-3或n=-1；
(3)先设方程的两根为x1，x2，且x1=x2+1；再根据韦达定理，写出两根和与积的表达式x1+x2=-b，x1x2=c；接着将x1=x2+1代入和的表达式，求出两根用b表示的代数式，；最后将两根代入积的表达式，化简得到b2-4c=1．
23．【答案】（1）；
（2）解：.
（3）解：
∵，
∴，即
∴，
.
∴
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值；配方法的应用
【解析】【解答】解： (1)，
对比，得，.
故答案为：；.
【分析】(1)先根据完全平方公式展开，得到，再与 对比，分离出有理数部分和含根号部分，得出，；
(2)先将变形为，凑成完全平方 ，再开平方并根据去掉绝对值，得到；
(3)先将根号内的a拆分为(a-1)+1，凑成完全平方 ；再根据得到的范围，去掉绝对值符号分别得到和；最后代入原式合并同类项并化简，得到结果．
24．【答案】（1）解：设每次涨价的百分率为x，依题意，得
6(1+x)2=8.64
(1+x)2=1.44
1+x=±1.2
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）．
故涨价的百分率是20%
（2）解：设小蛋糕售价提高m元，则售价为(6+m)元，销量为(30-2m)个，且6+m≤10（即m≤4），依题意，得
(6+m)(30-2m)=216
180-12m+30m-2m2=216
-2m2+18m-36=0
m2-9m+18=0
(m-3)(m-6)=0
解得m1=3，m2=6（舍去）．
此时售价为6+3=9元
（3）解：设售价提高m元，销售总额为y元，依题意，得
y=(6+m)(30-2m)=-2m2+18m+180
这是开口向下的二次函数，对称轴为
但售价不能超过10元，即m≤4，
故m=4时，y取得最大值为.
此时售价为6+4=10元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)先根据两次涨价的问题，设每次涨价百分率为x，利用“原价×(1+百分率)2=现价”的公式列出方程6(1+x)2=8.64；再解这个一元二次方程，舍去负根；最后得到涨价百分率为20%；
(2)先设售价提高m元，根据“售价×销量=销售总额”的关系，列出方程(6+m)(30-2m)=216；再解这个方程，得到m=3或m=6，结合售价不超过10元的条件舍去m=6；最后得到售价为9元；
(3)先设销售总额为y元，列出二次函数关系式y=-2m2+18m+180；再根据二次函数的性质，找到对称轴m=4.5，结合m≤4的条件，判断m=4时销售额最大；最后计算得到售价为10元时，最大销售额为220元．
1 / 1浙江金华市永康市初中联盟2025-2026学年八年级下学期数学期中考试试卷
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A． B．x+4=5 C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、x2+y-2=0，含有x和y两个未知数，属于二元方程，不是一元二次方程，A错误；
B、x+4=5，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不是一元二次方程，B错误；
C、 ，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程，C错误；
D、 ，整理为，是整式方程，只含一个未知数x，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，D正确．
故答案为：D．
【分析】先根据一元二次方程的三个核心条件：整式方程，单未知数，最高次数为2；再逐一分析选项：A含两个未知数，B是一次方程，C是分式方程，均不满足条件；D同时满足三个条件，故为一元二次方程．
2．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式，A错误；
B、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式，B错误；
C、 ，被开方数不含分母，且5不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，C正确；
D、 ，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，D错误．
故答案为：C．
【分析】先根据最简二次根式的定义，明确两个判定条件：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式；再依次对每个选项进行分析：A中 含分母，B中 可化为含分母，D中 含因数9=32，均不满足条件；最后根据分析结果，确定只有C的 同时满足两个条件，为最简二次根式．
3．一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．6，5，-4 B．6，4，-5 C．6，-5，4 D．6，-4，5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：由，得
因此，二次项系数为6，一次项系数为4，常数项为-5．
故答案为：B．
【分析】先根据一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的要求，将方程移项，把所有项移到等号左边，得到；再根据一般形式的定义，确定二次项系数a=6，一次项系数b=4，常数项c=-5．
4．下列选项中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确．
故答案为：D．
【分析】先明确二次根式的加减，乘除运算法则：同类二次根式可合并（系数相加减，根式部分不变）；二次根式乘法法则为；除法法则为； 再按选项逐一验证即可．
5．用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选：．
【分析】
配方法的一般步骤，若二次项系数为1，先把常数项移于等号的右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，从而将左边化为一个完全平方式．
6．二次根式中，字母x的值可以是（　　）.
A．0 B．2 C．4 D．-2
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵，∴，即.
ABD、字母x的值不满足，ABD错误；
C、字母x的值满足，C正确；
故答案为：C .
【分析】先根据二次根式的定义，得出被开方数x-3必须大于或等于0，解出x的取值范围是x≥3；再将A（0），B（2），C（4），D（-2）分别代入范围判断，只有4满足x≥3．
7．若a是方程的根，则的值为（　　）
A．2024 B．2026 C．2028 D．2030
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程的根，
∴，
∴.
∴.
故答案为：A.
【分析】先根据一元二次方程根的定义，将根a代入方程 ，得到，进而推出；再对代数式 提取公因式3，变形为；最后将整体代入变形后的式子，计算得到结果2024．
8．若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，且x1=3x2 ，则m的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=8，
∵x1=3x2 ，
解得x1=6，x2=2，
∴m=x1·x2=6×2=12.
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=8，结合x1=3x2 ， 求出为x1、x2， 利用m=x1·x2即可求解.
9．如图，在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是设小路的宽度为xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．28×10-28x-10x=243 B．2（28-x+10-x）=243
C． D．（28-x）（10-x）=243
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：将两条互相垂直的小路平移到矩形草坪的边缘，剩余草地会拼接成一个新的矩形．
则新矩形的长为28-x，新矩形的宽为10-x，
根据题意，剩余草地面积为 ，因此可列方程(28-x)(10-x)=243．
故答案为：D．
【分析】先根据平移法的思想，将两条互相垂直的小路向边缘平移，把分散的草地拼成一个完整的矩形；再确定新矩形的长和宽分别为28-x和10-x；最后根据矩形面积公式，结合剩余草地面积，列出方程(28-x)(10-x)=243．
10．对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法：①18 2=；②；③（a b）·（b a）=|a-b|.以上说法中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：①18 2=；
∵18≥2，∴，
故①正确；
②
∵1＜2，∴，，
∵2＜3，∴，，
……
∵99＜100，∴，，
将以上所有的项相加，中间项抵消，得
.
再计算右边，得
∵100≥1，∴.
左边=右边，故①正确；
③（a b）·（b a）=|a-b|
分两种情况讨论：
当a≥b时，，，
则；
当a＜b时，，，
则 .
两种情况均成立，故③正确．
综上，①②③均正确，正确的个数是3个.
故答案为：D.
【分析】先根据题目定义的新运算规则，分m＞n和m11．计算：若有意义，实数x的取值范围是　 　。
【答案】x≥4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，即x-4≥0，解得x≥4.
故答案为：x≥4.
【分析】先根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，因此，即x-4≥0；再解这个一元一次不等式，得到x≥4，即为实数x的取值范围．
12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　。
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(-3)2-4m=0，
解得
故答案为：.
【分析】根据根的判别式与一元二次方程解的关系即可求出答案.
13．若则的值是　 　。
【答案】5
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x=3．
∴．
∴．
故答案为：5．
【分析】先利用二次根式被开方数非负的性质求出x=3，再代入求y=4，最后计算 值．
14．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程 的一个根，则这个三角形的周长是　 　.
【答案】22
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-11x+30=0得：x=5或6，
当腰为5时，三角形的三边为5，5，10，5+5=10，此时不符合三角形三边关系定理，不合题意；
当腰为6时，三角形的三边为6，6，10，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为6+6+10=22，
故答案为：22.
【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的根，然后分5为腰；6为腰，利用三角形的三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长.
15．三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式.其中我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式现已知△ABC三边长为1，，3.则△ABC的面积为　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：秦九韶公式：
设a=1，，c=3，代入公式，得
或海伦公式：
设a=1，，c=3，代入公式，得
.
因此， △ABC的面积为.
故答案为： .
【分析】先根据题目给出的秦九韶公式，确定三角形三边长分别为a=1，，c=3；再将这三个数值代入公式，计算得到．或利用海伦公式，先代入，计算得到；再代入，计算得到.即可求出△ABC的面积．
16．如图所示，△OA1A2、△OA2A3、△OA3A4、△OA4A5、…都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题.
请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律：=　 　。
若，则=　 　。
【答案】；15
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：由，，得出规律，．
∵，
∴.
∵∴，
整理，得，
展开，得，
因式分解，得，
解得n=15（n=-16舍去，因n为正整数）.
故答案为：；15．
【分析】第1空：先根据题中给出的，， ，观察面积的规律，发现Sn的分子是，分母为2，因此得出规律．
第2空：先根据，计算；再将到相加，得到和为 ；再根据和为30列方程，解得n=15．
17．解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
或
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)先根据移项法则，将常数项-25移到等号右侧，得到x2=25；再根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，直接开平方；最后得到方程的解x=±5；
(2)先根据因式分解法，将二次三项式x2-8x-9分解为(x-9)(x+1)；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的性质，列出两个一元一次方程x-9=0和x+1=0；最后分别解这两个方程，得到方程的两个解x1=9，x2=-1．
18．计算
（1）；
（2）；
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先根据二次根式的化简规则，将化为、化为、化为；再合并同类二次根式，将与合并为；最后整理得到结果；
(2)先根据完全平方公式，将展开得到 ；最后计算并合并常数项得到 .
19．解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的：
即
请你根据小明的分析过程，解决下列问题：
（1）化简：°
（2）若求的值。
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】(1)先根据分母有理化的方法，给的分子分母同乘，分母利用平方差公式计算得5-3=2，再约分得到化简结果；
(2)先对 进行分母有理化，分子分母同乘，化简得；再通过移项得到，两边平方后整理得；最后将变形为，代入，计算得结果为2．
20．已知关于x的方程
（1）求证：该方程总有两个实数根：
（2）记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式
【答案】（1）证明： 由，得.
∵任何实数的平方都为非负数，即，
∴，
∴该方程总有两个实数根
（2）解： ∵，
∴根据韦达定理，得，.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】(1)先根据一元二次方程判别式公式，得到；再根据平方的非负性 ，得出，从而证明方程总有两个实数根；
(2)先根据韦达定理，得出方程两根的和与积；再将代数式 展开为；最后代入韦达定理的结果化简，消去参数 k，得到代数式的值为 0．
21．如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DF为40米，坝顶宽CD为25米，求大坝横截面的面积和周长.（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值，结果保留根号）
【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，则DE=CF=40米，CD=EF=25米．
∵迎水坡AD的坡比为2：3，DE=40米，
∴，解得AE=60米．
在Rt△ADE中，由勾股定理，得（米）.
∵背水坡BC的坡比为4：3，CF=40米，
∴，解得BF=30米．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得（米）.
∴AB=AE+EF+FB=60+25+30=115（米）.
∴大坝横截面的面积为（平方米），
大坝横截面的周长为（米）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】先根据梯形大坝的结构，作高DE，CF，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形；再根据迎水坡AD的坡比2：3和高DE=40米，求出水平距离AE=60米，再用勾股定理求出米；接着根据背水坡BC的坡比4：3和高CF=40米，求出水平距离BF=30米，再用勾股定理求出BC=50米；然后计算下底AB=AE+EF+FB=115米；最后分别用梯形面积公式和周长公式，求出面积为2800平方米，周长为米．
22．定义：如果关于x的一元二次方程（a，b.c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程的两个根是则方程是“邻根方程”.
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）.
①x2-1=0；②x2-6x+9=0；③x2+3x+2=0.
（2）若（x+2）（x-n）=0是“邻根方程”，求n的值.
（3）若一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）③
（2）解：方程(x+2)(x-n)=0的两根为x1=-2，x2=n．
∵它是“邻根方程”，
∴|x1-x2|=1，即|-2-n|=1．
解得-2-n=1或-2-n=-1，即n=-3或n=-1
（3）解：b2-4c=1
理由：
设方程的两根为x1，x2，且x1=x2+1．
根据韦达定理，得x1+x2=-b，x1x2=c．
将x1=x2+1代入x1+x2=-b，得(x2+1)+x2=-b，解得，则．
再将两根代入x1x2=c，得，即，
整理得b2-4c=1
【知识点】解二元一次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解： (1) ①x2-1=0，解得x1=1，x2=-1，两根差为1-(-1)=2≠1，不是邻根方程；
②x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，两根差为0≠1，不是邻根方程；
③x2+3x+2=0，解得x1=-1，x2=-2，两根差为-1-(-2)=1，是邻根方程．
故答案为：③.
【分析】(1)先根据定义，分别解三个方程的根，再计算两根之差，判断是否为1，从而得出是邻根方程的选项；
(2)先根据因式分解法，写出方程的两个根-2和n；再根据“邻根方程”的定义，两根差的绝对值为1，列出方程|-2-n|=1；最后解这个绝对值方程，得到n=-3或n=-1；
(3)先设方程的两根为x1，x2，且x1=x2+1；再根据韦达定理，写出两根和与积的表达式x1+x2=-b，x1x2=c；接着将x1=x2+1代入和的表达式，求出两根用b表示的代数式，；最后将两根代入积的表达式，化简得到b2-4c=1．
23．阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.
例如：善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若则有
这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.
例如：化简
解：因为
所以
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若用含mn的式子分别表示a、b，则：a=　 　，b=　 　；
（2）化简：
（3）已知1≤a≤2，化简：
【答案】（1）；
（2）解：.
（3）解：
∵，
∴，即
∴，
.
∴
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值；配方法的应用
【解析】【解答】解： (1)，
对比，得，.
故答案为：；.
【分析】(1)先根据完全平方公式展开，得到，再与 对比，分离出有理数部分和含根号部分，得出，；
(2)先将变形为，凑成完全平方 ，再开平方并根据去掉绝对值，得到；
(3)先将根号内的a拆分为(a-1)+1，凑成完全平方 ；再根据得到的范围，去掉绝对值符号分别得到和；最后代入原式合并同类项并化简，得到结果．
24．在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕.当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30.细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元.
（1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为8.64元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少.
（2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元.（设小蛋糕售价提高m元）
（3）要使平均每小时的销售总额最大，小蛋糕的售价应定为多少元 并求出最大销售额.
【答案】（1）解：设每次涨价的百分率为x，依题意，得
6(1+x)2=8.64
(1+x)2=1.44
1+x=±1.2
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）．
故涨价的百分率是20%
（2）解：设小蛋糕售价提高m元，则售价为(6+m)元，销量为(30-2m)个，且6+m≤10（即m≤4），依题意，得
(6+m)(30-2m)=216
180-12m+30m-2m2=216
-2m2+18m-36=0
m2-9m+18=0
(m-3)(m-6)=0
解得m1=3，m2=6（舍去）．
此时售价为6+3=9元
（3）解：设售价提高m元，销售总额为y元，依题意，得
y=(6+m)(30-2m)=-2m2+18m+180
这是开口向下的二次函数，对称轴为
但售价不能超过10元，即m≤4，
故m=4时，y取得最大值为.
此时售价为6+4=10元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)先根据两次涨价的问题，设每次涨价百分率为x，利用“原价×(1+百分率)2=现价”的公式列出方程6(1+x)2=8.64；再解这个一元二次方程，舍去负根；最后得到涨价百分率为20%；
(2)先设售价提高m元，根据“售价×销量=销售总额”的关系，列出方程(6+m)(30-2m)=216；再解这个方程，得到m=3或m=6，结合售价不超过10元的条件舍去m=6；最后得到售价为9元；
(3)先设销售总额为y元，列出二次函数关系式y=-2m2+18m+180；再根据二次函数的性质，找到对称轴m=4.5，结合m≤4的条件，判断m=4时销售额最大；最后计算得到售价为10元时，最大销售额为220元．
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