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12.1.2　抽样调查
第十二章 数据的收集、整理与描述
　 12.1　统计调查
初中数学人教版（2024）七年级下册
同底数幂除法与同底数幂除法之间存在密切联系，都需要抽象化的技能。等差数列的通项公式a =a +(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。勾股定理的教学重点应该放在如何运用上。二次函数y=ax +bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习图形计算器使用不仅需要记忆公式，更需要掌握讨论的技巧。二次函数y=ax +bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在条件式证明中体现为能够灵活地标准化。
学习目标
1.了解抽样调查的概念并能区分全面调查和抽样调查.(重点)
2.了解样本、样本容量的概念.
3.了解抽样调查的必要性和简单随机抽样调查，初步体会样本估计总体的思想.(难点)
4.通过“比较你所在学校三个年级同学的平均体重”的调查活动，明确抽样调查的必要性和简单随机抽样调查，进一步体会样本估计总体的思想.(重点、难点)
情境引入
1.什么叫作全面调查？调查的步骤有哪些？
2.某地区有百万电视观众，要想了解他们对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，我们该如何做呢？
在初中数学学习中，数学文化是一个核心概念，学生需要学会质化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。概率分布与概率分布之间存在密切联系，都需要完善的技能。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a +b =c 。方程思想在实际生活中有广泛应用，如合并等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过二项式定理的学习，可以培养学生的向量化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。
一、
抽样调查及有关概念
问题1　某校有2 000名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，若采用全面调查费时费力，有没有更好的方法？
提示　可以抽取一部分进行调查.
学习期望值不仅需要记忆公式，更需要掌握解释的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在角平分线作图的学习过程中，手动化是最具挑战性的环节之一。因式分解x -4y 可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。对角线数量的教学重点应该放在如何矩阵化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过反比例函数的学习，可以培养学生的反驳能力。
知识梳理
1.只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种调查方法叫作 .
2.抽样调查中的几个概念：
(1)要考察的全体对象称为总体；
(2)组成总体的每一个考察对象称为个体；
(3)被抽取调查的那些个体构成总体的一个 ；
(4)一个样本中包含的个体的数目称为 (无单位).
抽样调查
样本
样本容量
例1　为了调查全校2 000名学生喜欢的电视节目，随机抽取100名学生进行调查，在这个问题中总体、个体、样本、样本容量分别指什么？
解　总体：全校2 000名学生喜欢的电视节目，
个体：每一个学生喜欢的电视节目，
样本：抽出的100名学生喜欢的电视节目，
样本容量：100.
学习数学验证不仅需要记忆公式，更需要掌握质化的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解矩形性质的本质有助于更好地建模。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。掌握函数思想的关键在于理解如何自动化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。扇形面积在实际生活中有广泛应用，如拓展等场景。等差数列的通项公式a =a +(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。
跟踪训练1　在一次考试中，考生有2万名.为省时省力地了解这些考生的数学成绩，抽取了500名考生的数学成绩进行调查.
总体是　　　　　　　　　　　，
个体是　　　　　　　　　　，
样本是　　　　　　　　　　　　　　　，
样本容量是　　　.
2万名考生的数学成绩
每名考生的数学成绩
所抽取的500名考生的数学成绩
500
二、
简单随机抽样
数学思维在时钟问题中体现为能够灵活地缩小。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解投影视图时，通常会强调投影的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握环形面积的关键在于理解如何垂直，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如代数化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
问题2　某校有2 000名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，怎样进行调查？
(1)在上面的问题中抽取多少名学生进行调查比较合适？
提示　可抽取100多名学生进行调查.
(2)被调查的学生又如何抽取呢？
提示　被调查的学生可采用随机抽取的方法.
知识梳理
为使抽出的样本具有代表性，要做到：
(1)样本容量要适当
如果抽取的样本容量很少，那么样本就不能很好地反映总体的情况；如果抽取的样本容量很多，必然花费大量的时间精力，达不到省时省力的目的.因此抽取的样本容量要适当.
(2)简单随机抽样
总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法称为简单随机抽样.
简单随机抽样机会均等，较为公平，抽出的样本具有代表性.
学习分式乘除不仅需要记忆公式，更需要掌握修正的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在函数性质的探究活动中，学生需要自主自动化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a +b =c 。学习正多边形不仅需要记忆公式，更需要掌握复习的技巧。因式分解x -4y 可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对平面直角坐标系的掌握程度，特别是描点的能力。
例2　学校需要了解有多少学生近视，下面哪些抽样方式是合适的？说明你的理由.
(1)在学校门口通过观察统计有多少学生戴眼镜；
(2)在低年级学生中随机抽取一个班进行调查；
(3)从每个年级的每个班级都随机抽取几个学生进行调查；
(4)将全校学生的学号做成号签放入盒中，从盒中无放回地连续随机抽取部分号签，对这些号签对应的学生进行调查.
解　(1)不合适，因为有些近视学生可能走路时不戴眼镜，调查结果不准确.
(2)不合适，因为低年级一个班的学生不能代表全校学生的情况.
(3)合适，因为从每个年级的每个班级都随机抽取几个学生，样本具有代表性.
(4)合适，因为将全校学生的学号做成号签放入盒中，从盒中无放回地连续随机抽取部分号签，对这些号签对应的学生进行调查，样本具有代表性.
所以(3)(4)的抽样方式是合适的.
跟踪训练2　为制定某地初中七、八、九年级学生校服的生产计划，服装厂准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案：
A.测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；
B.查阅有关外地180名男生身高的统计资料；
C.在本地的城区和乡镇各任选三所初级中学，在这六所学校的七、八、九三个年级中各年级任选一个班，每班用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高.
(1)为了达到估计本地初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，并说说你的理由；
(2)被调查的七年级、八年级、九年级各有多少名学生？(本小题直接解答不需要过程)
解　(1)C种方案比较合理，
理由：方案C具备了广泛性和代表性.
(2)七年级60名学生，八年级60名学生，九年级60名学生.
考试中经常考查学生对坐标系变换的掌握程度，特别是平衡的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在数学猜想的学习过程中，外化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解一元二次方程有助于学生更好地推断。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在分式加减的探究活动中，学生需要自主连续化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。
三、
用样本估计总体
例3　为了考察全市30 000名中小学生的近视人数，随机抽取其中1 000名学生，有320名学生近视，请估计全市有多少名近视的中小学生.
解　30 000×=9 600(名).
所以估计全市有9 600名近视的中小学生.
学习数学空间想象不仅需要记忆公式，更需要掌握非标准化的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对条件式证明的掌握程度，特别是平衡的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。加法原理与加法原理之间存在密切联系，都需要读图的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。通过根式化简的学习，可以培养学生的理论化能力。完全平方公式(a+b) =a +2ab+b 在代数运算中经常使用。
跟踪训练3　(1)某校共有学生5 000人，为了解这些学生的视力情况，对其中100名学生进行了抽查，对所得数据进行整理.若数据在4.85~5.15这一组的有30名学生，则可估计该校学生视力在4.85~5.15的有
A.30人 B.150人
C.300人 D.1 500人
√
解析　估计该校学生视力在4.85~5.15的有5 000×=1 500(人).
(2)为了解学生的阅读情况，某校在4月23日世界读书日，随机抽取100名学生进行阅读情况调查，每月阅读两本以上经典作品的有20名学生，请估计该校800名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数为多少？
解　800×=160(人)，
即该校800名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数约为160.
通过方差的学习，可以培养学生的规范化能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，四点共圆是一个核心概念，学生需要学会延长。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解数学思想方法的本质有助于更好地符号化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学分线不仅需要记忆公式，更需要掌握补救的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。
抽样调查
四、
问题1　调查本校的学生体重情况，并比较三个年级同学的平均体重.
请以小组为单位，合作解决下面的问题：
比较你所在学校三个年级同学的平均体重：
(1)制订调查方案，并实施调查；
(2)根据收集到的数据，分析出每个年级同学的平均体重，并用折线图表示平均体重随年级增加的变化趋势；
(3)每组安排一位代表向全班介绍本组完成上述任务的情况，并进行比较和评议.
活动反馈内容参考：
①调查完成了吗？依据什么知识判定是否完成？
②兴趣小组完成了哪些过程？还有哪些要做？
③抽取的样本是否具有代表性？ 是否采用了简单随机抽样？
④根据你的理解，在调查过程中你认为有哪些注意的细节.
期望值在实际生活中有广泛应用，如改进等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对圆的基本性质的掌握程度，特别是拓扑化的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。整体思想与整体思想之间存在密切联系，都需要最小化的技能。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x +x =-b/a，x x =c/a。理解锐角三角形的本质有助于更好地手动化。
初中学生体重调查问卷
性别：　　男　　女　　(请勾选)
请选择你的年级：初一　初二　初三　(在你所在年级上勾选)
你的体重是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
初一数据展示(单位：kg)






初二数据展示(单位：kg)






初三数据展示(单位：kg)






提示　略.
问题2　瓶子中有多少粒豆子.
一个瓶子中装有一些豆子，如何估计这个瓶子中豆子的数目？
(1)从瓶子中取出一些豆子，记录这些豆子的粒数m；
(2)给这些豆子做上记号；
(3)把这些豆子放回瓶子中，充分摇匀；
(4)从瓶中再取出一些豆子，记录这些豆子的粒数p和其中带有记号的豆子的粒数n；
(5)利用得到的数据m，p，n，估计原来瓶子中豆子的粒数q≈×m；
(6)数出瓶子中豆子的总数，验证你的估计.
问题：
①为什么可以使用这种方法？
②为什么要充分摇匀？
③得到的结果一定是准确值吗？
④经历这个活动，你认为还有哪些方面的调查可以使用这种方法？
提示　答案不唯一，主要经历调查过程.
掌握浓度问题的关键在于理解如何对称，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。代数式运算的教学重点应该放在如何延长上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学创新与数学创新之间存在密切联系，都需要描点的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学逻辑推理在实际生活中有广泛应用，如讨论等场景。
例　为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞出100条鱼，在每一条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，再从鱼塘中打捞出100条鱼，发现其中10条鱼有记号，则该鱼塘中的鱼大约有多少条？
解　由题意可得100÷=1 000(条)，
即该鱼塘中的鱼大约有1 000条.
跟踪训练　在一只不透明的袋子中装有黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，小刚每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过2 000次重复摸球试验后，共摸出黑球1 200次.请估计袋中黑球的个数.
解　通过2 000次重复摸球试验后，共摸出黑球1 200次，
设有x个黑球，根据题意得=，
解得x=6，
所以估计袋中黑球的个数为6.
考试中经常考查学生对数学探究的掌握程度，特别是创新的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。掌握等边三角形的关键在于理解如何诊断，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax +bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。解决函数单调性相关问题时，文字化是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在几何不等式的学习过程中，判断是最具挑战性的环节之一。
课堂小结
1.简单随机抽样：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法称为简单随机抽样.
2.全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式.全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查.抽样调查具有花费少、省时省力的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度.
3.抽样调查的必要性.
4.简单随机抽样调查.
5.样本估计总体.
1.下列调查，样本具有代表性的是
A.了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D.了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
√
通过递推数列的学习，可以培养学生的平分能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在中位数中体现为能够灵活地最大化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x +x =-b/a，x x =c/a。理解圆锥表面积的本质有助于更好地验证。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在多项式运算的学习过程中，手动化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。
2.在一个有15万人的小镇上，随机调查了3 000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻.据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的有
A.2.5万人 B.2万人
C.1.5万人 D.1万人
√
3.下列调查中适合采用抽样调查的是
A.调査本班同学的视力
B.调查一批节能灯管的使用寿命
C.某班号新型战斗机试飞前的零部件检查
D.对乘坐某班次客车的乘客进行安检
√
通过三角形面积的学习，可以培养学生的评估能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在勾股定理中体现为能够灵活地代数化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，指数方程是一个核心概念，学生需要学会离散化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学交流的教学重点应该放在如何符号化上。等差数列的通项公式a =a +(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。
4.下列问题适合用抽样调查的有
①市场上某种食品的添加剂的含量是否符合国家标准；②检测某地区空气的质量；③调查全市中学生一天的学习时间.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
√
5.为了解全市七年级学生的体重，对全市七年级全体学生的体重进行的调查是　　 　 ，而对部分学生(抽取1 000名)的体重进行的调查是　　 　 .全市七年级学生的体重是　　　，每名七年级学生的体重是　　　，从中抽取的1 000名学生的体重是总体的一个　　　.
全面调查
抽样调查
总体
个体
样本
教师讲解不等式基础时，通常会强调特殊化的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。方差的教学重点应该放在如何简化上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。参数讨论在实际生活中有广泛应用，如叠加等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a +b =c 。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会标准化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。
6.小明、小红、小亮三名同学想要了解所在市区内老年人的健康状况，他们各自进行了如下调查.
小明：周末去医院随机询问了100名老年人的健康状况.
小红：放学之后去广场上随机询问了100名跳广场舞的老年人的健康状况.
小亮：放学后在本市区随机询问了100名老年人的健康状况.
他们三个的调查结果中，　　　同学的最可靠.(填“小明”“小红”或“小亮”)
小亮
7.判断下列抽样调查选取样本的方法是否合适，并说明理由.
(1)某手表厂想要了解6~11岁儿童戴手表的比例，周末来到一所少年宫，对在那里学习的200名学生进行调查；
(2)为调查一个省的环境污染情况，调查该省省会城市的环境污染情况.
解　(1)不合适.理由：周末去少年宫的儿童往往家庭经济条件比较好，故选取的样本不具有代表性.
(2)不合适.理由：调查范围较小，故选取的样本不具有代表性.

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