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广西壮族自治区河池市环江毛南族自治县2025-2026学年下学期期中测试 八年级 数学
1．下面是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、为分数，不是二次根式，故A错误.
B、的根指数为，
不是二次根式，故B错误.
C、根指数为且被开方数是非负数，
是二次根式，故C正确.
D、被开方数为，在实数范围内无意义，
不是二次根式，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的定义分别判断Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项为为分数，不是二次根式，是二次根式，不是二次根式即可得答案.
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得答案。
3．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．3 D．9
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，解得，
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式与可以合并，可列方程，解出即可得答案.
4．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原式=6 ，所以A选项的计算错误；
B、5 与5 不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式=8 ，所以C选项的计算正确；
D、原式=2，所以D选项的计算错误.
故答案为：C.
【分析】利用合并同类二次根式的方法，可对A，B作出判断；利用二次根式的乘法法则，可对C作出判断；利用二次根式除法法则，可对D作出判断。
5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．
【解答】A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．如图，四边形是平行四边形，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴A.，不一定成立；
B.，不一定成立；
C.，一定成立；
D.，不一定成立．
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
7．如图，A，B两地被房子隔开，小明先在外选一点，然后步测出，的中点分别为M，N，并步测出的长约为45米，由此可知A，B间的距离约为（　　）
A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵，的中点分别为M，N，
∴是的中位线，
∴（米）.
∴A，B间的距离约为90米.
故答案为：Ｄ.
【分析】根据，的中点分别为M，N，结合三角形中位线定义得是的中位线，根据三角形中位线定理得A，B间的距离约为90米.
8．如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：当牙刷垂直放置时，；
当牙刷如图所示放置时，，且，
在中，
，
∴，
∴h的取值范围为：，
故选：D．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
9．如图，数轴上点所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由 作图可得：AB⊥OC，OA=3，AB=2，
，
，
则数轴上点所表示的数是；
故答案为：A．
【分析】根据作图得：AB⊥OC，OA=3，AB=2；根据勾股定理求出的长，得出，即可得出数轴上点所表示的数．
10．已知正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为32．计算的结果为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故选B．
【分析】本题考查正方形面积公式与二次根式的混合运算，正方形的面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根。首先根据正方形面积公式分别求出m和n的值：正方形M的面积为8，所以，化简二次根式得；正方形N的面积为32，所以，化简得。再将m和n的值代入代数式，先计算括号内的减法，得到，再进行二次根式的除法运算，即，根据二次根式除法法则，（，），此处可直接约分得出结果。
11．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵图中两个正方形的面积分别为和，
∴图中两个正方形的边长分别为：和，
∴图中最大长方形的长为，宽为，
∴图中阴影部分面积为：．
故选：C．
【分析】根据割补法，结合矩形面积，二次根式性质即可求出答案.
12．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为（　　）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
，
∵垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得，根据垂直平分线性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
13．计算 =　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为 .
【分析】运用二次根式的乘法性质 的逆运算.
14．　 　．
【答案】5
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：5.
【分析】本题考查了算术平方根的定义与计算，如果一个正数x的平方等于a，即，这个正数x叫做a的算术平方根，据此计算，即可得到答案.
15．如图，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，
∴，
∴，
∴以为直径的半圆的面积是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理，结合已知求出的长为8，再求出圆的半径，即可得以为直径的半圆的面积是.
16．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，连接BO，
∵B的坐标为（2，3），
∴OB=
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=
故答案为：．
【分析】连接BO，根据两点间距离可得OB，再根据矩形性质即可求出答案.
17．计算与画图：
（1）计算：；
（2）正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．
在图1中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数；
在图2中，画出一个面积为10的正方形．
【答案】（1）解：
.
（2）解：根据题意作图如下：
根据面积为10，画一个边长为的正方形即可作图如下：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质计算的、、得，进一步计算即可得答案.
（2）根据勾股定理结合已知即可画图.
（1）解：
；
（2）解：根据勾三股四弦五画图如下：
则即为所求；
根据面积为10，画一个边长为的正方形即可；
则正方形即为所求；
18．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式，得，进一步合并即可得答案.
19．已知，．
（1）求代数式的值；
（2）先化简代数式，再求它的值．
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，因式分解以及分式的化简计算，关键是正确进行分解因式把分式化简．
（1）直接代入、的值，根据平方差公式计算可得答案；
（2）首先求出，，再把的分子与分母进行因式分解，约分后得最简结果，再代入、的值计算即可．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：，
把，代入可得原式．
20．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，与相交于点，求证：．
【答案】证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得相等，平行，即可得相等，相等，根据相等，相等，再根据三角形全等的判定定理可判断
全等，根据三角形全等的性质得相等即可.
21．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处．
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）解：∵，是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得；

（2）解：由折叠的性质可得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据线段中点可得CD，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据折叠性质可得，根据边之间的关系可得AF，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得；
（2）解：由折叠的性质可得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
22．如图，在中，是的外角的平分线．
（1）作的平分线交于点，在上截取，连接；
（2）证明：四边形是矩形．
【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）证明：如图，
是的外角的平分线，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
平分，
，
，
∴四边形是矩形．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图作角的平分线及作线段的基本作图方法作图即可得答案.
（2）根据相等，是的外角的平分线，得相等，相等，再根据和相等，和相等即可得相等，再根据相等即可证明四边形是平行四边形，再根据相等，平分，得，即可得等于，再矩形的判定定理证明即可四边形是矩形．
（1）解：根据基本作图，画图如下：
则点D，点E即为所求；
（2）证明：是的外角的平分线，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
平分，
，
，
故四边形是矩形．
23．按要求解答问题：
（1）为了探索三角形中位线的性质，小明同学的思路如下：
如图1，在中，延长分别是，的中点）到点，使得，连接；先证，再证四边形是平行四边形，从而得到中位线与的关系是___________（直接填写结果）；
（2）如图2，在正方形中，为的中点，G，F分别为，边上的点，若，求的长；
（3）如图3，在四边形中，为的中点，G，F分别为，边上的点，若，求的长．
【答案】（1），．
（2）解：如图，
延长，，二线交于点H，
∵正方形中，为的中点，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，，直线是线段的垂直平分线，
∴．
（3）解：如图，
过点D作，交延长线于点Q，连接，过点Q作，交延长线于点P，
∵为的中点，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴，，
∵，，
∴，，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）证明：如图，
延长至点F，使得，连接，则：，
∵，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：，．
【分析】（1）延长至点F，使得相等，连接，则相等，根据已知可证明全等，即可得相等，相等，再根据D是的中点，推出相等，进一步得可判断四边形是平行四边形，即可得.
（2）延长，，二线交于点H，根据正方形性质得相等，相等，即可证明全等，即可得相等，相等，进一步根据已知得
等于3，，是线段的垂直平分线，即可得的长.
（3）过点D作，交延长线于点Q，连接，过点Q作，交延长线于点P，根据中点性质得相等，相等，进一步得可证明全等，进一步得，，在推理得，进一步解得的长即可.
（1）证明：如图，延长至点F，使得，连接．
∴，
∵，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）解：如图，延长，，二线交于点H．
∵正方形中，为的中点，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，，直线是线段的垂直平分线，
∴．
（3）解：如图，过点D作，交延长线于点Q，连接，过点Q作，交延长线于点P．
∵为的中点，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴，，
∵，，
∴，，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴．
1 / 1广西壮族自治区河池市环江毛南族自治县2025-2026学年下学期期中测试 八年级 数学
1．下面是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　）
A．0 B．1 C．3 D．9
4．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
6．如图，四边形是平行四边形，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，A，B两地被房子隔开，小明先在外选一点，然后步测出，的中点分别为M，N，并步测出的长约为45米，由此可知A，B间的距离约为（　　）
A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米
8．如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，数轴上点所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
10．已知正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为32．计算的结果为（　　）
A．1 B． C． D．
11．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为（　　）
A． B． C．4 D．2
13．计算 =　 　.
14．　 　．
15．如图，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是　 　．
16．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝　 　．
17．计算与画图：
（1）计算：；
（2）正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．
在图1中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数；
在图2中，画出一个面积为10的正方形．
18．计算：．
19．已知，．
（1）求代数式的值；
（2）先化简代数式，再求它的值．
20．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，与相交于点，求证：．
21．如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处．
（1）求的长；
（2）求的长．
22．如图，在中，是的外角的平分线．
（1）作的平分线交于点，在上截取，连接；
（2）证明：四边形是矩形．
23．按要求解答问题：
（1）为了探索三角形中位线的性质，小明同学的思路如下：
如图1，在中，延长分别是，的中点）到点，使得，连接；先证，再证四边形是平行四边形，从而得到中位线与的关系是___________（直接填写结果）；
（2）如图2，在正方形中，为的中点，G，F分别为，边上的点，若，求的长；
（3）如图3，在四边形中，为的中点，G，F分别为，边上的点，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、为分数，不是二次根式，故A错误.
B、的根指数为，
不是二次根式，故B错误.
C、根指数为且被开方数是非负数，
是二次根式，故C正确.
D、被开方数为，在实数范围内无意义，
不是二次根式，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的定义分别判断Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项为为分数，不是二次根式，是二次根式，不是二次根式即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得答案。
3．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，解得，
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式与可以合并，可列方程，解出即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、原式=6 ，所以A选项的计算错误；
B、5 与5 不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式=8 ，所以C选项的计算正确；
D、原式=2，所以D选项的计算错误.
故答案为：C.
【分析】利用合并同类二次根式的方法，可对A，B作出判断；利用二次根式的乘法法则，可对C作出判断；利用二次根式除法法则，可对D作出判断。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．
【解答】A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴A.，不一定成立；
B.，不一定成立；
C.，一定成立；
D.，不一定成立．
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵，的中点分别为M，N，
∴是的中位线，
∴（米）.
∴A，B间的距离约为90米.
故答案为：Ｄ.
【分析】根据，的中点分别为M，N，结合三角形中位线定义得是的中位线，根据三角形中位线定理得A，B间的距离约为90米.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：当牙刷垂直放置时，；
当牙刷如图所示放置时，，且，
在中，
，
∴，
∴h的取值范围为：，
故选：D．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由 作图可得：AB⊥OC，OA=3，AB=2，
，
，
则数轴上点所表示的数是；
故答案为：A．
【分析】根据作图得：AB⊥OC，OA=3，AB=2；根据勾股定理求出的长，得出，即可得出数轴上点所表示的数．
10．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故选B．
【分析】本题考查正方形面积公式与二次根式的混合运算，正方形的面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根。首先根据正方形面积公式分别求出m和n的值：正方形M的面积为8，所以，化简二次根式得；正方形N的面积为32，所以，化简得。再将m和n的值代入代数式，先计算括号内的减法，得到，再进行二次根式的除法运算，即，根据二次根式除法法则，（，），此处可直接约分得出结果。
11．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵图中两个正方形的面积分别为和，
∴图中两个正方形的边长分别为：和，
∴图中最大长方形的长为，宽为，
∴图中阴影部分面积为：．
故选：C．
【分析】根据割补法，结合矩形面积，二次根式性质即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
，
∵垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得，根据垂直平分线性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为 .
【分析】运用二次根式的乘法性质 的逆运算.
14．【答案】5
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：5.
【分析】本题考查了算术平方根的定义与计算，如果一个正数x的平方等于a，即，这个正数x叫做a的算术平方根，据此计算，即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，
∴，
∴，
∴以为直径的半圆的面积是，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理，结合已知求出的长为8，再求出圆的半径，即可得以为直径的半圆的面积是.
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，连接BO，
∵B的坐标为（2，3），
∴OB=
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=
故答案为：．
【分析】连接BO，根据两点间距离可得OB，再根据矩形性质即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
.
（2）解：根据题意作图如下：
根据面积为10，画一个边长为的正方形即可作图如下：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质计算的、、得，进一步计算即可得答案.
（2）根据勾股定理结合已知即可画图.
（1）解：
；
（2）解：根据勾三股四弦五画图如下：
则即为所求；
根据面积为10，画一个边长为的正方形即可；
则正方形即为所求；
18．【答案】解：
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先计算完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式，得，进一步合并即可得答案.
19．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，因式分解以及分式的化简计算，关键是正确进行分解因式把分式化简．
（1）直接代入、的值，根据平方差公式计算可得答案；
（2）首先求出，，再把的分子与分母进行因式分解，约分后得最简结果，再代入、的值计算即可．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：，
把，代入可得原式．
20．【答案】证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得相等，平行，即可得相等，相等，根据相等，相等，再根据三角形全等的判定定理可判断
全等，根据三角形全等的性质得相等即可.
21．【答案】（1）解：∵，是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得；

（2）解：由折叠的性质可得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；线段的中点
【解析】【分析】（1）根据线段中点可得CD，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据折叠性质可得，根据边之间的关系可得AF，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得；
（2）解：由折叠的性质可得，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
22．【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）证明：如图，
是的外角的平分线，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
平分，
，
，
∴四边形是矩形．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图作角的平分线及作线段的基本作图方法作图即可得答案.
（2）根据相等，是的外角的平分线，得相等，相等，再根据和相等，和相等即可得相等，再根据相等即可证明四边形是平行四边形，再根据相等，平分，得，即可得等于，再矩形的判定定理证明即可四边形是矩形．
（1）解：根据基本作图，画图如下：
则点D，点E即为所求；
（2）证明：是的外角的平分线，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
平分，
，
，
故四边形是矩形．
23．【答案】（1），．
（2）解：如图，
延长，，二线交于点H，
∵正方形中，为的中点，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，，直线是线段的垂直平分线，
∴．
（3）解：如图，
过点D作，交延长线于点Q，连接，过点Q作，交延长线于点P，
∵为的中点，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴，，
∵，，
∴，，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）证明：如图，
延长至点F，使得，连接，则：，
∵，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：，．
【分析】（1）延长至点F，使得相等，连接，则相等，根据已知可证明全等，即可得相等，相等，再根据D是的中点，推出相等，进一步得可判断四边形是平行四边形，即可得.
（2）延长，，二线交于点H，根据正方形性质得相等，相等，即可证明全等，即可得相等，相等，进一步根据已知得
等于3，，是线段的垂直平分线，即可得的长.
（3）过点D作，交延长线于点Q，连接，过点Q作，交延长线于点P，根据中点性质得相等，相等，进一步得可证明全等，进一步得，，在推理得，进一步解得的长即可.
（1）证明：如图，延长至点F，使得，连接．
∴，
∵，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）解：如图，延长，，二线交于点H．
∵正方形中，为的中点，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，，直线是线段的垂直平分线，
∴．
（3）解：如图，过点D作，交延长线于点Q，连接，过点Q作，交延长线于点P．
∵为的中点，
∴，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴，，
∵，，
∴，，直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴．
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