资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数压轴题 重点考点押题练 2026年初中数学中考复习备考
1．已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？
(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
2．在平面直角坐标系中，若点M的横坐标和纵坐标相等，则称点M为完全点．
(1)判断二次函数的图象上是否存在完全点．若存在，请求出完全点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)若二次函数的图象上有且只有一个完全点，请求出此二次函数的关系式．
(3)将（2）中的二次函数图象向下平移10个单位长度后，得到新的二次函数图象满足以下条件：当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出m的取值范围．
3．已知抛物线：（，，是常数，且）的顶点为，直线：与相交于A，B两点（点在点的左侧）．
(1)若点的坐标为，求点的坐标；
(2)当点A，B都在轴上方时，过点A，B分别作轴于点，轴于点，取的中点，连接，，用，，分别表示，，的面积．若，求的值；
(3)已知抛物线：与直线交于，两点（点在线段上，点在点右侧）．若，，是整数，且满足，求的值．
4．如图1，抛物线与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；
（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB=2∠ACO，求点Q的坐标．
5．如图，开口向下的抛物线经过点，顶点为C，和直线交与另一点B，动点P从点C出发，沿着抛物线向点B运动，到达点B后立即停止．过点P作y轴的垂线，与线段或上方的抛物线交与另一点N，过P作x轴垂线交与于E，以和为边作矩形，该矩形被分成上、下两部分，其面积分别记为和，设点P的横坐标是t，已知当点P运动时，由0逐渐增大到n后又逐渐减小到0．
(1)填空： °；
(2)当时，求a的范围；
(3)若，点P在运动过程中能否使得，若能，请求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式：
(2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接．当面积最大时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
7．如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)若点的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)若二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点时，求出的值；
(3)点，的坐标分别为和，若二次函数图象与线段始终只有一个交点，且，求的取值范围．
8．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接，，，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，求的最小值．
9．如图，抛物线：与轴交于点，，顶点为，抛物线：经过点，，与轴交于点，其中．
(1)当点，时，
①直接写出抛物线的函数表达式，并求抛物线的函数表达式；
②对于，求当时，的值．
(2)请你判断是否总成立，说明理由；
(3)过点作轴的平行线，交抛物线于点（不与点重合），当时，
①求当时的长度；
②将横坐标与纵坐标都是整数的点称为“好点”，当时，由线段，抛物线，与轴围成的封闭图形（含边界）中有8个好点，直接写出的取值范围．
10．已知二次函数（，均为常数）．
(1)若函数图象经过原点，且对称轴是直线，求二次函数表达式；
(2)若函数图象上有两点，，且，求的取值范围；
(3)将二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上，与该直线的另一个交点为，在轴上是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由．
11．二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)如图1，求二次函数的表达式及点的坐标；
(2)如图2，点为线段下方二次函数图象上一点，过点作轴的平行线交于，点为线段上一点，满足，过点作轴的平行线交于点，当时，求点的坐标；
(3)如图3，点坐标为，点、分别为线段、上的点，且满足，求的最小值．
12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴于A、B两点（点在点左侧），交轴于点，连接，．
(1)求的值；
(2)如图1，点在第四象限抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为t，的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，当时，过P作轴交轴于点E，连接，点F在上，连接，过A作，垂足为G，过G作的角平分线交于点H，连接，K在上，连接，过C作于点，点在上，连接，，点在第一象限抛物线上，连接交轴于，延长至，连接、、、，N在上，连接、、，若，，求的长．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F，求出的长，将分成与的面积和，根据三角形面积公式表示为函数求最值即可；
（3）设点P横坐标，表示出点P和点D及的长，根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标，进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，，分类讨论t的范围，即可求得点P坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，则
，解得∶
故抛物线解析式为．
（2）过点P作轴于点H，交于点F，如图，
当时，，
则，
设直线解析式为，
∵过点A和B，则，，
∴直线解析式为，
∵点P在线段上方的抛物线上，设点P的横坐标为t，
∴，，
则，
，
故点，的面积最大
（3）设，
则，那么，
∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∵轴交抛物线于点E，
∴，且，
∴，
．
则，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
当时，，
有
解得∶(舍去)，，
则点，
当时，
有，解得，(舍去)，
则点，
故点或时，为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法求解析式和性质、求解二次函数最值、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论点所处位置及对应线段长度．
2．(1)存在，、
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全点的定义可得，即可求解；
（2）根据完全点的定义可得方程有两根相等的实数根，且，从而得到，且，即可求解；
（3）根据平移的性质可得平移后的图象的对称轴为直线，且该函数图象的最小值；再由当时，，解得：或，即可求解．
【详解】（1）解：存在；令，
即，
解得；
∴完全点的坐标为、；
（2）解：∵二次函数的图象上有且只有一个完全点，
∴方程有两根相等的实数根，且，
即有唯一解，
∴，且，
解得：，；
∴抛物线的解析式；
（3）解：∵将的图象向下平移10个单位长度后，得到新的二次函数图象，
∴新的二次函数的解析式为，
∵，
∴平移后的图象的对称轴为直线，且该函数图象的最小值；
当时，，
解得：或，
∵当时，函数的最小值为，最大值为，
∴m的取值范围为．
3．(1)
(2)
(3)的值为5或9或16或35
【分析】（1）根据题意可设，再代点可得及直线方程，再联立求点坐标即可；
（2）设，，则，再分别表示出，结合直接计算即可；
（3）设，，，，联立直线与抛物线得得 ，则，然后可得，再结合列方程求解．
【详解】（1）解：的顶点为，
的函数解析式为：．
∵点在抛物线上，
∴将点代入，得 ，
解得，
的函数解析式为．
∵直线过点，
∴将点代入，得 ，
解得，
，
∴联立，解得，
∴点的坐标为；
（2）设，．
则点的坐标为．
，
，
，
．
，
；
（3）设，，，．
由（1）可设的函数解析式为，
联立化简，得 ，
∵抛物线与直线相交于A，B两点，
，为方程 的两根，
．
联立化简，得 ，
∵抛物线与直线相交于，两点，
，为方程 的两根，
．
∵直线与轴正方向的夹角为，
，
，
化简，得，
即，
，
，
，
．
，是整数，且，
或或或
的值为5或9或16或35．
4．（1），；（2）P（0，-4）；（3）点Q的坐标为，．
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入二次函数解析式即可求出二次函数的解析式，再求出点D的坐标，设直线AD的解析式为，将点A和点D的坐标代入直线解析式，即可求出直线AD的解析式；
（2）根据题意表示出，再表示出，再求最值即可；
（3）在BO上截取ON＝OA，连接CN，过点A作AH⊥CN，证明△OCN≌△OCA（SAS），即可得出∠QAB＝∠NCA，分两种情况，点Q在AB上方和下方，求出直线AQ的解析式，与二次函数联立即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）将A（-2,0），B（4,0）代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为，
当x=2时，，
∴D（2，-4）
设直线AD的解析式为，
将A（-2,0）D（2，-4）代入，
得，解得
∴直线AD的解析式为
（2）根据题意作图，如图，
在上，当x=0时， ，
∴AD与y轴的交点M的坐标为（0，-2），
∴OA=OM，∠AOM=90°，
∴∠OAB=45°，
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴∠PEF=∠OAB=45°，∠EPF=90°，
∴PF=PE，
设，
∴，
∵P在AD的下方，
∴-2当x=0时，PF有最大值为2，此时PF+PE最大，
∴P（0，-4）；
（3）在BO上截取ON＝OA，连接CN，过点A作AH⊥CN，如图，
∵点A（-2，0），点C（0，﹣4），
∴OA＝2，OC＝4，
∴，
∵ON＝OA，∠CON＝∠COA＝90°，OC＝OC，
∴△OCN≌△OCA（SAS），
∴∠ACO＝∠NCO，CN＝AC＝，
∴∠NCA＝2∠ACO，
∵∠QAB＝2∠ACO，
∴∠QAB＝∠NCA，
∵S△ANC＝AN×OC＝AH×CN，
∴AH＝＝，
∴，
∴，
如图，当点Q在AB的下方时，设AQ与y轴交于点I，
∵∠QAB＝∠NCA，
∴tan∠NCA＝tan∠QAB＝＝，
∴OI＝，
∴点I（0，），
又∵点A（-2，0），
∴直线AQ解析式为：，
联立方程组得：，
解得：或（不合题意舍去），
∴点Q坐标为：，
当点Q在AB的上方时，同理可求直线AQ解析式为：，
联立方程组得：，
解得：（不合题意舍去）或，
∴点Q坐标为：，
综上所述：点Q的坐标为，．
【点睛】本题考查二次函数综合题以及全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是熟练掌握求二次函数和一次函数解析式的方法，坐标与图形的知识点，将几何关系转化为代数关系进行求解．
5．(1)45
(2)
(3)能；
【分析】（1）根据题意求出、长，利用进行求解即可；
（2）利用待定系数法求出抛物线的表达式，根据点N所在位置不同分类讨论，求出对应的和的表达式，利用的最大值为2，求出的取值范围；
（3）由（2）可知，此时点N所在位置，然后根据最大值为求出的值，再根据对应情况的两个图形面积比求出的值，即得点P坐标．
【详解】（1）解：过点P作轴的垂线，垂足为点D，
设点P的横坐标为，则，，
如图，
则、 ，
轴，
，
，
即；
（2）解：由图可知，，
将点代入得：，
即，
抛物线解析式为，
与直线联立得：
整理得：，
解得：或，
，
，
将代入得：，
，
当点N在抛物线上时，如图，设与交于点G，
抛物线关于轴对称，且轴，
点和点关于轴对称，
，
，
，
点E和点G都在直线上，
、，
、，
四边形是矩形，
、、，
，
，
，
，
解得：，
，
，
点A关于轴的对称点的横坐标为1，
当时，点N与点A重合时，面积最大，最大值为；
当点N在线段上时，，
如图，
由（1）知，，
是等腰直角三角形，
，
，
令，此时，
该函数的对称轴为：，
时，，
，
；
（3）解：，
由（2）知，此时点N在线段上，
的最大值为，
的最大值为，
函数的对称轴为，
当时，，
解得：或，
，
，
抛物线，
由（2）知，点N在线段上时，，
当时，点在抛物线上，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
当时，，
．
【点睛】本题考查二次函数与几何的综合题，熟练掌握二次函数的图象性质，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键．
6．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）代入抛物线，结合抛物线的对称轴是直线，建立方程组求解即可；
（2）过P作轴交于F，过点B作，使，连接,则四边形是平行四边形， ，求出，求出直线解析式，直线的解析式为，联立，解得，设，则，得，得，得当时，最大，由是定值，，得最大，得，当点M在直线上时，，最小，由点A与点B关于对称轴对称，得，得，最小，由，得，即得的最小值是；　
（3）设与交于点L，可知抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为，，得，由三角形外角性质得，得，求出解析式，得解析式为，当时，解得，得；设关于x轴对称点为，求出直线解析式，联立解得，得．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：，
∴抛物线为：．
（2）解：如图，过P作轴，交于F，过点B作，使，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
对，
令，则，
解得；
令，则．
∴．
设直线解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴把代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，最大，
∵是定值，，
∴最大，
∴，
当点M在直线上时，，最小，
∵点A与点B关于对称轴对称，
∴，
，最小，
∵，
∴，
∴的最小值是．
（3）解：设与交于点L，
∵，
∴，
∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，
为，
即，
∵点为点P的对应点，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
设解析式为，
把代入，得，
∴，
∴解析式为，
设解析式为，
把代入，得，
∴，
∴解析式为，
当时，联立，
解得或（舍去），
∴；
设关于x轴对称点为，直线解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴直线解析式为，
∴，
解得（舍去）或，
∴．
故点Q的坐标为或．
【点睛】第（2）小问添加辅助线构造将军饮马模型，第（3）小问，点Q在点B的左面，不合要求的点Q（在点B右面）舍去．
7．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）当时，，再由二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点，得到该方程根的判别式为0，即可求解；
（3）分类讨论，画出图形求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴，
将点代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时， ，
即，
∵二次函数图象与过且垂直于y轴的直线只有一个交点，
∴ ，
解得；
（3）解：①如解图，当时，抛物线上的点在点M的上方，且当时，抛物线上的点在点N的下方，抛物线与线段只有一个交点，
此时，
解得，
所以；
②如解图，当时，抛物线上的点在点M的下方，且当时，抛物线上的点在点N的上方，抛物线与线段只有一个交点，
此时，解得；
③当抛物线过点M时，
由（1）得抛物线的表达式为，
设直线的表达式为（k≠0），
将点，分别代入，
得，
解得，
∴直线MN的表达式为，
联立，
解得或，
∴抛物线与直线的另一个交点的横坐标为，
∴只有一个交点，此时；
④当抛物线过点N时，
易得抛物线的表达式为，
联立，
解得或，
∴抛物线与直线的另一个交点的横坐标为，
∴只有一个交点，此时．
综上所述，当或时，二次函数图象与线段只有一个交点．
8．(1)；
(2)点P坐标为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为，由可得，根据正切定义可求出；
（2）过点作轴，交于点，过点作轴，由可得，证明，得到，设点坐标为，可得，解之即可求解；
（3）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点，
抛物线与轴交于、两点，
时，，
解得，，
，
，，
在中，，
，
则，
，
，
，
轴，轴，
，，
，
又，
，
，
设点坐标为，则，，
，
解得（舍去）或，
点坐标为；
（3）解：如图2，作，且使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，，共线时，的值最小，
作于点，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
解得或（舍去），
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．(1)①；
②；
(2)总成立，理由如下：
抛物线与轴交于，，
设，
将点代入得，，
，
；
(3)①；
②．
【分析】（1）①抛物线顶点为，故；代入得，求出，得，抛物线过点，用交点式或待定系数法可求解析式．
②令的函数值，解一元二次方程得的值．
（2）利用抛物线与轴交点，顶点；抛物线过，，，用待定系数法表示与的关系，化简可证恒成立．
（3）①时，先求抛物线解析式，再求过的水平线与的交点，利用对称性得长度．
②时，结合，通过封闭图形内整数点（好点）的数量限制，反推的取值范围，核心是分析边界处整数点的分布．
【详解】（1）解：①抛物线的解析式为．
抛物线与轴交于，且对称轴为轴，
，
当时，抛物线的解析式为，
，
．
将代入得，
，解得，
．
②当时，，
解方程得．
（2）略；
（3）解：①抛物线与轴交于，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
．
②抛物线与轴交于，，
由①得，当时，，
当时，封闭部分（含边界）有8个好点：
，
当抛物线经过点时，由于，
代入，得，
由④×＋⑤，得，
则，
由（2）得，
，
封闭部分（含边界）有个好点时，，
由（2）得，
，
的取值范围为．
10．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）结合二次函数的函数图象经过原点，对称轴为直线，再建立方程组求解即可；
（2）计算，，结合，再进一步求解即可；
（3）设顶点，可得平移后的解析式为：，求解，可得，结合，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的函数图象经过原点，对称轴为直线，
∴，解得：，
∴二次函数为．
（2）解：∵函数图象上有两点，，
∴，
，
∵，
∴，
解得：．
（3）解：∵二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上，
∴设顶点，
∴平移后的解析式为：，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，即，
∴，
∴，
解得：，，
∴存在满足条件的点，的值为或．
11．(1)，
(2)或
(3)5
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再令即可求出点的坐标；
（2）证明 ，求出，求出直线的表达式为：，设，得到 ，解方程即可求出答案；
（3）以为斜边在轴下方构造等腰直角，证明，，得到 ，过点作 ，且 ，连接、，证明，则当点、、共线时，有最小值为，进一步求出即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线表达式得：，
由得： ，
得，
，
把代入得：．
，
将代入得：，
；
（2）解：
∴
轴，轴，
，
， ，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为：，
将、代入得，
，
∴直线的表达式为：，
设，
，
，
，
，，
或；
（3）解：如图，以为斜边在轴下方构造等腰直角，
，，
，
，
，
，
过点作 ，且 ，连接、，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
，
∴四边形为平行四边形，
，
，
，
当点、、共线时，有最小值为，
，，
，
， ，
，
的最小值为5．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得，根据得出，则，代入抛物线解析式，即可求解；
（2）作轴于点,令，得出则，根据题意得，则，，，根据正切的定义得出，根据得出，表示出，进而求得与的函数关系式；
（3）过作于，作轴交的延长线于，先证明，得 ，同理可得，得，进而得，作交其延长线于，延长交于，证明，，得出，过点作平分，同理可得，可得为等腰直角三角形，得出，则四点共圆，得出，作于，的延长线交的延长线于， ，得出，即可得出是的中位线，结合已知得出，求得直线的解析式为，联立抛物线解析式得出，过点作轴于点，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
即，
∴，
在中，∵，
即，
，
∴，
将代入得：
，
，
（2）解：如图，作轴于点，
∵，
令，则，
，
，
则，
∵点在第四象限抛物线上，且点的横坐标为t，
，
，，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如图，过作于，作轴交的延长线于，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
同理可得，
，
，
，
，
作交其延长线于，延长交于，
，
，，
，
，
，，
平分，
，
为等腰直角三角形，
，
，
又，
，
，
过点作平分，
，
同理可得，
，
为等腰直角三角形，
，
四点共圆，
，
作于，的延长线交的延长线于，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
又，
，
，
同理可得，
，
∵，，
∴是的中位线，
，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，代入，，
得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
∴，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑