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几何中有关证明与计算题 重点考点押题练 2026年初中数学中考复习备考
1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F
（1）求证：BF平分∠DFE；
（2）若EF＝DF，BE＝5，AH＝，求⊙O的半径．
2．如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，于F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
3．已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．
(1)如图①，求的大小；
(2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．
4．如图，四边形中，，，平分，交于点，以为直径的经过的中点．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
5．如图，在中，．以为直径的与线段交于点D，过点D作，垂足为点E，的延长线与的延长线交于点P．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的半径以及的长．
6．如图，在矩形中，P为边的一点，的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，交于点H，，连结，．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的长．
7．如图，是的直径，过圆上点的直线交延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
8．已知，，点，分别是，的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接交于点，若，，求的长．
9．如图，E是正方形的边上一点，连接，延长至点F使得，连接．
(1)求证：；
(2)过点E作，垂足为G，当E为的中点，且时，求的长．
10．如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，求的半径．
11．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接，．
(1)求证：；
(2)满足怎样的条件时，使得四边形是矩形？并请说明理由．
12．如图，在中，，经过，两点，与边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的值．
参考答案
1．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据圆内接四边形性质和圆周角定理求出∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，根据垂径定理求出CH＝DH，求出BC＝BD，根据等腰三角形性质求出∠BCD＝∠CDB，求出∠EFB＝∠DFB即可；
（2）根据全等三角形的判定求出△DFB≌△EFB，根据全等三角形的性质求出BD＝BE＝5，证△DHB∽△ADB，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】（1）证明：∵C、D、B、F四点共圆，
∴∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，
∵CD⊥OA，OA过O，
∴CH＝DH，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠CDB，
∴∠EFB＝∠DFB，
∴BF平分∠DFE；
（2）解：设⊙O的半径为R，
∵在△DFB和△EFB中 ,
∴△DFB≌△EFB（SAS），
∴BD＝BE，
∵BE＝5，
∴BD＝5，
∵AB为⊙O直径，CD⊥AB，
∴∠ADB＝∠DHB＝90°，
∵∠DBH＝∠ABD，
∴△DHB∽△ADB，
∴，
∵AH＝，BD＝5，AB＝2R，BH＝2R﹣，
∴,
解得：R＝，R＝﹣2（舍去），
即⊙O的半径是．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆内接四边形，垂径定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
2．(1)证明见解析
(2)7
【分析】（1）连接，，求出，推出，根据切线的判定推出即可；
（2）求出、，推出四边形和四边形是矩形，推出，，求出，即可求出答案．
【详解】（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）连接交于M，过O作于N，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
即，
同理四边形是矩形，
∴，
∵为半径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为R，
则在中，由勾股定理得：，
解得： ，
则，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，添加合适的辅助线解答是解题的关键．
3．(1)
(2)3，
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可；
（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接．
与相切于点，
．又，
平分．
∴．
，
．
在中，，
．
（2）由（1）知：．
，
．
为的一个外角，
．
由题意，为的直径，
．
又的半径为3，则：．
在中，，
．
4．(1)见解析
(2)
【分析】对于（1），连接，先说明，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得，可得，再根据说明，即可得出答案；
对于（2），连接，根据中位线的性质得，根据平行线的性质求出，最后根据弧长公式得出答案.
【详解】（1）证明：如图，连接，
为直径，
，
.
为的中点,
，
，
.
平分，
，
，
，
，
.
，
，
，
.
为直径,
与相切.
（2）解：如图，连接，
为的中点，为的中点，
，.
，
.
，
.
，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查了切线的证明，平行线的性质，中位线的性质，弧长公式，线段垂直平分线的性质等，准确作出辅助线是解题的关键.
5．(1)见解析
(2)圆的半径为3，
【分析】（1）连接，，通过直径所对的圆周角等于90度，得到，结合等腰三角形三线合一，可得，接着证明，推出，即可得到，即可得证；
（2）连接，，在中，利用，可算得，再用勾股定理得到，接着在中，利用，可算得，再用勾股定理得到，推导出，最后在中利用勾股定理求得．
【详解】（1）证明：连接，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：连接，，
由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，即圆的半径为3，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)，
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质和相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质、线段垂直平分线的性质可证明，继而求解即可；
（2）先由勾股定理求出，再由等腰直角三角形的性质得出，通过证明，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的中垂线分别交矩形两边，于点E，F，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
7．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用圆周角定理得到，通过角的转换证明，即可证明是的切线；
（2）由正切函数的定义得，证明，得到，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，又，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，正切函数的定义，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
8．(1)证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是菱形；
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线定理可知，，，可证，根据全等三角形的性质可证四边形是平行四边形，根据，可证四边形是菱形；
（2）连接，交于点，设，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得：，，由，可以求出，可证，根据相似三角形的性质可知，所以可得，即可求出的长度．
【详解】（1）证明：略；
（2）解：如下图所示，连接，交于点，
设，
，，
，，
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意得，然后可得，进而问题可求证；
（2）由题意得，则有，然后可得，进而可得，根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵E为的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
10．(1)见解析；
(2)．
【分析】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是关键．
（1）连接，证明，得到，即可证明结论成立；
（2）先求出，连接，证明，则，得到，勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，则有
，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：为中点且
如图，连接
为直径
11．(1)证明：点是的中点，
，
在和中，，
，
，
点是边的中点，
，
；
(2)添加，可得平行四边形是矩形，理由如下：
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
当时，点是的中点，
，即，
平行四边形是矩形．
【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质和中点定义可证；
（2）可证四边形是平行四边形，添加，根据等腰三角形的三线合一定理可证，可得平行四边形是矩形．
【详解】（1）略
（2）略
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理可知，根据平行线的性质可证，又因为点是上一点，可证是的切线；
（2）连接，可得，可证，根据平行线的性质可知可证，又因为，可得，根据可得，所以点是的中点，从而可得.
【详解】（1）证明：如下图所示，连接，
中，，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
（2）解：如下图所示，连接，
是的直径，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，而，
，
．
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