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广西壮族自治区南宁市武鸣区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．化简的结果（　　）
A．9 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质：(a)2=a（其中 a≥0），本题中 a=3，满足 a≥0，因此： (3)2=3。
故答案为：B.
【分析】本题的解题思路是：直接应用二次根式的核心性质 (a≥0)进行化简，关键是明确该性质的适用条件（被开方数非负），并注意与的化简区分，避免混淆概念。
2．当时，一次函数的函数值为（　　）
A． B．1 C．5 D．13
【答案】A
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：将 x=3 代入一次函数表达式 y=2x 7 中：
y=2×3 7
y=6 7= 1
因此，当 x=3 时，函数值为 1，
故答案为：A.
【分析】 本题的解题思路是：将给定的自变量值代入一次函数的表达式中，按照先乘除后加减的运算顺序计算出函数值。核心是理解一次函数中自变量与函数值的对应关系，掌握代入求值的基本方法。
3．如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中
∴∠BCD=∠BAD=130 。
∵B、C、E三点共线，∠BCD与∠DCE构成平角，
∴∠BCD+∠DCE=180 。
代入∠BCD=130 ，
∴∠DCE=180 130 =50 ，
故答案为：A .
【分析】本题的解题思路是：先利用平行四边形 “对角相等” 的性质，求出与∠BAD相等的内角∠BCD的度数；再根据 “邻补角和为180 ” 的定义，求出∠DCE的度数。
4．样本数据2，8，14，16，20的平均数是（　　）
A．8 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：先计算数据总和： 2+8+14+16+20=60
再除以数据个数（共 5 个）：==12
故答案为：C .
【分析】 本题解题核心是直接应用平均数的定义公式=，其中n为数据个数。先将所有数据相加求出总和，再除以数据的个数，即可得到平均数。
5．关于各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：选项 A：==≠2，计算错误。
选项 B：2与不是同类二次根式，不能直接合并，2+≠，计算错误。
选项 C： ==≠3，计算错误。
选项 D：，计算正确。
故答案为：D .
【分析】先回忆二次根式的乘除法则，验证选项 A（除法）和 D（乘法），看运算是否符合 “、” 的规则，再区分 “同类二次根式” 和 “非同类二次根式”，验证选项 B 和 C：只有被开方数相同的二次根式才能合并，非同类二次根式不能直接相加减，同类二次根式合并时系数相加减，被开方数不变，最后确定只有选项 D 的运算完全符合二次根式的乘法法则。
6．直线 与 轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令y=0，则x=3，
∴直线y=x-3与x轴的交点坐标为（3，0）．
故答案为：B．
【分析】令y=0，求出x的值即可得出结论．
7．将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原直线为 y=2x（即 b=0），向上平移 3 个单位，因此：y=2x+0+3=2x+3
所以，所得直线的解析式为 y=2x+3，
故答案为：A .
【分析】 直接应用一次函数图象平移的 “上加下减” 法则，对原直线的解析式进行调整， 对于直线 y=kx+b，向上平移 m 个单位，解析式变为 y=kx+b+m；向下平移 m 个单位，解析式变为 y=kx+b m即可得到答案。
8．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵顶点C(3，4)，原点O(0，0)，
∴由勾股定理可得菱形边长： OC=，
∵ 菱形的四条边相等，
∴AB=BO=OC=CA=5。
∵在菱形ABOC中，AC∥BO，且BO在 x 轴上，
∴AC∥x轴，点A与点C的纵坐标相同，均为4。
设点A(x，4)，由AC=5，C(3，4)，
∴|3 x|=5 解得x=3+5=8（舍去，因 A 在 y 轴左侧）或x=3 5= 2，
∴顶点A的坐标为( 2，4)。
故答案为：C .
【分析】利用点 C 的坐标，通过勾股定理算出菱形的边长 OC，再根据菱形四条边相等的性质，得到 AC=OC。通过观察图形和菱形对边平行的性质，判断出 AC∥x 轴，因此点 A 和点 C 的纵坐标相同。根据 AC 的长度，结合点 A 在 y 轴左侧的位置，求出点 A 的横坐标，从而确定其完整坐标。
9．已知，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质：=|a|，当 a<0 时，|a|= a，
∴=|m 10|
∵ 0∴m 10<0。
∴|m 10|= (m 10)= m+10
综上，化简结果为 m+10。
故答案为：C .
【分析】利用二次根式的性质转化表达式，根据公式 a2=|a|，先把根号形式转化为绝对值形式 |m 10|，这是化简的关键步骤，再根据已知条件去绝对值符号，先由 010．如图，小明在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形．若，则菱形的面积为（　　）
A． B． C．8 D．16
【答案】A
【知识点】菱形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：已知菱形 ABCD 中，AB=4，∠B=60 。
∴ AB=BC=4。
又∵∠B=60 ，
∴ △ABC 是等边三角形，
∴AC=AB=4，
连接BD，设 AC 与 BD 交于点 O，
则 AC⊥BD，AO=AC=2。
在 Rt△ABO 中，
BO=
∴BD=2BO=。
菱形面积公式为：
故答案为：A .
【分析】根据菱形四边相等和已知的 60 角，判断出 △ABC 是等边三角形，从而直接得到对角线 AC 的长度，再利用菱形对角线互相垂直平分的特点，在直角三角形中通过勾股定理求出对角线 BD 的长度，使用对角线乘积的一半公式，计算出菱形的面积。
11．如图，李明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点 B 作 BD⊥AC2于点D，
在 Rt△ABD 中，
∵∠A=30 ，AB=6 cm，
∴BD=AB=×6=3 cm，
由题意知 BC1=BC2=4 cm，
∴三角形BC1C2为等腰三角形，
在 Rt△BDC1 和 Rt△BDC2 中，
C1D=C2D=cm，
∵ D 是 C1C2 的中点，
∴C1C2=C1D+C2D=cm，
综上，C1C2 的长为cm。
故答案为：D .
【分析】过点 B 作AC2 的垂线 BD，利用 30 角的直角三角形性质，先求出高 BD 的长度，再根据圆规作图的性质，BC1=BC2，在两个全等的直角三角形 △BDC1 和 △BDC2 中，用勾股定理求出 C1D 和 C2D 的长度，由 C1C2=C1D+C2D，得到 C1C2 的总长度。
12．直线 如图所示，则下列关于直线 的说法错误的是（　　）
A．直线 一定经过点
B．直线 经过第一、二、三象限
C．直线 与坐标轴围成的三角形的面积为2
D．直线 与直线 关于 轴对称
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】A、当 时， ，所以直线 一定经过点（-2，0），选项A符合题意；
B、由直线 的图象知： ，则直线 经过第一、二、三象限，选项B符合题意；
C、直线 与 轴相交于点（-2，0），与 轴相交于点（0， ），则直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 ，选项C符合题意；
D、直线 与 轴相交于点（-2，0），与 轴相交于点（0， ），直线 与 轴相交于点（2，0），与 轴相交于点（0， ），而点（-2，0）与点（2，0）关于 轴对称，则直线 与直线 关于 轴对称，选项D符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据直线 的图象和性质进行求解即可。
二、填空题
13．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　 ．
【答案】x≥﹣2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
14．从小到大的一组数据-2，1，2，，6，10的中位数为2，则这组数据的众数是　 　．
【答案】2
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，即第 3 个和第 4 个数的平均数。
∴=2，
∴解方程：2+x=4 x=2，
将 x=2 代入，数据变为： 2，1，2，2，6，10。
其中数字 2 出现了 2 次，出现次数最多，因此这组数据的众数是 2。
故答案为：2 .
【分析】利用中位数的定义求未知数据 x：先根据数据个数为偶数时中位数的计算方法（中间两个数的平均数），列出方程求出 x 的值。再根据众数的定义确定结果：将求出的 x 代入数据，找出出现次数最多的数，即为众数。
15．已知一次函数的图象过点与点，则这个一次函数的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设该一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0）。
函数图象过点(3，5)和( 4， 9)，将两点坐标代入解析式，
得：
解得 k=2，b= 1.
∴将k=2，b= 1代入y=kx+b，
得解析式为： y=2x 1
故答案为：
【分析】本题的解题思路是利用待定系数法求一次函数解析式：先设出一次函数的一般形式 y=kx+b；将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于 k 和 b 的二元一次方程组；解方程组求出 k 和 b 的值，再代回所设解析式中，即可得到最终结果
16．如下图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为16，则第3个矩形的面积为　 　．
【答案】1
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接矩形各边中点得到的菱形，其面积为原矩形面积的一半；同理，连接菱形各边中点得到的新矩形，面积也为原菱形面积的一半。因此，每次得到新矩形时，面积都会变为上一个矩形面积的。
则：第 1 个矩形的面积：S1=16
第 2 个矩形的面积：S2=16×=4
第 3 个矩形的面积：S3=4×=1
故答案为：1 .
【分析】先找面积变化规律：观察图形可知，每经过一次 “矩形→菱形→矩形” 的变化，新矩形的面积都是前一个矩形面积的（即每次面积乘以，两次变化共乘以），用递推或公式计算：根据规律，第n个矩形的面积是第 1 个矩形面积乘以，代入n=3，直接计算出结果。
三、解答题
17．
（1）计算：
（2）已知，求的值
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】(1) 先将和化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式；
(2) 观察到x、y的形式符合平方差公式(a+b)(a b)=a2 b2，利用公式简化计算，避免直接展开的复杂运算。
18．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米．
（1）小溪流的长为　 　千米．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵（千米），千米，千米．
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴（平方千米）．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）连接AC，如图在Rt△ABC中，∠B=90 ，AB=BC=5千米，
∴AC2=AB2+BC2=52+52=50
∴（千米）
故答案为：。
【分析】（1）利用 △ABC 是等腰直角三角形的条件，即可求出直角三角形△ABC的斜边AC；
（2）先利用勾股定理的逆定理判断 △ACD 为直角三角形，再将四边形ABCD面积拆分为两个直角三角形的面积之和，分别计算后相加得到结果。
19．如图，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，，，
（1）求证：；
（2）若，求矩形的周长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
又，
和中
（）
；
（2）解：∵
∴
又四边形是矩形
四边形是正方形
四边形的周长
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)要证明两条线段相等，核心思路是证明它们所在的三角形全等。先利用矩形的性质和 “同角的余角相等” 找到一对相等的角，再结合已知条件 AE=DF，通过 AAS 证明 △ABE △DAF，从而得到 AF=BE。
(2)利用 (1) 中全等三角形的结论，得到 AB=AD，再结合矩形的性质，推出四边形 ABCD 是正方形，最后代入边长计算周长。
20．某校在七、八年级举行了“食品安全知识测试”比赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的比赛成绩（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．）
七年级10名学生的成绩数据是：96，83，96，87，99，96，90，100，89，84
八年级10名学生成绩数据中，在组中的是：94，90，92
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 96 34.4
八年级 92 100 50.4
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中哪个年级成绩更稳定，并说明理由；
（2）求出统计图中的值以及表格中的值；
（3）该校七年级共860人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的七年级学生人数是多少？
【答案】（1）解：∵七年级成绩的方差为34.4，八年级成绩的方差为50.4，
∴八年级成绩的方差大于七年级成绩的方差，
∴七年级成绩更稳定.
（2）解：∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%＝30%，
∴a%＝1 （20%＋10%＋30%）＝40%，即a＝40；
八年级A、B组人数共有10×（10%＋20%）＝3（人），
∴八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94，
所以八年级成绩的中位数b＝.
（3）解：根据样本中七年级优秀人数占比为，
估计860名参加此次“食品安全知识测试”比赛成绩优秀（x≥90）的七年级学生人数是860×60%＝516（人）．
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可；
（2）先利用扇形统计图求出“C组”的百分比，再求出a、b的值即可；
（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以860即可.
21．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B．
（1）图①截出的正方形木板A的边长为　 　，B的边长为　 　；
（2）图①中阴影部分的面积为　 　；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）6
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
【知识点】二次根式的性质与化简；利用不等式的性质解简单不等式；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：（1）对于正方形木板 A，面积为 18 dm2，则其边长为：dm；对于正方形木板 B，面积为 32 dm2，则其边长为：dm。
故答案为：，
（2）由图①可知，长方形木板的宽等于正方形 B 的边长，即dm，长等于两个正方形边长之和，即+= dm，长方形总面积： dm2，两个正方形面积和： dm2，=56 50=6 dm2，
故答案为：6
【分析】(1) 利用正方形面积公式，将面积开方得到边长，核心是二次根式的化简，如：。
(2) 先通过两个正方形的边长确定长方形木板的尺寸，再用长方形面积减去两个正方形面积得到阴影部分面积，即S阴影 =S长方形 (SA +SB )
，核心是二次根式的乘法运算。
(3)先计算待截正方形的边长和组合尺寸，再与木板的实际尺寸进行对比，即原木板的宽为≈5.656 dm，满足>5； 原木板的长为≈9.899 dm，不满足<10，核心就是二次根式的大小比较。
22．【教材呈现】下图是人教版八年级下册数学教材53页部分内容．
思考：如图，矩形的对角线、相交于点O，我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？
【过程再现】相信你和你的伙伴们根据矩形的性质得到结论：，这一结论用文字语言阐述为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）证明这一结论：如图，在中，，是斜边边上的中线．求证：．
（2）【定理应用】如图，在中，于点E，于点F，点D是边上的中点，连结，和．
①求证：．
②若，，求的度数．
③若，，则E到的距离是 ▲ （直接写答案）．
【答案】（1）证明：延长至，使得，连接，如下图，
∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
即；
（2）证明：①∵在中，于点E，于点F，点D是边上的中点，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
，点D是的中点
由（2）得：，
∴，，
∴，，
∴，
③
【知识点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）转化思想的应用，核心思路是倍长中线构造矩形：通过延长中线 BO 到 D，使 OD=BO，先证四边形 ABCD 是平行四边形，再结合∠ABC=90°证其为矩形，最后利用矩形对角线相等的性质，将问题转化为证明 AC=BD=2BO，从而推导出BO=AC。这是一种将三角形问题转化为矩形问题的典型方法。
（2）①定理的直接使用，直接利用第 1 问的结论，在两个直角三角形△BEC 和△BFC 中，因为 D 是斜边 BC 的中点，所以 DE 和 DF 都是斜边 BC 的中线，因此都等于BC，从而证明 DE=DF。这一步是对定理最直接的巩固。
②结合等腰三角形性质（等边对等角）和三角形内角和定理，先求出△ABC 的内角，再利用等腰三角形底角相等，求出∠CDE 和∠BDF，最后通过平角定义求出∠EDF 的度数，考查了定理与角度计算的综合运用。
③结合等腰三角形三线合一、勾股定理和面积法求高，先利用定理得出 DE=DF，再通过勾股定理算出△DEF 的高，最后用面积法求出点 E 到 DF 的距离，考查了定理与几何计算的综合应用。
23．某学校组织八年级学生外出参加研学活动，计划租用客车若干辆．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下：
客车类型 甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
此次研学活动，学校共有322名学生和8名教师需要乘车，每辆车至少安排1名教师跟车管理．
（1）共需租　 　辆车？（直接写答案）
（2）设租用甲型客车辆，租车总费用为元，求出与的函数关系式，并求出共有哪几种可行的租车方案．
（3）租车公司为了回馈学校，将甲型客车每辆租金下调3元，乙型客车每辆租金下调元（），若租车的最低费用是2160元，求的值．
【答案】（1）8
（2）解：租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆
得
得
又为整数且不超过8辆，
解得
共有3种可行的租车方案．
方案一：租用甲型客车6辆，乙型客车2辆．
方案二：租用甲型客车7辆，乙型客车1辆．
方案三：租用甲型客车8辆，乙型客车0辆．
（3）解：下调后的租车费用为：
，
①当，即时，随的增大而增大，
则时，有最小值2160元，求得，
②当，即时，与题意不符，舍去．
③当，即时，随的增大而减小，
则时，有最小值2160元，
求得，不符题意，舍去．
综上所述，若租车的最低费用是2160元，的值为40．
【知识点】解一元一次不等式；列一次函数关系式；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）每辆车至少安排 1 名教师，共有 8 名教师，因此最多租 8 辆车。总人数为学生 + 教师：322+8=330人； 若租 7 辆，最多载客：7×45=315<330，无法满足。因此，必须租8辆车，每辆车至少安排 1 名教师，共有 8 名教师，因此最多租 8 辆车。 总人数为学生 + 教师：322+8=330人。 若租 7 辆，最多载客：7×45=315<330，无法满足。 因此，必须租8辆车。
故答案为：8。
【分析】（1）这里有两个关键约束：一是总人数约束（330 人需要载客），二是教师跟车约束（8 名教师最多租 8 辆车）。先验证 7 辆车无法满足载客需求，再结合教师人数限制，直接锁定必须租 8 辆车，为后续建模打下基础。
（2）先设甲型客车数量为x，根据 “总费用 = 甲型车费用 + 乙型车费用”，写出一次函数关系式y=120x+2240；再根据载客量要求列出不等式，求出x的整数取值范围，从而得到所有可行的租车方案。这一步的核心是用函数和不等式，把实际问题转化为数学模型。
（3）租金下调后，费用函数的一次项系数发生了变化，需要根据系数的正负，分三种情况讨论函数的增减性：
当系数为正时，函数随x增大而增大，最小值在x=6处取得；
当系数为负时，函数随x增大而减小，最小值在x=8处取得；
当系数为零时，函数为常数，与题意不符。 再分别列方程求解m，并检验解是否符合对应情况的条件，最终确定唯一有效解。这一步的关键是利用一次函数的增减性分析最值，体现了分类讨论的数学思想。、
1 / 1广西壮族自治区南宁市武鸣区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．化简的结果（　　）
A．9 B．3 C． D．
2．当时，一次函数的函数值为（　　）
A． B．1 C．5 D．13
3．如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．样本数据2，8，14，16，20的平均数是（　　）
A．8 B．9 C．12 D．18
5．关于各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．直线 与 轴的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．已知，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，小明在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形．若，则菱形的面积为（　　）
A． B． C．8 D．16
11．如图，李明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是（　　）
A． B． C． D．
12．直线 如图所示，则下列关于直线 的说法错误的是（　　）
A．直线 一定经过点
B．直线 经过第一、二、三象限
C．直线 与坐标轴围成的三角形的面积为2
D．直线 与直线 关于 轴对称
二、填空题
13．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　 ．
14．从小到大的一组数据-2，1，2，，6，10的中位数为2，则这组数据的众数是　 　．
15．已知一次函数的图象过点与点，则这个一次函数的解析式为　 　．
16．如下图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为16，则第3个矩形的面积为　 　．
三、解答题
17．
（1）计算：
（2）已知，求的值
18．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米．
（1）小溪流的长为　 　千米．
（2）求四边形的面积．
19．如图，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，，，
（1）求证：；
（2）若，求矩形的周长．
20．某校在七、八年级举行了“食品安全知识测试”比赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的比赛成绩（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．）
七年级10名学生的成绩数据是：96，83，96，87，99，96，90，100，89，84
八年级10名学生成绩数据中，在组中的是：94，90，92
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 96 34.4
八年级 92 100 50.4
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中哪个年级成绩更稳定，并说明理由；
（2）求出统计图中的值以及表格中的值；
（3）该校七年级共860人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的七年级学生人数是多少？
21．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B．
（1）图①截出的正方形木板A的边长为　 　，B的边长为　 　；
（2）图①中阴影部分的面积为　 　；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
22．【教材呈现】下图是人教版八年级下册数学教材53页部分内容．
思考：如图，矩形的对角线、相交于点O，我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？
【过程再现】相信你和你的伙伴们根据矩形的性质得到结论：，这一结论用文字语言阐述为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）证明这一结论：如图，在中，，是斜边边上的中线．求证：．
（2）【定理应用】如图，在中，于点E，于点F，点D是边上的中点，连结，和．
①求证：．
②若，，求的度数．
③若，，则E到的距离是 ▲ （直接写答案）．
23．某学校组织八年级学生外出参加研学活动，计划租用客车若干辆．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下：
客车类型 甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
此次研学活动，学校共有322名学生和8名教师需要乘车，每辆车至少安排1名教师跟车管理．
（1）共需租　 　辆车？（直接写答案）
（2）设租用甲型客车辆，租车总费用为元，求出与的函数关系式，并求出共有哪几种可行的租车方案．
（3）租车公司为了回馈学校，将甲型客车每辆租金下调3元，乙型客车每辆租金下调元（），若租车的最低费用是2160元，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质：(a)2=a（其中 a≥0），本题中 a=3，满足 a≥0，因此： (3)2=3。
故答案为：B.
【分析】本题的解题思路是：直接应用二次根式的核心性质 (a≥0)进行化简，关键是明确该性质的适用条件（被开方数非负），并注意与的化简区分，避免混淆概念。
2．【答案】A
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：将 x=3 代入一次函数表达式 y=2x 7 中：
y=2×3 7
y=6 7= 1
因此，当 x=3 时，函数值为 1，
故答案为：A.
【分析】 本题的解题思路是：将给定的自变量值代入一次函数的表达式中，按照先乘除后加减的运算顺序计算出函数值。核心是理解一次函数中自变量与函数值的对应关系，掌握代入求值的基本方法。
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中
∴∠BCD=∠BAD=130 。
∵B、C、E三点共线，∠BCD与∠DCE构成平角，
∴∠BCD+∠DCE=180 。
代入∠BCD=130 ，
∴∠DCE=180 130 =50 ，
故答案为：A .
【分析】本题的解题思路是：先利用平行四边形 “对角相等” 的性质，求出与∠BAD相等的内角∠BCD的度数；再根据 “邻补角和为180 ” 的定义，求出∠DCE的度数。
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：先计算数据总和： 2+8+14+16+20=60
再除以数据个数（共 5 个）：==12
故答案为：C .
【分析】 本题解题核心是直接应用平均数的定义公式=，其中n为数据个数。先将所有数据相加求出总和，再除以数据的个数，即可得到平均数。
5．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：选项 A：==≠2，计算错误。
选项 B：2与不是同类二次根式，不能直接合并，2+≠，计算错误。
选项 C： ==≠3，计算错误。
选项 D：，计算正确。
故答案为：D .
【分析】先回忆二次根式的乘除法则，验证选项 A（除法）和 D（乘法），看运算是否符合 “、” 的规则，再区分 “同类二次根式” 和 “非同类二次根式”，验证选项 B 和 C：只有被开方数相同的二次根式才能合并，非同类二次根式不能直接相加减，同类二次根式合并时系数相加减，被开方数不变，最后确定只有选项 D 的运算完全符合二次根式的乘法法则。
6．【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令y=0，则x=3，
∴直线y=x-3与x轴的交点坐标为（3，0）．
故答案为：B．
【分析】令y=0，求出x的值即可得出结论．
7．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原直线为 y=2x（即 b=0），向上平移 3 个单位，因此：y=2x+0+3=2x+3
所以，所得直线的解析式为 y=2x+3，
故答案为：A .
【分析】 直接应用一次函数图象平移的 “上加下减” 法则，对原直线的解析式进行调整， 对于直线 y=kx+b，向上平移 m 个单位，解析式变为 y=kx+b+m；向下平移 m 个单位，解析式变为 y=kx+b m即可得到答案。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵顶点C(3，4)，原点O(0，0)，
∴由勾股定理可得菱形边长： OC=，
∵ 菱形的四条边相等，
∴AB=BO=OC=CA=5。
∵在菱形ABOC中，AC∥BO，且BO在 x 轴上，
∴AC∥x轴，点A与点C的纵坐标相同，均为4。
设点A(x，4)，由AC=5，C(3，4)，
∴|3 x|=5 解得x=3+5=8（舍去，因 A 在 y 轴左侧）或x=3 5= 2，
∴顶点A的坐标为( 2，4)。
故答案为：C .
【分析】利用点 C 的坐标，通过勾股定理算出菱形的边长 OC，再根据菱形四条边相等的性质，得到 AC=OC。通过观察图形和菱形对边平行的性质，判断出 AC∥x 轴，因此点 A 和点 C 的纵坐标相同。根据 AC 的长度，结合点 A 在 y 轴左侧的位置，求出点 A 的横坐标，从而确定其完整坐标。
9．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质：=|a|，当 a<0 时，|a|= a，
∴=|m 10|
∵ 0∴m 10<0。
∴|m 10|= (m 10)= m+10
综上，化简结果为 m+10。
故答案为：C .
【分析】利用二次根式的性质转化表达式，根据公式 a2=|a|，先把根号形式转化为绝对值形式 |m 10|，这是化简的关键步骤，再根据已知条件去绝对值符号，先由 010．【答案】A
【知识点】菱形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：已知菱形 ABCD 中，AB=4，∠B=60 。
∴ AB=BC=4。
又∵∠B=60 ，
∴ △ABC 是等边三角形，
∴AC=AB=4，
连接BD，设 AC 与 BD 交于点 O，
则 AC⊥BD，AO=AC=2。
在 Rt△ABO 中，
BO=
∴BD=2BO=。
菱形面积公式为：
故答案为：A .
【分析】根据菱形四边相等和已知的 60 角，判断出 △ABC 是等边三角形，从而直接得到对角线 AC 的长度，再利用菱形对角线互相垂直平分的特点，在直角三角形中通过勾股定理求出对角线 BD 的长度，使用对角线乘积的一半公式，计算出菱形的面积。
11．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点 B 作 BD⊥AC2于点D，
在 Rt△ABD 中，
∵∠A=30 ，AB=6 cm，
∴BD=AB=×6=3 cm，
由题意知 BC1=BC2=4 cm，
∴三角形BC1C2为等腰三角形，
在 Rt△BDC1 和 Rt△BDC2 中，
C1D=C2D=cm，
∵ D 是 C1C2 的中点，
∴C1C2=C1D+C2D=cm，
综上，C1C2 的长为cm。
故答案为：D .
【分析】过点 B 作AC2 的垂线 BD，利用 30 角的直角三角形性质，先求出高 BD 的长度，再根据圆规作图的性质，BC1=BC2，在两个全等的直角三角形 △BDC1 和 △BDC2 中，用勾股定理求出 C1D 和 C2D 的长度，由 C1C2=C1D+C2D，得到 C1C2 的总长度。
12．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】A、当 时， ，所以直线 一定经过点（-2，0），选项A符合题意；
B、由直线 的图象知： ，则直线 经过第一、二、三象限，选项B符合题意；
C、直线 与 轴相交于点（-2，0），与 轴相交于点（0， ），则直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 ，选项C符合题意；
D、直线 与 轴相交于点（-2，0），与 轴相交于点（0， ），直线 与 轴相交于点（2，0），与 轴相交于点（0， ），而点（-2，0）与点（2，0）关于 轴对称，则直线 与直线 关于 轴对称，选项D符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据直线 的图象和性质进行求解即可。
13．【答案】x≥﹣2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
14．【答案】2
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数，即第 3 个和第 4 个数的平均数。
∴=2，
∴解方程：2+x=4 x=2，
将 x=2 代入，数据变为： 2，1，2，2，6，10。
其中数字 2 出现了 2 次，出现次数最多，因此这组数据的众数是 2。
故答案为：2 .
【分析】利用中位数的定义求未知数据 x：先根据数据个数为偶数时中位数的计算方法（中间两个数的平均数），列出方程求出 x 的值。再根据众数的定义确定结果：将求出的 x 代入数据，找出出现次数最多的数，即为众数。
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设该一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0）。
函数图象过点(3，5)和( 4， 9)，将两点坐标代入解析式，
得：
解得 k=2，b= 1.
∴将k=2，b= 1代入y=kx+b，
得解析式为： y=2x 1
故答案为：
【分析】本题的解题思路是利用待定系数法求一次函数解析式：先设出一次函数的一般形式 y=kx+b；将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于 k 和 b 的二元一次方程组；解方程组求出 k 和 b 的值，再代回所设解析式中，即可得到最终结果
16．【答案】1
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接矩形各边中点得到的菱形，其面积为原矩形面积的一半；同理，连接菱形各边中点得到的新矩形，面积也为原菱形面积的一半。因此，每次得到新矩形时，面积都会变为上一个矩形面积的。
则：第 1 个矩形的面积：S1=16
第 2 个矩形的面积：S2=16×=4
第 3 个矩形的面积：S3=4×=1
故答案为：1 .
【分析】先找面积变化规律：观察图形可知，每经过一次 “矩形→菱形→矩形” 的变化，新矩形的面积都是前一个矩形面积的（即每次面积乘以，两次变化共乘以），用递推或公式计算：根据规律，第n个矩形的面积是第 1 个矩形面积乘以，代入n=3，直接计算出结果。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】(1) 先将和化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式；
(2) 观察到x、y的形式符合平方差公式(a+b)(a b)=a2 b2，利用公式简化计算，避免直接展开的复杂运算。
18．【答案】（1）
（2）解：∵（千米），千米，千米．
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴（平方千米）．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）连接AC，如图在Rt△ABC中，∠B=90 ，AB=BC=5千米，
∴AC2=AB2+BC2=52+52=50
∴（千米）
故答案为：。
【分析】（1）利用 △ABC 是等腰直角三角形的条件，即可求出直角三角形△ABC的斜边AC；
（2）先利用勾股定理的逆定理判断 △ACD 为直角三角形，再将四边形ABCD面积拆分为两个直角三角形的面积之和，分别计算后相加得到结果。
19．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
又，
和中
（）
；
（2）解：∵
∴
又四边形是矩形
四边形是正方形
四边形的周长
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)要证明两条线段相等，核心思路是证明它们所在的三角形全等。先利用矩形的性质和 “同角的余角相等” 找到一对相等的角，再结合已知条件 AE=DF，通过 AAS 证明 △ABE △DAF，从而得到 AF=BE。
(2)利用 (1) 中全等三角形的结论，得到 AB=AD，再结合矩形的性质，推出四边形 ABCD 是正方形，最后代入边长计算周长。
20．【答案】（1）解：∵七年级成绩的方差为34.4，八年级成绩的方差为50.4，
∴八年级成绩的方差大于七年级成绩的方差，
∴七年级成绩更稳定.
（2）解：∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%＝30%，
∴a%＝1 （20%＋10%＋30%）＝40%，即a＝40；
八年级A、B组人数共有10×（10%＋20%）＝3（人），
∴八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94，
所以八年级成绩的中位数b＝.
（3）解：根据样本中七年级优秀人数占比为，
估计860名参加此次“食品安全知识测试”比赛成绩优秀（x≥90）的七年级学生人数是860×60%＝516（人）．
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可；
（2）先利用扇形统计图求出“C组”的百分比，再求出a、b的值即可；
（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以860即可.
21．【答案】（1）；
（2）6
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
【知识点】二次根式的性质与化简；利用不等式的性质解简单不等式；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：（1）对于正方形木板 A，面积为 18 dm2，则其边长为：dm；对于正方形木板 B，面积为 32 dm2，则其边长为：dm。
故答案为：，
（2）由图①可知，长方形木板的宽等于正方形 B 的边长，即dm，长等于两个正方形边长之和，即+= dm，长方形总面积： dm2，两个正方形面积和： dm2，=56 50=6 dm2，
故答案为：6
【分析】(1) 利用正方形面积公式，将面积开方得到边长，核心是二次根式的化简，如：。
(2) 先通过两个正方形的边长确定长方形木板的尺寸，再用长方形面积减去两个正方形面积得到阴影部分面积，即S阴影 =S长方形 (SA +SB )
，核心是二次根式的乘法运算。
(3)先计算待截正方形的边长和组合尺寸，再与木板的实际尺寸进行对比，即原木板的宽为≈5.656 dm，满足>5； 原木板的长为≈9.899 dm，不满足<10，核心就是二次根式的大小比较。
22．【答案】（1）证明：延长至，使得，连接，如下图，
∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
即；
（2）证明：①∵在中，于点E，于点F，点D是边上的中点，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
，点D是的中点
由（2）得：，
∴，，
∴，，
∴，
③
【知识点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）转化思想的应用，核心思路是倍长中线构造矩形：通过延长中线 BO 到 D，使 OD=BO，先证四边形 ABCD 是平行四边形，再结合∠ABC=90°证其为矩形，最后利用矩形对角线相等的性质，将问题转化为证明 AC=BD=2BO，从而推导出BO=AC。这是一种将三角形问题转化为矩形问题的典型方法。
（2）①定理的直接使用，直接利用第 1 问的结论，在两个直角三角形△BEC 和△BFC 中，因为 D 是斜边 BC 的中点，所以 DE 和 DF 都是斜边 BC 的中线，因此都等于BC，从而证明 DE=DF。这一步是对定理最直接的巩固。
②结合等腰三角形性质（等边对等角）和三角形内角和定理，先求出△ABC 的内角，再利用等腰三角形底角相等，求出∠CDE 和∠BDF，最后通过平角定义求出∠EDF 的度数，考查了定理与角度计算的综合运用。
③结合等腰三角形三线合一、勾股定理和面积法求高，先利用定理得出 DE=DF，再通过勾股定理算出△DEF 的高，最后用面积法求出点 E 到 DF 的距离，考查了定理与几何计算的综合应用。
23．【答案】（1）8
（2）解：租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆
得
得
又为整数且不超过8辆，
解得
共有3种可行的租车方案．
方案一：租用甲型客车6辆，乙型客车2辆．
方案二：租用甲型客车7辆，乙型客车1辆．
方案三：租用甲型客车8辆，乙型客车0辆．
（3）解：下调后的租车费用为：
，
①当，即时，随的增大而增大，
则时，有最小值2160元，求得，
②当，即时，与题意不符，舍去．
③当，即时，随的增大而减小，
则时，有最小值2160元，
求得，不符题意，舍去．
综上所述，若租车的最低费用是2160元，的值为40．
【知识点】解一元一次不等式；列一次函数关系式；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）每辆车至少安排 1 名教师，共有 8 名教师，因此最多租 8 辆车。总人数为学生 + 教师：322+8=330人； 若租 7 辆，最多载客：7×45=315<330，无法满足。因此，必须租8辆车，每辆车至少安排 1 名教师，共有 8 名教师，因此最多租 8 辆车。 总人数为学生 + 教师：322+8=330人。 若租 7 辆，最多载客：7×45=315<330，无法满足。 因此，必须租8辆车。
故答案为：8。
【分析】（1）这里有两个关键约束：一是总人数约束（330 人需要载客），二是教师跟车约束（8 名教师最多租 8 辆车）。先验证 7 辆车无法满足载客需求，再结合教师人数限制，直接锁定必须租 8 辆车，为后续建模打下基础。
（2）先设甲型客车数量为x，根据 “总费用 = 甲型车费用 + 乙型车费用”，写出一次函数关系式y=120x+2240；再根据载客量要求列出不等式，求出x的整数取值范围，从而得到所有可行的租车方案。这一步的核心是用函数和不等式，把实际问题转化为数学模型。
（3）租金下调后，费用函数的一次项系数发生了变化，需要根据系数的正负，分三种情况讨论函数的增减性：
当系数为正时，函数随x增大而增大，最小值在x=6处取得；
当系数为负时，函数随x增大而减小，最小值在x=8处取得；
当系数为零时，函数为常数，与题意不符。 再分别列方程求解m，并检验解是否符合对应情况的条件，最终确定唯一有效解。这一步的关键是利用一次函数的增减性分析最值，体现了分类讨论的数学思想。、
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