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解答题中求阴影部分的面积 重点考点押题练 2026年初中数学中考复习备考
1．如图，内接于，直径与弦相交于点E，F是延长线上的一点，连接，，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
2．如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点D．
(1)求证：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
3．如图，在中，，，是边上一点，以为直径作半圆，与交于的中点，连接．
(1)求证：是半圆的切线．
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留）
4．如图，内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，交于点E，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
5．如图，内接于，连接，平分，点D在弧上，过点B作，交的延长线于点E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ，，求阴影部分的面积．
6．如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，．
(1)求的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
7．如图，，，分别与相切于，，三点，且，，．
(1)求证：；
(2)求图中阴影部分的面积．
8．如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求阴影部分的面积．
9．如图，为外接圆，为的直径，，是的切线，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求阴影部分的面积．（结果不取近似值，请保留精确值）
10．在中，，以为直径的分别与、交于点、，过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)如图，若的半径为，，求阴影部分的面积．
11．如图，是的直径，弦与相交于点，过点作交的延长线于点，，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
12．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
13．如图，是的直径，为上一点，点为的中点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证；是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
14．如图，以为底的等腰三角形的三个顶点都在上，过点A作交的延长线于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，．求图中阴影部分的面积．
15．如图，E是正方形的边的中点，将该正方形沿折叠，点C落在处，分别与、、相切，切点分别为F、G、H．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．证明．由是的直径可得，得出，从而可得结论；
（2）先证明四边形是平行四边形．是菱形，再证明是等边三角形，求出，根据可得结论．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴是菱形．
∴，．
∴是等边三角形，
∴．
在中，，，
∴，
∴,
∴．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质，以及圆周角定理得到，，再利用平行线判定证明，即可解题；
（2）过点A作交于点F，结合平行线性质，以及直角三角形性质得到，再证明四边形是正方形，结合正方形性质，以及进行求解，即可解题．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过点A作交于点F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴．
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴
．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论．
（2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）知，，
，
，
设半圆的半径为，
解得（负值不合题意，舍去），
阴影部分的面积．
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先根据切线的性质得到，再证明，可得，即可根据切线的判定证明结论；
（2）先求出，，，再根据计算，即可得到答案．
【详解】（1）证明：内接于，是直径，切线切于C，交的延长线于点P，连接，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：由（1）知，，
，
，
是直径，
，
，
，
在中，，
阴影部分的面积．
5．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，则，由平分，，得，等量代换得即可；
（2）连接，交于点F，则，证是等边三角形，设，，得解得，由勾股定理得，证四边形是菱形，得，用割补法求面积即可．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，交于点F，则，
∵，，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
设，，
∴，，，
∴，解得，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，，
∴，
∴．
6．(1)的半径
(2)
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
（1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案；
（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由切线长定理易得，则可得，即可得证；
（2）先由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得到，然后根据扇形的面积公式计算即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵分别与相切于三点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）推导出，是的半径，则与相切，即可解答；
（2）先求出，，得到，继而推导出，，再根据，即可解答
【详解】（1）证明：∵，点D是的中点
∴
∵以点A为圆心，且过点D
∴是的半径
∴与相切；
（2）解：在中，，
∴
∴，，
∴，
∵点D是的中点
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴，
∴
答：阴影部分的面积为．
9．(1)见详解
(2)
【分析】（1）首先证明，结合，即可证明结论；
（2）用梯形的面积减去扇形的面积即得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）连接，如下图，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，且为的直径，，
∴，，
∴阴影部分的面积
．
10．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可；
（2）连接，过作于，则，求出、的长和的度数，最后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
，，
，，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，过作于，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
11．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）连接，容易判断，则，由可得，结合可得，从而得到，因此，命题得证；
（2）连接、，作于点，容易证明，则，从而计算出，利用三角函数可计算出，，最后用扇形的面积减去的面积即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接、，作于点，
由（1）可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，解得，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，结合三角形中位线定理得出，进而可得，即可得证；
（2）先证明为等边三角形，得出，作于点，则，求出，再利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵为直径，
，
∵，
，
又，
∴为的中位线，
．
，
．
．
．
是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
作于点，则，
∴，
∴阴影部分面积．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由点为的中点可得，根据圆周角定理以及“等边对等角”可推出，由此可得，最后由以及平行线的性质即可求解；
（2）连接，，由（1）可知，再由可得出，根据等边三角形的判定可证得是等边三角形，再通过解直角三角形分别求出的长，最后再通过即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
∵点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
又为的半径，
是的切线；
（2）连接，，
，
，
又，
，
，
，
是等边三角形，
，，，
，，
．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点E，连接，根据垂径定理以及弧与弦的关系进行证明；
（2）根据平行四边形的性质以及等边对等角得出是等边三角形，，然后解直角三角形，最后用扇形面积公式以及三角形面积公式求解．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点E，连接，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴的半径为，
．
15．(1)见解析
(2)阴影部分面积为
【分析】（1）在正方形中，，根据折叠可得，则，结合，得出，由折叠可知，即可证明．
（2）延长与交于点K，连接，，，，，在正方形中，，，根据切线的性质得出，，证出四边形为正方形，则．根据折叠可得，，，则，证明，得出，，由（1）得，则，证明，求出，再求出的半径，根据阴影部分面积求解即可．
【详解】（1）证明：在正方形中，，
在四边形中，根据折叠可得，
∴，
又∵，
∴，
由折叠可知，
∴．
（2）解：延长与交于点K，连接，，，，，
在正方形中，，，
∵分别与、、相切，切点分别为F、G、H，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，．
∵E是正方形的边的中点，
∴，
根据折叠可得，，，
∴，
在与中，，，
∴，
∴，，
由（1）得，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为，
∴阴影部分面积．
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