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广东省广州市增城区2024~2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下图分别给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（　　）
A．2 B． C． D．4
4．如图，在中，，D为的中点，若，则的长为（　　）
A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定
5．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知四边形是菱形，若，，于点H，则的长是（　　）
A． B． C． D．5
10．如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．一次函数的图象经过点，，则　 　（填“＞”或“＜”或“＝”）．
13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ．
14．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是　 　．
15．为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，随机调查了本地50个公园的用地面积，按照A：，B：，C：，D：，E：的分组绘制了如图的频数分布直方图，则用地面积在　 　 组的公园个数最多（在“A、B、C、D”中选一个）．
16．如图，平行四边形中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别交于E、F两点，连接．以下结论：
①；
②点O是的中点；
③四边形的周长是四边形的周长的2倍；
④．
其中正确的结论有　 　 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．解方程：
18．如图，在中，，，．求证：．
19．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，得分如下表：
应聘者 甲 乙 丙
学历 7 8 7
能力 8 9 8
经验 8 7 7
（1）甲应聘者得分的众数是 ；
（2）若此公司比较看重员工的能力，对学历、能力和经验分别赋权3，5，2，计算甲、乙、丙三名应聘者各自的平均得分，从他们的得分看，应该录取谁？
20．如图，点E、F是平行四边形的对角线上的两点，且．求证：．
21．如图，在矩形中．
（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交于点E，F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的长．
22．如图，有一幅长，宽的矩形照片，现要为这幅照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的二分之一．
（1）求相框所占面积；
（2）求相框的宽度．
23．水龙头关闭不严会造成滴水．某数学兴趣小组记录了内7个时间点的漏水量，其中x表示时间，y表示漏水量．数据如下表：
时间 0 5 10 15 20 25 30 …
漏水量 0 15 30 45 60 75 90 …
（1）在图中描出上表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，求漏水量y关于时间x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）在这种滴水状态下，请根据（2）中求出的函数解析式，估算一天的漏水量．
24．如图，在正方形中，点E是边上任意一点（不与点B重合），以为边在它的右侧作正方形．连接，过点D作交边于点H．
（1）求证：；
（2）连接，延长，交于点O，猜想的度数，并证明；
（3）在正方形内部有一点P，连接，若，求的最大值．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，直线相交于点E，．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）连接，求线段三者之间的数量关系；
（3）设线段的中点为M，点N为直线l2上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：对于自变量，都有唯一确定的与之对应，
故y不是x的函数的是，
故选B．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】把代入方程，得，解出即可得答案.
4．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
∵中，，D为的中点，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知条件即可得的长.
5．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图，
由图可得，点A处所表示的数到0的距离为，
∴图中标注在点A处所表示的数为．
故答案为：B．
【分析】由图可得，点A处所表示的数到0的距离为，即可得图中标注在点A处所表示的数为．
6．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、，故A错误．
B、为实数相加，无法合并为，故B错误．
C、，故C错误．
D、，与右侧相等，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据，为实数相加，无法合并为，，即可得答案.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形性质得平行，平行，再根据平行线的性质得的和等于的和，等于，即可得相等，再根据和为，即可得等于，进一步得的度数即可.
8．【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数和的图象交点P的坐标为，
∴二元一次方程组的解为，
故选：B．
【分析】根据两一次函数交点坐标即为对应方程组的解集即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，设与的交点为O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】设与的交点为O，根据菱形性质可得，，，根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点G作GH⊥AB于H，作MN∥AB交AD于点M，交BC于点N，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，
∴∠A=∠B＝90°，，AD=BC＝3，
∵∠FEG=90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°=∠GEH＋∠FEA，
∴∠EGH＝∠FEA，
∴△GEH≌△EFA（AAS），
∴GH＝AE＝1.
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时EH＝AF＝3，
∴
∴CG的最小值＝，
故答案为：B．
【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，利用AAS证明△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数的，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据，结合一次函数性质即可得一次函数y随x的增大而减小，进一步得.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，进一步得，即可得答案.
14．【答案】16
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
，分别是，的中点，
为的中位线，
，
四边形为菱形，
，
菱形的周长．
故答案为：16．
【分析】根据，分别是，的中点，得为的中位线，即可得，再根据菱形的性质得等于4，进一步计算菱形的周长即可.
15．【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：如图，
由图得：用地面积在C组的公园个数最多，有16个，
故答案为：C．
【分析】根据统计图即可得用地面积在C组的公园个数最多，有16个.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是和的角平分线的交点，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，即O点为的中点，故②正确.
∵，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长不是四边形的周长的2倍，故③错误.
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】根据平行四边形的性质得平行，平行，相等，相等，根据平行线的性质和角平分线的定义得和为，即可得等于，即可判断①，根据平行线的性质证明相等，相等，即可得相等，相等，再证明四边形为平行四边形得到相等，即可得相等，即可判断②，设，，则，即可判断③，证明，，即可判断④正确.
17．【答案】解：由 得
，
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
18．【答案】证明：如图，
在中，，，，
，
是直角三角形，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，结合，，，得，即可判断
是直角三角形，即可得．
19．【答案】（1）8
（2）解：甲的平均得分为（分），
乙的平均数得分为（分），
丙的平均数得分为（分），
∵，
∴从他们的得分看，应该录取乙．
【知识点】加权平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：甲应聘者得分8分出现次数最多，故众数是8．
故答案为：8．
【分析】（1）根据众数的定义，结合应聘者得分8分出现次数最多即可得答案.
（2）根据加权平均数的定义分别计算甲、乙、丙三人的平均分，再比较大小即可得应该录取乙．
（1）解：甲应聘者得分的众数是8．
故答案为：8．
（2）解：甲的平均得分为（分），
乙的平均数得分为（分），
丙的平均数得分为（分），
∵，
∴从他们的得分看，应该录取乙．
20．【答案】证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得平行，相等，即可得相等，再根据相等，结合“”可证明全等，再根据全等三角形的性质可证明相等.
21．【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：如图，
∵直线为线段的垂直平分线，
∴．
∵四边形为矩形，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴的长为5．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可得答案.
（2）根据线段垂直平分线的性质相等，根据矩形的性质得等于，设，则等于减去，等于，根据勾股定理得，代入数据列方程解出x即可得的长为5．
（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：∵直线为线段的垂直平分线，
∴．
∵四边形为矩形，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
∴的长为5．
22．【答案】（1）解：由题意得：
，
答：相框所占面积为.
（2）解：设相框的宽度为，根据题意得：
，
整理得：，
解得： (不符合题意，舍去)，，
答：相框的宽度为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【分析】（1）根据相框所占面积为照片面积的二分之一，即可列式计算得相框所占面积为.
（2）设相框的宽度为，根据配上相框的照片面积＝照片面积+相框的面积，列出一元二次方程，即可得相框的宽度为．
（1）解：由题意可知，，
答：相框所占面积为；
（2）设相框的宽度为，
由题意得：，
整理得：，
解得： (不符合题意，舍去)，，
答：相框的宽度为．
23．【答案】（1）解：描点如下图：
（2）解：∵这些点分布在过原点的同一条直线上，
∴y是x的正比例函数，
设y关于x的函数解析式为（k为常数，且），则：
，解得，
∴y关于x的函数解析式为．
（3）解：当时，，
∴一天的漏水量为．
【知识点】函数值；正比例函数的图象和性质；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据描点的方法描点即可得答案.
（2）根据图象判断y与x之间的函数类型为正比例函数，设y关于x的函数解析式为（k为常数，且），则：，解出即可得解析式.
（3）当时，，即可得答案.
（1）解：描点如图所示：
（2）∵这些点分布在过原点的同一条直线上，
∴y是x的正比例函数，
设y关于x的函数解析式为（k为常数，且），
将坐标代入，
得，
解得，
∴y关于x的函数解析式为．
（3）解：当时，，
∴一天的漏水量为．
24．【答案】（1）证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴.
（2）解：的度数为，证明如下：
如图，
连接，
由（1）可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图，
过点E作，且，连接，
∵，
∴，
在中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得相等，等于，进一步得和为，根据垂直，得和为，即可得相等，再根据全等三角形的判定定理可证明全等.
（2）连接HF，根据（1）得全等，根据全等三角形的性质得相等，相等，根据正方形的性质，得，即可得，进一步得
四边形是平行四边形，进而证得是等腰直角三角形，即可得的度数为.
（3）过点E作，且，连接，根据勾股定理，结合已知求出为，根据正方形的性质证明全等，得到．进一步得的最大值为.
（1）证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，连接，
由（1）可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图，过点E作，且，连接，
∵，
∴，
在中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
25．【答案】（1）解：∵一次函数：的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴当时，，
当时，，
∴，．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，解得：，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴．
（3）解：∵，，M是的中点，
∴，
设，
∴，，，
当时，，解得：，
∴.
当时，，解得：，
∴.
当时，，解得：，
∴．
综上所述：N点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据一次函数：的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，即可求出时，，时，，即可求A、B点坐标.
（2）根据A、B点坐标.得，再根据相等，相等，即可得，进一步求出直线的解析式，再根据 直线相交于点E，可求出E点坐标，分别求出的长，即可得.
（3）根据∵，，M是的中点，得，设，根据坐标中两点间距离公式得，，，当时，可列方程
，解m可得，同理得当时，，当时，，综上所述：N点坐标为或或．
（1）解：∵中，当时，；当时，，
∴，．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，
解得：，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴．
（3）解：∵，，M是的中点，
∴，
设，
∴，，，
当时，，
解得：，
∴；
当时，，
解得：，
∴；
当时，，
解得：，
∴．
综上所述：N点坐标为或或．
1 / 1广东省广州市增城区2024~2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是最简二次根式，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．下图分别给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：对于自变量，都有唯一确定的与之对应，
故y不是x的函数的是，
故选B．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．如果是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】把代入方程，得，解出即可得答案.
4．如图，在中，，D为的中点，若，则的长为（　　）
A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
∵中，，D为的中点，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知条件即可得的长.
5．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图，
由图可得，点A处所表示的数到0的距离为，
∴图中标注在点A处所表示的数为．
故答案为：B．
【分析】由图可得，点A处所表示的数到0的距离为，即可得图中标注在点A处所表示的数为．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、，故A错误．
B、为实数相加，无法合并为，故B错误．
C、，故C错误．
D、，与右侧相等，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据，为实数相加，无法合并为，，即可得答案.
7．在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形性质得平行，平行，再根据平行线的性质得的和等于的和，等于，即可得相等，再根据和为，即可得等于，进一步得的度数即可.
8．如图，已知函数和的图象交于点P，则二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数和的图象交点P的坐标为，
∴二元一次方程组的解为，
故选：B．
【分析】根据两一次函数交点坐标即为对应方程组的解集即可求出答案.
9．如图，已知四边形是菱形，若，，于点H，则的长是（　　）
A． B． C． D．5
【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，设与的交点为O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】设与的交点为O，根据菱形性质可得，，，根据勾股定理可得AB，再根据菱形面积即可求出答案.
10．如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点G作GH⊥AB于H，作MN∥AB交AD于点M，交BC于点N，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，
∴∠A=∠B＝90°，，AD=BC＝3，
∵∠FEG=90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°=∠GEH＋∠FEA，
∴∠EGH＝∠FEA，
∴△GEH≌△EFA（AAS），
∴GH＝AE＝1.
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时EH＝AF＝3，
∴
∴CG的最小值＝，
故答案为：B．
【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，利用AAS证明△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．一次函数的图象经过点，，则　 　（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数的，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据，结合一次函数性质即可得一次函数y随x的增大而减小，进一步得.
13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，进一步得，即可得答案.
14．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是　 　．
【答案】16
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
，分别是，的中点，
为的中位线，
，
四边形为菱形，
，
菱形的周长．
故答案为：16．
【分析】根据，分别是，的中点，得为的中位线，即可得，再根据菱形的性质得等于4，进一步计算菱形的周长即可.
15．为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，随机调查了本地50个公园的用地面积，按照A：，B：，C：，D：，E：的分组绘制了如图的频数分布直方图，则用地面积在　 　 组的公园个数最多（在“A、B、C、D”中选一个）．
【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：如图，
由图得：用地面积在C组的公园个数最多，有16个，
故答案为：C．
【分析】根据统计图即可得用地面积在C组的公园个数最多，有16个.
16．如图，平行四边形中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别交于E、F两点，连接．以下结论：
①；
②点O是的中点；
③四边形的周长是四边形的周长的2倍；
④．
其中正确的结论有　 　 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是和的角平分线的交点，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，即O点为的中点，故②正确.
∵，
∴设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长不是四边形的周长的2倍，故③错误.
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】根据平行四边形的性质得平行，平行，相等，相等，根据平行线的性质和角平分线的定义得和为，即可得等于，即可判断①，根据平行线的性质证明相等，相等，即可得相等，相等，再证明四边形为平行四边形得到相等，即可得相等，即可判断②，设，，则，即可判断③，证明，，即可判断④正确.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．解方程：
【答案】解：由 得
，
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
18．如图，在中，，，．求证：．
【答案】证明：如图，
在中，，，，
，
是直角三角形，
∴．
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，结合，，，得，即可判断
是直角三角形，即可得．
19．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，得分如下表：
应聘者 甲 乙 丙
学历 7 8 7
能力 8 9 8
经验 8 7 7
（1）甲应聘者得分的众数是 ；
（2）若此公司比较看重员工的能力，对学历、能力和经验分别赋权3，5，2，计算甲、乙、丙三名应聘者各自的平均得分，从他们的得分看，应该录取谁？
【答案】（1）8
（2）解：甲的平均得分为（分），
乙的平均数得分为（分），
丙的平均数得分为（分），
∵，
∴从他们的得分看，应该录取乙．
【知识点】加权平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）解：甲应聘者得分8分出现次数最多，故众数是8．
故答案为：8．
【分析】（1）根据众数的定义，结合应聘者得分8分出现次数最多即可得答案.
（2）根据加权平均数的定义分别计算甲、乙、丙三人的平均分，再比较大小即可得应该录取乙．
（1）解：甲应聘者得分的众数是8．
故答案为：8．
（2）解：甲的平均得分为（分），
乙的平均数得分为（分），
丙的平均数得分为（分），
∵，
∴从他们的得分看，应该录取乙．
20．如图，点E、F是平行四边形的对角线上的两点，且．求证：．
【答案】证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得平行，相等，即可得相等，再根据相等，结合“”可证明全等，再根据全等三角形的性质可证明相等.
21．如图，在矩形中．
（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交于点E，F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的长．
【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：如图，
∵直线为线段的垂直平分线，
∴．
∵四边形为矩形，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴的长为5．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可得答案.
（2）根据线段垂直平分线的性质相等，根据矩形的性质得等于，设，则等于减去，等于，根据勾股定理得，代入数据列方程解出x即可得的长为5．
（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：∵直线为线段的垂直平分线，
∴．
∵四边形为矩形，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
∴的长为5．
22．如图，有一幅长，宽的矩形照片，现要为这幅照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的二分之一．
（1）求相框所占面积；
（2）求相框的宽度．
【答案】（1）解：由题意得：
，
答：相框所占面积为.
（2）解：设相框的宽度为，根据题意得：
，
整理得：，
解得： (不符合题意，舍去)，，
答：相框的宽度为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【分析】（1）根据相框所占面积为照片面积的二分之一，即可列式计算得相框所占面积为.
（2）设相框的宽度为，根据配上相框的照片面积＝照片面积+相框的面积，列出一元二次方程，即可得相框的宽度为．
（1）解：由题意可知，，
答：相框所占面积为；
（2）设相框的宽度为，
由题意得：，
整理得：，
解得： (不符合题意，舍去)，，
答：相框的宽度为．
23．水龙头关闭不严会造成滴水．某数学兴趣小组记录了内7个时间点的漏水量，其中x表示时间，y表示漏水量．数据如下表：
时间 0 5 10 15 20 25 30 …
漏水量 0 15 30 45 60 75 90 …
（1）在图中描出上表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，求漏水量y关于时间x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）在这种滴水状态下，请根据（2）中求出的函数解析式，估算一天的漏水量．
【答案】（1）解：描点如下图：
（2）解：∵这些点分布在过原点的同一条直线上，
∴y是x的正比例函数，
设y关于x的函数解析式为（k为常数，且），则：
，解得，
∴y关于x的函数解析式为．
（3）解：当时，，
∴一天的漏水量为．
【知识点】函数值；正比例函数的图象和性质；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据描点的方法描点即可得答案.
（2）根据图象判断y与x之间的函数类型为正比例函数，设y关于x的函数解析式为（k为常数，且），则：，解出即可得解析式.
（3）当时，，即可得答案.
（1）解：描点如图所示：
（2）∵这些点分布在过原点的同一条直线上，
∴y是x的正比例函数，
设y关于x的函数解析式为（k为常数，且），
将坐标代入，
得，
解得，
∴y关于x的函数解析式为．
（3）解：当时，，
∴一天的漏水量为．
24．如图，在正方形中，点E是边上任意一点（不与点B重合），以为边在它的右侧作正方形．连接，过点D作交边于点H．
（1）求证：；
（2）连接，延长，交于点O，猜想的度数，并证明；
（3）在正方形内部有一点P，连接，若，求的最大值．
【答案】（1）证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴.
（2）解：的度数为，证明如下：
如图，
连接，
由（1）可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图，
过点E作，且，连接，
∵，
∴，
在中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得相等，等于，进一步得和为，根据垂直，得和为，即可得相等，再根据全等三角形的判定定理可证明全等.
（2）连接HF，根据（1）得全等，根据全等三角形的性质得相等，相等，根据正方形的性质，得，即可得，进一步得
四边形是平行四边形，进而证得是等腰直角三角形，即可得的度数为.
（3）过点E作，且，连接，根据勾股定理，结合已知求出为，根据正方形的性质证明全等，得到．进一步得的最大值为.
（1）证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，连接，
由（1）可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图，过点E作，且，连接，
∵，
∴，
在中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，直线相交于点E，．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）连接，求线段三者之间的数量关系；
（3）设线段的中点为M，点N为直线l2上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数：的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴当时，，
当时，，
∴，．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，解得：，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴．
（3）解：∵，，M是的中点，
∴，
设，
∴，，，
当时，，解得：，
∴.
当时，，解得：，
∴.
当时，，解得：，
∴．
综上所述：N点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据一次函数：的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，即可求出时，，时，，即可求A、B点坐标.
（2）根据A、B点坐标.得，再根据相等，相等，即可得，进一步求出直线的解析式，再根据 直线相交于点E，可求出E点坐标，分别求出的长，即可得.
（3）根据∵，，M是的中点，得，设，根据坐标中两点间距离公式得，，，当时，可列方程
，解m可得，同理得当时，，当时，，综上所述：N点坐标为或或．
（1）解：∵中，当时，；当时，，
∴，．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，
解得：，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴．
（3）解：∵，，M是的中点，
∴，
设，
∴，，，
当时，，
解得：，
∴；
当时，，
解得：，
∴；
当时，，
解得：，
∴．
综上所述：N点坐标为或或．
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